馬 晟，陳千勇

(1.黃岡師范學院數(shù)學與計算機科學學院，湖北黃岡438000;2.湖北麻城第二中學，湖北麻城438304)

高師院校數(shù)學實驗教學模式的探究

馬 晟1，陳千勇2

(1.黃岡師范學院數(shù)學與計算機科學學院，湖北黃岡438000;2.湖北麻城第二中學，湖北麻城438304)

高師院校數(shù)學專業(yè)學生畢業(yè)后大都從事中學數(shù)學教學工作，不僅他們自身需要接受教育和訓練，更重要的是他們還肩負著培養(yǎng)中學生的思維能力、實踐能力和創(chuàng)新能力的歷史重任。因此，高師院校數(shù)學實驗的教學研究具有更為特殊的意義。本文通過對高師院校數(shù)學實驗教學的實踐探索，提出了高師院校數(shù)學實驗教學的新模式。

數(shù)學實驗;數(shù)學思維;教學模式

1998年教育部頒布了《普通高等學校本科專業(yè)目錄和專業(yè)介紹》，將數(shù)學實驗課程列為數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)的主干課程，國內(nèi)各高校陸續(xù)開始開設(shè)數(shù)學實驗課程，有關(guān)數(shù)學實驗教學的研究紛紛展開，各類數(shù)學實驗教材也如雨后春筍般涌現(xiàn)出來。所謂數(shù)學實驗就是把表現(xiàn)一個數(shù)學問題的各種元素構(gòu)建成一個程序，即構(gòu)成一個問題的“情境”，在這個“情境”下，由教師或?qū)W生對各元素進行有控制的操作，通過各種“情境”的變換，去發(fā)現(xiàn)問題，驗證結(jié)論，得出新結(jié)論。數(shù)學實驗一方面能把原本抽象、靜止的數(shù)學問題形象化、具體化、運動化，這樣既拓寬了思維活動空間，又增大了思維容量，有利于直覺思維的產(chǎn)生;另一方面數(shù)學實驗往往采用寓理于算、借形論數(shù)等非邏輯的推理方式，如高斯通過大量的實驗計算、觀察猜測而發(fā)現(xiàn)不少著名的定理。由于直覺思維具有自由性，一般不受演繹規(guī)則的限制，所以說數(shù)學實驗是引發(fā)學生直覺思維的重要手段之一。這樣的教學策略顯得不同于學生通過教師滔滔不絕地講來“聽數(shù)學”，而是學生經(jīng)過自身的實踐活動感受、認知知識的產(chǎn)生和發(fā)展過程，實現(xiàn)對知識的主動建構(gòu)，是在“做數(shù)學”、“研究數(shù)學”、“發(fā)展數(shù)學”。

多年來，各個高校相繼根據(jù)各自的特色開設(shè)了這門課，形成了多種教學體系。這門課程怎么開，教學內(nèi)容是哪些，各有各的看法和做法。依據(jù)課程的目標，從課程和教學論的觀點［1］，數(shù)學實

驗課應(yīng)作為學生的經(jīng)驗和體驗，即學生在學習過程中知識和技能的獲得、能力的發(fā)展、思維素質(zhì)的提高都含在課程當中。從課程的類型來看，它屬于經(jīng)驗課程、研究型課程和隱性課程。隨后新一輪數(shù)學課程改革也將數(shù)學建模、數(shù)學探究納入《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》當中，因此，針對高師院校數(shù)學實驗教學的理論研究與實踐，成為重要的數(shù)學教育教學研究課題，如文獻［4－6，12 －15］。

1 高師院校開展數(shù)學實驗教學的特殊意義

目前，國內(nèi)各高校開展了各種模式、不同層次的數(shù)學實驗教學，但總體上尚處于探索階段，且由于學校和專業(yè)性質(zhì)不同也不可能形成規(guī)范、統(tǒng)一的教學體系和模式。從高師院校的特殊地位來看，高師院校數(shù)學教育的目的除了傳授學生數(shù)學知識，培養(yǎng)學生應(yīng)用數(shù)學知識解決實際問題的能力之外，還要培養(yǎng)學生未來從事中學數(shù)學教學工作的能力。因此，高師院校開展數(shù)學實驗教學具有更為特殊的意義。首先，數(shù)學實驗?zāi)軒椭鷮W生更好的學習數(shù)學基本理論。其次，數(shù)學實驗是學生學習和獲得數(shù)學方法的有效途徑。通過數(shù)學實驗學生可以學習到觀察、分析、猜想、類比、歸納等傳統(tǒng)的數(shù)學方法，并認識到“數(shù)學研究需要不斷的觀察和比較，它的主要武器之一是歸納，它經(jīng)常求助于試驗與證實，同時它還對想象力與創(chuàng)造力進行最好的訓練”［2］。通過數(shù)學實驗?zāi)茏寣W生體會一些傳統(tǒng)數(shù)學方法的魅力，以及眾多方法的聯(lián)系與交互作用。Euler曾說過:“數(shù)學這門科學也需要觀察和實驗”［3］。而且，數(shù)學實驗有助于提高師范生從師任教的能力和技能。高師院校數(shù)學專業(yè)的學生畢業(yè)后大都從事中學數(shù)學教學工作，不僅他們自身需要接受這樣的教育和訓練，更重要的是他們還肩負著培養(yǎng)中學生的思維能力、實踐能力和創(chuàng)新能力的歷史重任。因此，高師院校數(shù)學實驗教學在重視數(shù)學知識學術(shù)形態(tài)的同時，更要重視其教育形態(tài)，以及對師范生所產(chǎn)生的特殊教育價值，使師范生學會基于現(xiàn)代化手段的“做數(shù)學”和“教數(shù)學”的方法。張奠宙先生認為:師范大學的教師要善于將各數(shù)學課中“學術(shù)形態(tài)的知識轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)”［4］。事實上，中學數(shù)學教學改革一直在強調(diào)中學生實驗?zāi)芰蛣?chuàng)新能力的培養(yǎng)問題。早在1912年的國際數(shù)學教育大會上討論的兩個問題之一就是“中學數(shù)學教學中的直覺與實驗”問題［5］，吳文俊院士也曾指出:“中學數(shù)學現(xiàn)代化就是機械化”［6］。

2 高師院校數(shù)學實驗以學習數(shù)學為目標，以數(shù)學應(yīng)用為線索組織課程內(nèi)容

數(shù)學實驗課一般在二、三年級開設(shè)，這時學生已學過若干門數(shù)學基礎(chǔ)課，具有一定的數(shù)學基礎(chǔ)，了解到某些數(shù)學的經(jīng)典的概念，具備了微積分、線性代數(shù)、隨機過程等基本知識，逐步接觸到常用的數(shù)學方法，如微元法、牛頓迭代法、插值與擬合等。但這些知識仍然是孤立的，迫切需要將知識構(gòu)成網(wǎng)絡(luò)、形成知識庫，其次，每個數(shù)學概念都有它的深刻內(nèi)涵，每個數(shù)學方法都有運用的條件、評價體系，這些內(nèi)容不僅需要從多方面加以理解與認識，更需要在實際中加以應(yīng)用，在應(yīng)用中進一步理解、掌握和提升方法。插值與擬合可用來對批量數(shù)據(jù)進行處理，擬合函數(shù)基的選取不僅與先行經(jīng)驗有關(guān)，而且需要多次嘗試。牛頓迭代法不僅有使用的條件，而且收斂的速度與初值的選取密切相關(guān)，這些都需要通過實驗，進行觀察、體會，逐漸掌握方法的使用。因此，開展數(shù)學實驗課教學內(nèi)容是對已有數(shù)學知識的進一步理解和應(yīng)用，是數(shù)學的學習、應(yīng)用、再學習的一個過程。高師院校數(shù)學實驗以學習數(shù)學為目標來實施課程內(nèi)容教學。

有人說，高科技本質(zhì)就是數(shù)學的應(yīng)用。我們正處在高科技時代，數(shù)學、數(shù)學技術(shù)成為許多高科技的核心，數(shù)學正從幕后走向前臺，直接為社會創(chuàng)造價值，基于此情，課程中強調(diào)數(shù)學應(yīng)用適應(yīng)了時代的需求。以數(shù)學應(yīng)用為線索就是從問題出發(fā)，以解決問題為主線組織課程內(nèi)容。問題的選取應(yīng)當簡明易懂，具有深刻的內(nèi)涵，能夠引起學生探索的興趣。這些問題既可以是數(shù)學本身的問題，也可以來自社會生活，最終達到讓學生在解決問題的過程中，探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，在探索中接受科學研究的訓練，在訓練中鍛煉創(chuàng)造力。當然，數(shù)學建模是較好的體現(xiàn)之一。

數(shù)學應(yīng)用問題的選取可從下列三方面考慮:

以社會實踐為背景，設(shè)計綜合的實際問題，使學生體會計算數(shù)學、運籌與優(yōu)化、信息與編碼在實際生活中的應(yīng)用。歷年全國大學生數(shù)學建模競賽試題均是很好的例子，如:2011年競賽題——交巡警服務(wù)平臺的設(shè)置與調(diào)度，城市表層土壤重金屬污染分析，鋼管的訂購和運輸問題，DNA序列分類等均可在教學中選擇與應(yīng)用。

以介紹數(shù)學的新興、邊緣、交叉學科為前提，從分形與混沌入手，再現(xiàn)數(shù)學迭代的運用。以數(shù)學鄰域中學生所了解的典型數(shù)學方法為前提，設(shè)計相應(yīng)的教學內(nèi)容，借助于實驗環(huán)境，使學生了解和掌握方法，并加以應(yīng)用，可使學生應(yīng)用數(shù)值積分和計算機仿真等方法;從大批數(shù)據(jù)的處理為切入點，可使學生掌握插值與擬合方法，更能了解數(shù)據(jù)處理的常用方法。

以微積分、線性代數(shù)、計算數(shù)學、隨機過程等基本內(nèi)容為前提，提出有關(guān)數(shù)學問題，使學生了解數(shù)學概念的內(nèi)涵與聯(lián)系。例如，以符號計算系統(tǒng)為依托，解釋極限、連續(xù)、導數(shù)、積分、特征值(特征向量)、概率與頻率等經(jīng)典數(shù)學概念的內(nèi)涵。

3 高師院校數(shù)學實驗教學模式的探索

國內(nèi)各高校數(shù)學實驗教學模式大致可分為兩種，其一是從具體問題出發(fā)以計算機為工具，發(fā)現(xiàn)、總結(jié)規(guī)律，然后利用數(shù)學建模及數(shù)學軟件加以論證;其二是著重于利用數(shù)學軟件解決實際問題的能力。目前，采取后者的院校居多(因為各學校都要組織學生參加全國大學生數(shù)學建模競賽)，而采取前者的院校較少。我們結(jié)合高師院校師范生的實際水平，通過教學立項研究和校本教研等方式，采用“計算機+傳統(tǒng)教學+數(shù)學實驗”的教學模式，有選擇的引入多媒體課件，課件中空間圖形均以彩色立體圖形呈現(xiàn)，制作的動畫效果使抽象的科學理論較直觀地、生動地、視聽結(jié)合地展現(xiàn)在學生面前，化解了知識難度，將大學數(shù)學的知識更為形象地展現(xiàn)給學生，更加利于學生對知識的理解，收到課堂、書本及其他教學方式不能達到的效果。

首先，專門開設(shè)數(shù)學實驗課程，采用高教版教材，結(jié)合自編校本教材，并將之與數(shù)學建模和計算方法課程緊密聯(lián)系起來。數(shù)學實驗偏重于學習數(shù)學方法，并利用計算機編程進行實驗操作，數(shù)學建模偏重于應(yīng)用數(shù)學理論建立數(shù)學模型，計算方法偏重于算法設(shè)計和近似計算，以難度較大的實際問題為依托，將三者有機融合，有效地培養(yǎng)了學生解決實際問題的思維能力、應(yīng)用能力和動手實驗?zāi)芰?。近幾年的教學實踐證明，學生通過這種數(shù)學實驗教學模式的洗禮，思維方式得到改善，應(yīng)用能力得到加強，從教能力得到提高，在全國大學生數(shù)學建模競賽中取得了優(yōu)異的成績，畢業(yè)生從教能力的社會反饋良好。

其次，將數(shù)學實驗的思想和數(shù)學軟件的使用融入到各門專業(yè)課程(如數(shù)學分析、高等代數(shù)與解析幾何、復變函數(shù)、常微分方程、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、偏微分方程等)的教學實踐中去。這也是最基本的要求，在微積分教學過程中，保留原來的課堂教學、習題課教學、常規(guī)作業(yè)等環(huán)節(jié)的同時，新增計算機數(shù)學實驗，即在計算機上通過使用MATHEMATICA、MAPLE等數(shù)學軟件，進行求極限、求導數(shù)、求積分等運算，研究函數(shù)的變化規(guī)律，畫出曲線、曲面的圖形，驗證定理，探索新規(guī)律等。例如在“微分學基本定理”的教學過程中，可先給出實驗的基本理論與方法，再敘述中值定理的基本知識，然后給出實驗中使用的函數(shù)與命令，針對基本理論知識予以實驗指導，這樣可以提高學生的動手能力，最終達到教學目的。通過計算機數(shù)學實驗，培養(yǎng)學生用計算機進行微積分運算的能力。利用數(shù)學實驗方法激發(fā)學生對課程的學習興趣和積極性，使學生對所學的各門專業(yè)知識體會更加深刻，掌握更加牢固。

再次，我們開設(shè)了數(shù)學軟件課程(Matlab)，為數(shù)學實驗提供了良好的工作平臺和軟件環(huán)境。培養(yǎng)學生利用現(xiàn)代化數(shù)學軟件處理矩陣、向量、函數(shù)的運算和作圖能力等。

最后，在全校范圍內(nèi)開設(shè)數(shù)學建模選修課，讓更多的學生了解到數(shù)學應(yīng)用的廣泛性，讓他們掌握一定的處理實際應(yīng)用數(shù)學問題的能力。

數(shù)學實驗課程是經(jīng)驗課程、研究性課程與隱性課程的綜合，強調(diào)的是學習過程及在應(yīng)用中所獲得的體驗，是對大學階段課程學習的補充，它的價值在于使學生能夠自主地探索、自由的發(fā)展。課程的開設(shè)對教師及實驗條件都提出了較高的要求，只有正確把握學生的需求、合理地設(shè)置課程的內(nèi)容，綜合考慮數(shù)學方法、數(shù)學軟件、數(shù)學應(yīng)用三者的關(guān)系，才能使我們教有所得，學生學有所用。我們通過實際教學，探討教學模式，將大學數(shù)學內(nèi)容與數(shù)學軟件充分結(jié)合，融入建模思想，淡化嚴密形式，關(guān)注應(yīng)用思維的數(shù)學教學指導思想，提高了教學效果，使學生深受其益。

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G642

A

1003-8078(2011)06-0090-03

2011-09-29 doi10.3969/j.issn.1003－8078.2011.06.27

馬 晟，男，湖北麻城人，講師，主要從事非線性分析方面的研究。

校教學改革研究項目(2011CE25)。

(張所濱)