梅世強(qiáng)，徐 梅

(天津大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部，天津 300072)

基于小波多分辨分析的中國股票市場因果關(guān)系分析

梅世強(qiáng)，徐 梅

(天津大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部，天津 300072)

將Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)與小波多分辨分析相結(jié)合，把股票指數(shù)收益序列分解為不同的尺度分量，從尺度分量的角度分析我國滬深兩個(gè)股票市場之間的因果關(guān)系，說明了某一市場收益的有些尺度分量與另一市場收益間的因果關(guān)系不同于兩市收益的基本因果關(guān)系，又說明了兩市收益的有些對(duì)應(yīng)尺度分量之間的因果關(guān)系不同于兩市收益的基本因果關(guān)系。結(jié)果表明，該分析可為我國兩個(gè)股票市場之間的關(guān)聯(lián)性及其成因和趨勢(shì)提供理論支持。

小波；多分辨分析；Granger因果關(guān)系；股票市場

有關(guān)中國股票市場的因果關(guān)系問題，已經(jīng)有很多文獻(xiàn)［1-7］做過探討。但這些文獻(xiàn)都是將股票指數(shù)(收益)序列作為一個(gè)整體來討論兩序列的關(guān)系。本文將小波多分辨分析與Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)相結(jié)合，從不同的角度分析中國滬深兩個(gè)股票市場收益的因果關(guān)系。通過本文的分析，可以回答以下問題:某一市場收益序列的尺度分量與另一市場收益序列的因果關(guān)系是否與兩市的基本因果關(guān)系相同?兩市收益序列的對(duì)應(yīng)尺度分量之間的因果關(guān)系是否與兩市的基本因果關(guān)系相同?

一、Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)

根據(jù)文獻(xiàn)［8-9］，判斷一個(gè)變量的變化是否是另一個(gè)變量變化的原因，是經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)中的常見問題。Granger提出了判斷因果關(guān)系的檢驗(yàn)，即Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)，可通過向量自回歸(vector auto-regressive，VAR)模型來實(shí)現(xiàn)。判斷x是否引起y的變化，主要看現(xiàn)在的y能夠在多大程度上被過去的x解釋，加入x的滯后值是否使解釋程度提高。對(duì)yt進(jìn)行s期預(yù)測的均方誤差(MSE)為式中:^yt+i為 yt+i的預(yù)測。如果對(duì)于所有的 s＞0，(yt，yt－1，…)預(yù)測 yt+s得到的均方誤差與(yt，yt－1，…)和(xt，xt－1，…)兩者預(yù)測 yt+s得到的均方誤差相同，則 y不是由x Granger引起的。

Granger因果檢驗(yàn)實(shí)質(zhì)上是檢驗(yàn)一個(gè)變量的滯后變量是否可以引入到其他變量的方程中。設(shè)一個(gè)二元p階的VAR模型為

式中:yt、xt分別為兩個(gè)時(shí)間序列的變量；為殘差向量。式(3)也可以表示為矩陣形式，即

全部為0時(shí)，變量x不能引起y的變化，等價(jià)于變量x外生于變量y。這時(shí)，判斷Granger原因的直接方法是利用F檢驗(yàn)來檢驗(yàn)下述聯(lián)合檢驗(yàn)，即

其統(tǒng)計(jì)量為

式中:T為樣本容量；RSS1為式(3)中y方程的殘差平方和，即

S1服從F分布，如果S1大于F的臨界值，則拒絕原假設(shè)；否則接受原假設(shè):x不能引起y的變化。

Granger因果檢驗(yàn)的結(jié)果與滯后長度p的選擇有關(guān)。p的選擇可通過VAR模型的定階方法來進(jìn)行，常用的確定滯后階數(shù)的方法有似然比檢驗(yàn)法、AIC信息準(zhǔn)則、SC信息準(zhǔn)則等，這里采用AIC信息準(zhǔn)則，其計(jì)算方法為

式中:T為樣本長度；N為待估計(jì)參數(shù)的總數(shù)。對(duì)于式(4)，N=4p；為εt的協(xié)方差矩陣Σ的估計(jì)。

二、小波多分辨分析

根據(jù)文獻(xiàn)［10］，凡滿足如下容許性條件的函數(shù)ψ(t)稱為一個(gè)小波母函數(shù)。對(duì)小波母函數(shù)作伸縮和平移，得

式中:m∈z={0，±1，±2，…}為尺度系數(shù)；n∈z為平移系數(shù)；ψm，n(t)稱為小波函數(shù)。

小波函數(shù){ ψm，n}m，n∈z是平方可積函數(shù)集合 L2(R)的完全正交基，所以對(duì)于任一x(t)∈L2(R)可表示為

式中:Wm，n=∫x(t)ψm，n(t)dt為小波系數(shù)。

由于實(shí)際應(yīng)用中x(t)為一些離散點(diǎn)，所以Wm，n是通過DWT(discrete wavelet transform，DWT)由濾波系數(shù)計(jì)算得到而不需計(jì)算ψm，n(t)。

設(shè)X是一個(gè)N維向量，其元素為實(shí)值的時(shí)間序列{xt，t=0，…，N－1}，其中 N=C×2m0，C 為常數(shù)，m0為正整數(shù)。X的m0級(jí)部分DWT是由W=wX給出的正交變換，其中W是一個(gè)由DWT系數(shù)構(gòu)成的N維向量，w是一個(gè)定義了DWT的N×N維實(shí)值矩陣(若N=2M，m0=M，則得到完全DWT)。DWT系數(shù)向量W和矩陣w可按以下方式分割，即

式中:Wm=wmX，Vm0=vm0X，m=1，…，m0，Wm為 Nm=N/2m維的與尺度τm=2m－1上的變化相關(guān)的小波系數(shù)向量；wm為 Nm×N 維矩陣；Vm0為 Nm0維與尺度 λm0=2m0上的平均相關(guān)的尺度系數(shù)向量；vm0為Nm0×N維矩陣。

向量X也可由DWT系數(shù)向量W合成，即

式(13)～式(14)定義了X的多分辨分析(multi-resolution analysis，MRA)，即將X分解為m0+1個(gè)N維向量Dm=wWm(m=1，…，m0)和 Sm0=vVm0，稱 Dm為對(duì)應(yīng)于尺度τm的m級(jí)細(xì)節(jié)，它表明該尺度下X的變化，對(duì)應(yīng) X 中尺度為 τm(頻帶為［2－mπ，2－m+1π］)的分量；Sj(j=1，…，m0)為對(duì)應(yīng)于尺度 λj的 j級(jí)平滑，表示 τj+1及以上尺度的細(xì)節(jié)與平滑之和，對(duì)應(yīng)X中τj+1及以上尺度(頻帶為［0，2－jπ］)的分量。

在實(shí)際應(yīng)用中，并不明確形成DWT矩陣w，DWT系數(shù)向量W的計(jì)算是應(yīng)用小波濾波器和尺度濾波器通過塔形算法進(jìn)行的，而細(xì)節(jié)Dm(m=1，…，m0)、平滑Sj(j=1，…，m0)則由塔形算法的逆算法合成。

三、中國滬深兩個(gè)股票市場收益的基本因果關(guān)系分析

本文所選取的樣本序列為上海證券交易所綜合指數(shù)(上證綜指)和深圳證券交易所的成份指數(shù)(深證成指)的每日收盤價(jià)。由這兩個(gè)序列分別代表中國兩個(gè)股票市場的價(jià)格。指數(shù)的時(shí)間段為1995/1/23～2007/12/20，共3 116個(gè)樣本數(shù)據(jù)。樣本數(shù)據(jù)來自于國泰安數(shù)據(jù)庫。t時(shí)收盤價(jià)表示價(jià)格pt，收益rt定義為設(shè){ht}為上證綜指的收益序列，{zt}為深證成指的收益序列，由于Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)要求針對(duì)平穩(wěn)序列進(jìn)行，經(jīng)檢驗(yàn)序列{ht}和{zt}均為平穩(wěn)的序列，以下分析將針對(duì)這兩個(gè)序列進(jìn)行。

對(duì)兩收益序列{ht}和{zt}按式(4)建立模型，其中，并進(jìn)行Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果如表1所示。

表1 滬深兩市收益的基本因果關(guān)系檢驗(yàn)結(jié)果

由表1可見，無論是在5%還是在10%顯著水平上，都拒絕“上證綜指不是深證成指原因”的原假設(shè)，接受“深證成指不是上證綜指原因”的原假設(shè)，即上證綜指是引起深證成指變化的Granger原因，而深證成指不是引起上證綜指變化的Granger原因。

四、基于小波多分辨分析的中國滬深兩個(gè)股票市場收益的因果關(guān)系分析

小波多分辨分析可將序列依尺度分解成不同的細(xì)節(jié)和平滑，不同尺度的細(xì)節(jié)和平滑分別對(duì)應(yīng)序列在不同頻段的分量，細(xì)節(jié)表示信號(hào)的相對(duì)高頻的成分，平滑表示信號(hào)的低頻成分。將序列分解成不同的尺度分量后，兩序列的因果關(guān)系是否會(huì)與基本的因果關(guān)系有所不同?為了回答這個(gè)問題，可將小波多分辨分析與Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)相結(jié)合，進(jìn)行如下幾方面的實(shí)證分析。

1．上證綜指{ht}各尺度分量與深證成指{zt}之間的因果關(guān)系分析

為了分析上證綜指{ht}中各個(gè)尺度分量與深證成指{zt}的因果關(guān)系是否一致于{ht}與{zt}的基本因果關(guān)系，對(duì){ht}按式(14)進(jìn)行小波多分辨分析，這里采用DB(4)小波，根據(jù)樣本容量，分解級(jí)數(shù)為m0=8，可得8個(gè)細(xì)節(jié)序列{，i=1，…，8}和 1 個(gè)平滑序列{}。對(duì)于{ht}的9個(gè)分量序列，分別與深證成指{zt}建立式(4)的VAR模型，即分別令式(4)中Vt=及，建立9個(gè)VAR模型，根據(jù)這些模型進(jìn)行上證綜指{ht}各尺度分量與深證成指{zt}之間的Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)。

(1)從上證綜指到深證成指的因果關(guān)系分析。原假設(shè)i(i=1，…，8):上證綜指{ht}的第i級(jí)細(xì)節(jié){}不是深證成指{zt}的原因。

原假設(shè)9:上證綜指{ht}的第8級(jí)平滑{}不是深證成指{zt}的原因。

以原假設(shè)的序號(hào)為橫坐標(biāo)，則橫坐標(biāo)由小到大表示尺度分量所對(duì)應(yīng)的頻段由高到低，F(xiàn)檢驗(yàn)值為縱坐標(biāo)，檢驗(yàn)結(jié)果如圖1所示，圖中的虛線是F0.05?？梢?，雖然上證綜指{ht}是深證成指{zt}的原因，但當(dāng){ht}取第8級(jí)平滑分量{}時(shí)，F(xiàn)值小于 F0.05，接受原假設(shè)9，說明上證綜指{ht}的大尺度低頻分量{}(對(duì)應(yīng)尺度為256天，對(duì)應(yīng)頻帶為)不是深證成指{zt}的原因，即以256天為尺度，從上證綜指該尺度分量到深證成指的因果關(guān)系并不成立。對(duì)于{ht}的其他尺度分量，均拒絕原假設(shè)，即上證綜指{ht}的第1級(jí)—第8級(jí)細(xì)節(jié)分量{，i=1，…，8}均是深證成指{zt}的原因，并且隨著尺度的減小，F(xiàn)檢驗(yàn)值增大，拒絕原假設(shè)的概率增大。

(2)從深證成指到上證綜指的因果關(guān)系分析。原假設(shè)i(i=1，…，8):深證成指{zt}不是上證綜指{ht}的第i級(jí)細(xì)節(jié){}的原因。

原假設(shè)9:深證成指{zt}不是上證綜指{ht}的第8級(jí)平滑{}的原因。

圖1 從上證綜指尺度分量到深證成指的因果關(guān)系

檢驗(yàn)結(jié)果如圖2所示，圖中的虛線為F0.05。由此可見，對(duì)于上證綜指{ht}的第2、4、6級(jí)細(xì)節(jié)分量和第8級(jí)平滑分量，深證成指{zt}與這些分量的F檢驗(yàn)值大于 F0.05，這時(shí)拒絕原假設(shè) 2、4、6、9，說明雖然深證成指{zt}不是上證綜指{ht}的原因，但{zt}卻是{ht}中第2、4、6級(jí)細(xì)節(jié)分量(對(duì)應(yīng)的尺度分別為2天、8天、32天，對(duì)應(yīng)頻帶分別為和第8級(jí)平滑分量(對(duì)應(yīng)尺度為256天，對(duì)應(yīng)頻帶為])的原因，即當(dāng)以2天、8天、32天、256天為尺度時(shí)，從深證成指到上證綜指這些尺度分量的因果關(guān)系成立。

圖2 從深證成指到上證綜指尺度分量的因果關(guān)系

2．深證成指{zt}各尺度分量與上證綜指{ht}之間的因果關(guān)系分析

為了分析深證成指{zt}中各個(gè)分量與上證綜指{ht}的因果關(guān)系是否一致于{zt}與{ht}的基本因果關(guān)系，對(duì){zt}按式(14)進(jìn)行小波多分辨分析，可得8個(gè)細(xì)節(jié)序列{，i=1，…，8}和 1 個(gè)平滑序列{}。對(duì)深證成指{zt}的9個(gè)分量序列，分別與上證綜指{ht}建立式(4)的VAR模型，即分別令式(4)中，建立9個(gè)VAR模型，根據(jù)這些模型進(jìn)行深證成指{zt}各尺度分量與上證綜指{ht}之間的Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)。

(1)從上證綜指到深證成指的因果關(guān)系分析。原假設(shè)i(i=1，…，8):上證綜指{ht}不是深證成指{zt}第i級(jí)細(xì)節(jié)分量{}的原因。

原假設(shè)9:上證綜指{ht}不是深證成指{zt}第8級(jí)平滑分量{}的原因。

檢驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。圖中的長虛線為F0.05，短虛線為 Fh→z。可見，當(dāng)深證成指{zt}取第 3、5、8 級(jí)細(xì)節(jié)分量時(shí)，上證綜指{ht}與這些分量的F檢驗(yàn)值小于F0.05，這時(shí)接受原假設(shè)，說明雖然上證綜指{ht}是深證成指{zt}的原因，但{ht}不是{zt}中第3、5、8級(jí)細(xì)節(jié)分量(對(duì)應(yīng)的尺度分別為4天、16天、128天，對(duì)應(yīng)頻帶分別為的原因，而是{zt}中第 1、2、4、6、7 級(jí)細(xì)節(jié)分量(對(duì)應(yīng)尺度為 1 天、2 天、8天、32天、64天)和第8級(jí)平滑分量(對(duì)應(yīng)尺度為256天)的原因，即當(dāng)以4天、16天、128天為尺度時(shí)，從上證綜指到深證成指這些尺度分量的因果關(guān)系并不成立。

圖3 從上證綜指到深證成指尺度分量的因果關(guān)系

(2)從深證成指到上證綜指的因果關(guān)系分析。原假設(shè)i(i=1，…，8):深證成指{zt}第 i級(jí)細(xì)節(jié)分量{}不是上證綜指{ht}的原因。

原假設(shè)9:深證成指{zt}第8級(jí)平滑分量{}不是上證綜指{ht}的原因。

檢驗(yàn)結(jié)果如圖4所示，圖中虛線為F0.05。可見，雖然深證成指{zt}不是上證綜指{ht}的原因，但只有{zt}的第8級(jí)細(xì)節(jié)分量(對(duì)應(yīng)尺度為128天，對(duì)應(yīng)頻帶為)不是{h}的原因，而{z}的其他尺度分量是{ht}的原因，即除了尺度為128天的分量外，深證成指其他尺度分量到上證綜指的因果關(guān)系是成立的。

圖4 從深證成指尺度分量到上證綜指的因果關(guān)系

3．上證綜指{ht}各尺度分量與深證成指{zt}對(duì)應(yīng)尺度分量之間的因果關(guān)系分析

為了分析上證綜指{ht}各尺度分量與深證成指{zt}對(duì)應(yīng)尺度分量之間的因果關(guān)系是否與{ht}和{zt}之間的基本因果關(guān)系一致，對(duì)上證綜指{ht}的8個(gè)細(xì)節(jié)序列{，i=1，…，8}和 1 個(gè)平滑序列{}分別與深證成指{zt}的對(duì)應(yīng)尺度分量{，i=1，…，8}和{Sz8t}建立式(4)的 VAR模型，即分別令式(4)中 Vt=，建立9個(gè)VAR模型，根據(jù)這些模型進(jìn)行上證綜指{ht}各尺度分量與深證成指{zt}對(duì)應(yīng)尺度分量之間的Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)。

(1)從上證綜指到深證成指的因果關(guān)系分析。原假設(shè)i(i=1，…，8):上證綜指{ht}第i級(jí)細(xì)節(jié){Dhit}不是深證成指{zt}第i級(jí)細(xì)節(jié){Dzit}的原因。原假設(shè)9:上證綜指{ht}第8級(jí)平滑{Sh8t}不是深證成指{zt}第8級(jí)平滑{Sz8t}的原因。

檢驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。圖中的長虛線為F0.05，短虛線為Fh→z?？梢?，雖然上證綜指{ht}是深證成指{zt}的原因，但從對(duì)應(yīng)分的分量來看，上證綜指{ht}的第2、4級(jí)細(xì)節(jié)分量(對(duì)應(yīng)尺度為2天、8天)和第8級(jí)平滑分量(對(duì)應(yīng)尺度為256天)是深證成指{zt}對(duì)應(yīng)分量的原因，對(duì)于其他尺度的分量(對(duì)應(yīng)尺度為1天、4天、16天、32天、64天、128天)，從上證綜指{ht}的這些尺度分量到深證成指{zt}對(duì)應(yīng)尺度分量的因果關(guān)系不成立，即當(dāng)以2天、8天、256天為尺度時(shí)，從上證綜指到深證成指的因果關(guān)系成立，當(dāng)以1天、4天、16天、32天、64天、128天為尺度時(shí)，從上證綜指到深證成指的因果關(guān)系并不成立。

圖5 從上證綜指尺度分量到深證成指對(duì)應(yīng)尺度分量的因果關(guān)系

(2)從深證成指到上證綜指的因果關(guān)系分析。原假設(shè)i(i=1，…，8):深證成指{zt}第i級(jí)細(xì)節(jié){}不是上證綜指{ht}第i級(jí)細(xì)節(jié){Dhit}的原因。

假設(shè)9:深證成指{zt}第8級(jí)平滑{}不是上證綜指{ht}第8級(jí)平滑{}的原因。

檢驗(yàn)結(jié)果如圖6所示，圖中虛線為F0.05?？梢?，雖然深證成指{zt}不是上證綜指{ht}的原因，但從對(duì)應(yīng)分的分量來看，深證成指{zt}的第2、8級(jí)細(xì)節(jié)分量(對(duì)應(yīng)尺度為2天、128天)和第8級(jí)平滑分量(對(duì)應(yīng)尺度為256天)卻是上證綜指{ht}的對(duì)應(yīng)尺度分量的原因，即當(dāng)以2天、128天、256天為尺度時(shí)，從深證成指到上證綜指的因果關(guān)系是成立的。而從深證成指{zt}其他尺度分量(對(duì)應(yīng)尺度為1天、4天、8天、16天、32天、64天)到上證綜指{ht}對(duì)應(yīng)尺度分量的因果關(guān)系不成立。

圖6 從深證成指尺度分量到上證綜指對(duì)應(yīng)尺度分量的因果關(guān)系

五、結(jié) 語

本文將小波多分辨分析與Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)相結(jié)合，對(duì)我國滬深兩股票市場收益的因果關(guān)系進(jìn)行了基于尺度分量的分析，可以回答傳統(tǒng)因果關(guān)系分析中所無法回答的問題。通過本文的分析，說明了某一市場收益的有些尺度分量與另一市場收益之間的因果關(guān)系不同于兩市收益的基本因果關(guān)系:雖然滬市收益是深市收益的原因，但滬市收益中的尺度為256天的分量并不是深市收益的原因，滬市收益也不是深市收益中尺度為4天、16天、128天的尺度分量的原因；雖然深市收益不是滬市收益的原因，但深市收益卻是滬市收益中尺度為2天、8天、32天、256天的尺度分量的原因，深市收益中除尺度為128天的分量外，其他分量均是滬市收益的原因。還說明了兩市收益中有些對(duì)應(yīng)尺度分量間的因果關(guān)系不同于基本因果關(guān)系:雖然滬市收益是深市收益的原因，但當(dāng)以1天、4天、16天、32天、64天、128天為尺度時(shí)，從滬市收益到深市收益的因果關(guān)系并不成立；雖然深市收益不是滬市收益的原因，但當(dāng)以2天、128天、256天為尺度時(shí)，從深市收益到滬市收益的因果關(guān)系卻是成立的。

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Causality Analysis of China Stock Markets Based on Wavelet Multi-Resolution Analysis

MEI Shi-qiang，XU Mei
(Faculty of Management and Economics，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

The Granger causality test is combined with the wavelet multi-resolution analysis to decompose the return series of stock markets index into different scale components．From the aspect of scale components，the causality between Shanghai stock market return and Shenzhen’s is analyzed．The fact is explained that the causality of some scale components of one stock market return with the other stock market return is different from the basic causality of the two stock markets returns．Also the difference between the causalities of corresponding scale components of two markets with the basic causality of the two stock markets returns is illustrated．The conclusion can be theoretic support for analyzing the relation between the two markets together with its reasons and trend．

wavelet；multi-resolution analysis；Granger causality test；stock markets

F224

A

1008-4339(2011)01-0011-06

2010-03-23．

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(70971097)．

梅世強(qiáng)(1967— )，男，博士，副教授．

梅世強(qiáng)，tjxmd@sina．com．