張維忠，孫慶括

（浙江師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，浙江 金華 321004）

1988年7月，在匈牙利首都布達(dá)佩斯召開了第六屆國際數(shù)學(xué)教育會議（ICME－6），此次大會的主題是“數(shù)學(xué)·教育·社會·文化”。數(shù)學(xué)文化引起與會數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)教育家的極大興趣，此后數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育研究迅速成為國際數(shù)學(xué)教育界廣泛關(guān)注的熱點(diǎn)。［1］進(jìn)入21世紀(jì)，我國頒布了《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》與《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》，在其基本理念中都強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》還專門列出了“數(shù)學(xué)文化”及具體內(nèi)容要求。時(shí)至今日，我國數(shù)學(xué)新課程改革進(jìn)入了深化階段，系統(tǒng)梳理與反思我國數(shù)學(xué)教育理論工作者、一線教師對數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育進(jìn)行的研究，無疑對進(jìn)一步深化相關(guān)研究，促進(jìn)數(shù)學(xué)教育改革有重要意義。為此，本文借助中國知網(wǎng)（CNKI）、維普資訊——中文科技期刊數(shù)據(jù)庫和萬方期刊網(wǎng)，搜集了以《教育研究》、《課程·教材·教法》、《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》與《數(shù)學(xué)通報(bào)》等為代表的核心期刊的200多篇有關(guān)數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育研究的論文，以及近10部有代表性的著作進(jìn)行了分析與整理，對1988年以來30年間我國數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育研究進(jìn)行回顧與反思。

一、數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育研究的主要?dú)v程

我國的數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育研究興起于20世紀(jì)80年代，最早是從探討數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育的關(guān)系開始的。這方面發(fā)表的主要論文有賀承業(yè)的《數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育》、［2］黃翔的《數(shù)學(xué)教育轉(zhuǎn)軌的文化視角》、［3］張維忠的《論數(shù)學(xué)文化研究及其對數(shù)學(xué)教育研究的啟示》、［4］黃秦安等的《略論數(shù)學(xué)教育的文化背景》［5］等。一種觀點(diǎn)認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)文化的教育；另一種觀點(diǎn)認(rèn)為數(shù)學(xué)文化的數(shù)學(xué)教育是動態(tài)過程的教育。其研究大致可以劃分為以下三個(gè)階段。

第一階段（20世紀(jì)80年代至90年代初）。這一階段是以北京大學(xué)的孫小禮與鄧東皋等合編的《數(shù)學(xué)與文化》（北京大學(xué)出版社，1990）一書的出版為標(biāo)志。這一時(shí)期的特點(diǎn)是主要探討數(shù)學(xué)是一種文化的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀，進(jìn)而關(guān)注數(shù)學(xué)文化對數(shù)學(xué)教育的影響。我國著名數(shù)學(xué)家齊民友也出版了《數(shù)學(xué)與文化》（湖南教育出版社，1991）。此階段是我國數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育研究意識形成的階段，這種研究意識的覺醒是以引進(jìn)國外數(shù)學(xué)文化方面的著作為發(fā)端，翻譯出版了國外經(jīng)典的數(shù)學(xué)文化著作及論文，不僅為我國數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育研究提供了重要參考文獻(xiàn)，也拉開了我國數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育研究的序幕。

第二階段（20世紀(jì)90年代至21世紀(jì)初）。這一階段國內(nèi)許多著名的數(shù)學(xué)教育專家發(fā)表了許多高水平的數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育研究的學(xué)術(shù)論文，主要選題有兩大方面，一方面是從理論上研究數(shù)學(xué)文化對數(shù)學(xué)教育的價(jià)值，另一方面是從實(shí)踐層面上探討數(shù)學(xué)文化視野下的數(shù)學(xué)教育改革。主要專著有黃秦安的《數(shù)學(xué)哲學(xué)與數(shù)學(xué)文化》（陜西師范大學(xué)出版社，1999）、張維忠的《數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)課程》（上海教育出版社，1999）等。這一時(shí)期的研究為數(shù)學(xué)文化從理論走向數(shù)學(xué)教育的實(shí)踐奠定了理論上的準(zhǔn)備，也為數(shù)學(xué)文化由書齋走向課堂打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，為數(shù)學(xué)文化進(jìn)一步深化到數(shù)學(xué)教育的相關(guān)研究領(lǐng)域作了思想上的啟蒙。

第三階段（21世紀(jì)初至今）。進(jìn)入21世紀(jì)以后，我國數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育研究進(jìn)入了深化與系統(tǒng)研究階段。2001年頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》與2003年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》，使數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育研究成為數(shù)學(xué)教育研究中的熱點(diǎn)問題。此階段數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的研究是多方面的和全方位的，比如開展了數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)課程教材、數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)等的研究。其發(fā)表的相關(guān)論文數(shù)量驚人，同時(shí)出版了一些數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育的學(xué)術(shù)專著。比如張維忠的《文化視野中的數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育》 （人民教育出版社，2005）、易南軒等的《多元視角下的數(shù)學(xué)文化》（科學(xué)出版社，2007）、張維忠的《數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)文化》（上海教育出版社，2011）等。這一時(shí)期的研究特點(diǎn)是，數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育研究的領(lǐng)域拓寬，隊(duì)伍壯大，研究手段多樣，既有數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育的理論研究，又重其實(shí)踐研究，呈現(xiàn)出欣欣向榮之勢，然而也出現(xiàn)很多重復(fù)性的研究，缺乏相對統(tǒng)一的研究規(guī)范。

二、數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育研究取得的成績

通過分析數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育的發(fā)展歷程發(fā)現(xiàn)，20世紀(jì)80年代后期相關(guān)研究多集中于數(shù)學(xué)哲學(xué)的探討，更多的關(guān)注教師和學(xué)生數(shù)學(xué)文化觀的建立，而對如何促進(jìn)數(shù)學(xué)文化與課程及教學(xué)相結(jié)合的實(shí)踐研究并不太感興趣；之后，其研究轉(zhuǎn)向如何有效進(jìn)行數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)課程的整合。20世紀(jì)90年代末以后，特別是隨著數(shù)學(xué)新課程改革的展開，數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育研究范圍進(jìn)一步拓寬，延伸到數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)課程及教材、數(shù)學(xué)教學(xué)及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)等相結(jié)合的領(lǐng)域，并且每個(gè)領(lǐng)域都做了深化和系統(tǒng)研究，從而在真正意義上進(jìn)入了數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育研究的實(shí)質(zhì)性階段。

（一）數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)課程教材

1.數(shù)學(xué)文化進(jìn)入數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)

進(jìn)入21世紀(jì)，我國頒布了《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》與《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》，在其基本理念中明確強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)課程要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，要求設(shè)立“數(shù)學(xué)史選講”等專題。許多專家學(xué)者對于課標(biāo)中設(shè)置數(shù)學(xué)文化給予了充分肯定，但也有部分學(xué)者對其提出了不同的看法。比如王憲昌認(rèn)為“數(shù)學(xué)史選講”等專題內(nèi)容都是數(shù)學(xué)史中相關(guān)的數(shù)學(xué)史料及其數(shù)學(xué)應(yīng)用的問題，此種數(shù)學(xué)文化內(nèi)容設(shè)置并沒有跳出科學(xué)應(yīng)用的范疇。［6］王青建等認(rèn)為其課標(biāo)中“數(shù)學(xué)文化”部分的選題大多脫離中學(xué)實(shí)際，一些選題比較偏，還有些比較深；有些內(nèi)容高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生都未必學(xué)習(xí)，放到中學(xué)有點(diǎn)強(qiáng)人所難；更有些內(nèi)容很少有現(xiàn)成的資料，教學(xué)上存在相當(dāng)?shù)睦щy，應(yīng)用時(shí)要根據(jù)數(shù)學(xué)教師個(gè)人的實(shí)際情況取材。［7］張維忠等指出其新課標(biāo)中的數(shù)學(xué)文化的設(shè)置以及相應(yīng)教材中的呈現(xiàn)沒有體現(xiàn)多元文化的觀點(diǎn)。［8］

2.中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的數(shù)學(xué)文化

傅贏芳等的《對數(shù)學(xué)課程中有關(guān)數(shù)學(xué)文化的思考》［9］及陳克勝的《基于數(shù)學(xué)文化的數(shù)學(xué)課程再思考》［10］探討了數(shù)學(xué)課程中的數(shù)學(xué)文化的教學(xué)目標(biāo)，強(qiáng)調(diào)應(yīng)注重問題解決，注重?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用，注重?cái)?shù)學(xué)交流，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法，注重培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度、情感與自信心，注重學(xué)生所處的文化背景及數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，注重?cái)?shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系等。

不同學(xué)者對數(shù)學(xué)文化課程的內(nèi)容設(shè)置提出了各自的觀點(diǎn)。鄭強(qiáng)在《論課程形態(tài)的數(shù)學(xué)文化及其教育價(jià)值的實(shí)現(xiàn)》中，認(rèn)為數(shù)學(xué)文化課程內(nèi)容應(yīng)包含數(shù)學(xué)史的知識；［11］馮曉華在《從文化傳統(tǒng)角度看數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容設(shè)置和教育目的》中提出數(shù)學(xué)文化課程內(nèi)容應(yīng)從文化傳統(tǒng)的角度進(jìn)行設(shè)置；［12］章勤瓊等在《民族數(shù)學(xué)及其對數(shù)學(xué)課程改革的啟示》中指出民族數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)文化課程的重要內(nèi)容；［13］張維忠在《文化傳統(tǒng)與數(shù)學(xué)課程改革》中也指出日常數(shù)學(xué)也是數(shù)學(xué)文化課程的重要內(nèi)容。［14］有學(xué)者對《高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中的數(shù)學(xué)文化實(shí)施建議進(jìn)行了概括，認(rèn)為數(shù)學(xué)文化課程內(nèi)容沒有相對固定的內(nèi)容體系，要滲透在數(shù)學(xué)內(nèi)容中，可以專題形式出現(xiàn)，既可采用講解形式，也可采用集體討論，還可采用編制思考題，讓學(xué)生利用課外時(shí)間查閱資料等形式，強(qiáng)調(diào)其實(shí)施要具有非常規(guī)性。另外，其實(shí)施要滿足欣賞性和文化性。［15］還有學(xué)者認(rèn)為數(shù)學(xué)文化課程的評價(jià)主體包括教師、學(xué)生和學(xué)校有關(guān)人員，要選擇比較靈活的評價(jià)方式，可以通過撰寫研究報(bào)告、討論發(fā)言、總結(jié)等形式進(jìn)行評價(jià)，還可采用定性與定量相結(jié)合的評價(jià)方式，也可以采用百分制和等級制。［16］

進(jìn)一步，張維忠評介了美國、英國、法國等國外數(shù)學(xué)課程目標(biāo)中對數(shù)學(xué)文化的要求，列舉了英國、俄羅斯與美國中小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)文化，指出了國外數(shù)學(xué)課程中數(shù)學(xué)文化開發(fā)的一個(gè)成功案例——美國阿拉斯加文化數(shù)學(xué)項(xiàng)目。［17］汪曉勤等從文化視角評介了法國數(shù)學(xué)教材中的“不等式、序與運(yùn)算”。［18］

3.大學(xué)數(shù)學(xué)課程中的數(shù)學(xué)文化

顧沛從南開大學(xué)的數(shù)學(xué)文化課程開設(shè)實(shí)踐中，總結(jié)出大學(xué)數(shù)學(xué)文化課程的開設(shè)的目標(biāo)，從內(nèi)容上應(yīng)該以數(shù)學(xué)的思想、精神為中心，從宗旨上應(yīng)該以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、文化素養(yǎng)、思想素養(yǎng)為中心。［19］蔡文俊提出地方大學(xué)應(yīng)以講座形態(tài)開設(shè)數(shù)學(xué)文化課程。［20］周明儒等認(rèn)為在高校應(yīng)當(dāng)對所有專業(yè)的學(xué)生分層次開設(shè)數(shù)學(xué)文化類課程，適宜采用專題系列講座，可以通過必修課、必選課、公共選修課或者是作一些專題報(bào)告等多種形式開設(shè)。［21］

總的看來，在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中設(shè)置數(shù)學(xué)文化，必須考慮其三個(gè)方面的重要的功能選擇問題。第一，數(shù)學(xué)文化必須與數(shù)學(xué)課程的總體目標(biāo)相協(xié)調(diào)、相一致，理想的課程設(shè)計(jì)應(yīng)該是融知識與文化于一體的；第二，數(shù)學(xué)文化應(yīng)該體現(xiàn)出對于數(shù)學(xué)前進(jìn)方向和數(shù)學(xué)思想方法的一種傾向、一種引導(dǎo)和一種歸結(jié)，而不僅僅是事實(shí)的陳述與歷史的展現(xiàn)；第三，數(shù)學(xué)文化應(yīng)該與學(xué)習(xí)者的既有文化系統(tǒng)做一個(gè)很好的切合。［22］

4.中小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)文化

這一主題的研究，主要圍繞小學(xué)、初中和高中新教材中的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的設(shè)置和呈現(xiàn)形式與數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)中的要求是否吻合的角度展開的。孫衛(wèi)紅對西南師范大學(xué)出版社出版的小學(xué)數(shù)學(xué)新教材作了“數(shù)學(xué)文化”學(xué)習(xí)效果的調(diào)查；［23］王九紅統(tǒng)計(jì)與分析了人教版、北師大版、蘇教版和西南師大版等四種版本小學(xué)數(shù)學(xué)新教材中數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的編寫；［24］婁滿想分析了人教版和蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材“你知道嗎”欄目中的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容編排；［25］郭華光以華東師大版的初中數(shù)學(xué)教材為例，研究分析了該套教材在滲透數(shù)學(xué)文化方面的情況；［26］劉芳也分析了浙教版初中教科書中數(shù)學(xué)文化的滲透情況；［27］趙菁蕾等分析了北師大版初中數(shù)學(xué)教材“讀一讀”中的數(shù)學(xué)文化體現(xiàn)狀況；［28］李殿起考察了青島版義務(wù)教育實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)（7～9年級）中數(shù)學(xué)文化的體現(xiàn)狀況；［29］蔣徳慧等比較了人教版和湘教版初中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容編排；［30］陳翠花等分析了人教版初中數(shù)學(xué)新教材插圖中的數(shù)學(xué)文化。［31］另外，傅贏芳等比較了中英初中數(shù)學(xué)教材中應(yīng)用題的情境文化性；［32］章勤瓊等統(tǒng)計(jì)了人民教育出版社2004年編寫的普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》A版必修1到必修5中從章頭圖到習(xí)題中所有板塊的數(shù)學(xué)文化；［33］孔白芬等探討了人民教育出版社出版的A版高中數(shù)學(xué)新教材中的章首語中的數(shù)學(xué)文化；［34］黃孝長等以人教A版、北師大版、蘇教版等三個(gè)版本高中數(shù)學(xué)教材必修部分中的“閱讀材料”為對象進(jìn)行了比較研究，從一個(gè)側(cè)面剖析了高中數(shù)學(xué)新教材中選取數(shù)學(xué)文化素材的特點(diǎn)。［35］

大量研究表明，我國數(shù)學(xué)新教材就“數(shù)學(xué)文化”內(nèi)容的選材來說是豐富多彩的，主要有顯性的專題呈現(xiàn)形式和隱形的呈現(xiàn)形式。其中，顯性的專題呈現(xiàn)形式主要以閱讀材料和“讀一讀”的形式來體現(xiàn)“數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容”，隱形的呈現(xiàn)形式通過注重“數(shù)學(xué)文化”內(nèi)容與數(shù)學(xué)知識的結(jié)合的形式進(jìn)行間接體現(xiàn)。主要通過數(shù)學(xué)史料的介紹、與其他學(xué)科的聯(lián)系、現(xiàn)代信息技術(shù)的運(yùn)用、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)游戲的開展以及通過章首圖或插圖的設(shè)計(jì)等形式來體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化。

（二）數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教學(xué)

1.數(shù)學(xué)文化的教學(xué)內(nèi)容

數(shù)學(xué)文化教學(xué)內(nèi)容是研究“教什么”的問題，也就是針對與數(shù)學(xué)文化教學(xué)滲透載體的研究，最早的研究散見于數(shù)學(xué)文化滲透數(shù)學(xué)教學(xué)的文章中。比如《初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透“數(shù)學(xué)文化”的幾種方法》、［36］《高中數(shù)學(xué)課程中數(shù)學(xué)文化之融入》［37］等。

總體概括起來有以下特點(diǎn)：其一，數(shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)文化教學(xué)內(nèi)容選擇的主要載體的研究是比較多的，主要包括數(shù)學(xué)家生平，數(shù)學(xué)名題，數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史等。大多數(shù)研究者認(rèn)為通過數(shù)學(xué)史的趣味性可以增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。其二，以數(shù)學(xué)應(yīng)用為載體，包括生活中的數(shù)學(xué)、社會中的數(shù)學(xué)和其它學(xué)科中的數(shù)學(xué)等，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用。其三，以數(shù)學(xué)美為工具滲透數(shù)學(xué)文化，主要通過數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用各種思想方法，來展現(xiàn)數(shù)學(xué)的奇異美，簡潔美和對稱美等.其中，數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)應(yīng)用是體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化最常用的兩種數(shù)學(xué)文化教學(xué)內(nèi)容載體。

2.數(shù)學(xué)文化的教學(xué)設(shè)計(jì)

這類研究涉及兩個(gè)方面的數(shù)學(xué)主題的教學(xué)設(shè)計(jì)。代數(shù)主題方面有分?jǐn)?shù)、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)、數(shù)列、概率、不等式、無理數(shù)、歸納法、微積分、楊輝三角、二階行列式等；幾何主題方面有向量、橢圓、球體積、歐拉公式、勾股定理、黃金分割、中心對稱、幾何圖形初步等。另外，數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵與數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐相結(jié)合的案例大致可分為片段式、問題情境式、一課一評式和專題研究式等四大類。

片段式案例僅是以幾個(gè)不相關(guān)的數(shù)學(xué)文化的素材羅列在一起，因此不具有教學(xué)的實(shí)用性，最多起個(gè)素材介紹的作用，像《數(shù)學(xué)文化視角下高中數(shù)學(xué)教學(xué)的若干嘗試》；［38］問題情境式的特點(diǎn)是圍繞某一節(jié)知識點(diǎn)，展現(xiàn)若干個(gè)具有數(shù)學(xué)文化情境的案例，這種案例比較適合數(shù)學(xué)文化的情境導(dǎo)入，比如《數(shù)學(xué)文化視野下的“問題情境”案例》、［39］《在橢圓教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的幾個(gè)案例》［40］等。這兩種案例大多都是由中學(xué)教師所開發(fā)，數(shù)量上比較少。

相比之下，一課一評式案例比較多，作者一般也為中學(xué)教師。此案例的特點(diǎn)是針對某一個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)了體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化理念的一節(jié)課，教師先指明設(shè)計(jì)理念、重點(diǎn)難點(diǎn)、設(shè)計(jì)思路等，然后以課堂實(shí)錄的方式將詳細(xì)的教學(xué)過程記錄下來，最后結(jié)合教師自評、同事與專家的點(diǎn)評，寫成課后反思附在后面。如《課例“軸對稱圖形”及其點(diǎn)評》、［41］《〈探索勾股定理〉的教學(xué)設(shè)計(jì)》［42］等都是這樣的格式。而《構(gòu)建一種新型的數(shù)學(xué)課程文化——兼析以“對稱”概念為主題的案例設(shè)計(jì)與前期進(jìn)展》、［43］《談構(gòu)建生動的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境——談圓錐曲線概念的單元教學(xué)設(shè)計(jì)》［44］等都屬于專題研究式?！皩ｎ}研究式”案例設(shè)計(jì)的特點(diǎn)是設(shè)計(jì)者一般是數(shù)學(xué)教育研究學(xué)者，常圍繞一個(gè)主題展開，該主題可能涉及多個(gè)數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，也可能只有一個(gè)，立足點(diǎn)較高，教學(xué)設(shè)計(jì)從全局出發(fā)，不僅將數(shù)學(xué)知識間的脈絡(luò)清晰地呈現(xiàn)出來，而且對于數(shù)學(xué)內(nèi)容與其他文化之間的聯(lián)系也挖掘得很充分。這樣的數(shù)學(xué)文化專題案例往往創(chuàng)新味道十足，不僅指導(dǎo)理念新，設(shè)計(jì)思路、教學(xué)策略與方法也讓人耳目一新。

然而，由于“片段式”、“問題情境式”、“一課一評式”的作者多為一線中學(xué)教師，所以其設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)文化案例中數(shù)學(xué)科學(xué)味較重，數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)與詩歌這樣的與學(xué)生經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系的內(nèi)容在課堂上所占比例遠(yuǎn)不及“專題研究式”，出現(xiàn)在課堂上的方式也較單一。對照看來，“專題研究式”案例創(chuàng)新的尺度比較大，比如《構(gòu)建一種新型的數(shù)學(xué)課程文化——兼析以“對稱”概念為主題的案例設(shè)計(jì)與前期進(jìn)展》，作者將小小的“對稱”分成了“感受對稱、對稱的理解、對稱的拓展性理解”三個(gè)階段，每一個(gè)階段都加載了大量的與學(xué)生經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系的數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)應(yīng)用、社會文化知識等內(nèi)容，還有專門的導(dǎo)入課、學(xué)生作業(yè)展示課，此時(shí)數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教學(xué)真正地融為一體。但這種欠缺“效率”的設(shè)計(jì)對許多中小學(xué)一線數(shù)學(xué)教師而言是很難實(shí)現(xiàn)的。［45］

3.數(shù)學(xué)文化的教學(xué)模式

數(shù)學(xué)文化滲透數(shù)學(xué)教學(xué)的研究興起之后，數(shù)學(xué)文化教學(xué)模式的研究才慢慢開始，其理論與實(shí)踐的研究成果都不太多，到目前為止，也還沒有形成一種成熟的數(shù)學(xué)文化觀下的教學(xué)模式。數(shù)學(xué)文化教學(xué)模式的最早可以從數(shù)學(xué)文化的教學(xué)案例設(shè)計(jì)的相關(guān)論文中找到一些蛛絲馬跡。比如尹得霞的《中學(xué)數(shù)學(xué)教育實(shí)踐中的數(shù)學(xué)文化案例探究》、［46］袁俊華的《挖掘概率中的人文價(jià)值，搞好新課標(biāo)下的課題教學(xué)》［47］等。這些論文中展示了很多數(shù)學(xué)文化教學(xué)案例，它們對教學(xué)模式的研究有很重要的借鑒作用。

此后，具體的數(shù)學(xué)文化教學(xué)模式的研究，主要有四川師范大學(xué)馬岷興認(rèn)為數(shù)學(xué)文化教育模式主要由教師、學(xué)生、數(shù)學(xué)文化元與活動方式等要素構(gòu)成，是將數(shù)學(xué)文化“元”有機(jī)融入數(shù)學(xué)教育活動過程之中。［48］西華師范大學(xué)的郭玲杰等建構(gòu)了數(shù)學(xué)文化觀下初中數(shù)學(xué)“引—探—用—評”教學(xué)模式，發(fā)表了《“‘?dāng)?shù)學(xué)文化’教育觀”下中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)模式》［49］和《新課程背景下初中數(shù)學(xué)“引探用評”教學(xué)模式》［50］等兩篇論文。這里值得指出的是，浙江師范大學(xué)張維忠等基于對數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵的理解，認(rèn)為數(shù)學(xué)文化的教學(xué)模式具有開放性、過程性、文化性、整合性四個(gè)特點(diǎn)，基于大量數(shù)學(xué)文化教學(xué)案例的梳理，逐步從實(shí)踐中歸納形成了“經(jīng)驗(yàn)觸動—數(shù)學(xué)化理解—多領(lǐng)域滲透—回顧反思”的初步操作流程，［51］浙江嘉興秀州中學(xué)的徐曉芳曾嘗試運(yùn)用上述基于數(shù)學(xué)文化的教學(xué)模式以數(shù)學(xué)歸納法為例完成了一個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)，并取得了良好的教學(xué)效果。［52］其在理論上的開拓與實(shí)踐操作上都有重要意義。

（三）數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

1.數(shù)學(xué)認(rèn)知的文化相關(guān)性研究

李琳等的研究表明：文化與兒童認(rèn)知相互依存，不可分割。文化影響兒童數(shù)學(xué)認(rèn)知的目的、內(nèi)容、過程、結(jié)果，兒童認(rèn)知也因此具有文化屬性。文化模式和文化工具是影響兒童數(shù)學(xué)認(rèn)知兩大主要因素，其中文化模式主要從價(jià)值觀、風(fēng)俗習(xí)慣、文化傳統(tǒng)以及歷史典故等角度，而文化工具則從符號系統(tǒng)、規(guī)則系統(tǒng)以及實(shí)物工具等方面對兒童數(shù)學(xué)認(rèn)知產(chǎn)生著深刻的不同的影響，從而也加深了人們對兒童數(shù)學(xué)認(rèn)知的文化內(nèi)涵以及文化與心理作用機(jī)制的理解，并啟示我們充分認(rèn)識到兒童數(shù)學(xué)認(rèn)知的跨文化性，在兒童數(shù)學(xué)教育中引入文化的元素，在文化的生態(tài)背景中促進(jìn)兒童的數(shù)學(xué)認(rèn)知與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。［53］

魏勇剛等也認(rèn)為數(shù)學(xué)文化對學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知有重要影響，主要表現(xiàn)在：數(shù)學(xué)文化影響學(xué)生的知識提取，數(shù)學(xué)文化影響學(xué)生的認(rèn)知加工，數(shù)學(xué)文化影響學(xué)生的認(rèn)知風(fēng)格，數(shù)學(xué)文化影響學(xué)生的認(rèn)知調(diào)控。并認(rèn)為兒童早期的數(shù)學(xué)教育應(yīng)該構(gòu)建精神化的教學(xué)目標(biāo)，組織故事化的教學(xué)內(nèi)容，運(yùn)用情趣化的教學(xué)方法，強(qiáng)調(diào)非正式的教學(xué)形式。并指出數(shù)學(xué)文化是兒童數(shù)學(xué)認(rèn)知的載體和平臺，數(shù)學(xué)文化是兒童數(shù)學(xué)認(rèn)知的動力，數(shù)學(xué)文化是兒童數(shù)學(xué)認(rèn)知的歸宿。然而，這個(gè)方面的研究主要是幼兒數(shù)學(xué)教育理論與實(shí)踐基礎(chǔ)上獲得的，在中小學(xué)特別是高中數(shù)學(xué)教育中還未見到系統(tǒng)的研究。［54］

2.數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)形態(tài)

數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)融合的過程中，文化、數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)三者之間的內(nèi)在關(guān)系必以某種形態(tài)表現(xiàn)出來，而這些表現(xiàn)形態(tài)又將決定我們采取相應(yīng)的方式。張維忠等從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“文化”特征、文化學(xué)習(xí)的“數(shù)學(xué)”課程以及數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)過程三個(gè)方面探討了數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)形態(tài)。第一，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“文化”特征表現(xiàn)為群體的活動性。群體與活動是數(shù)學(xué)文化進(jìn)入數(shù)學(xué)教育過程的直接表現(xiàn)。所以，數(shù)學(xué)教育的文化觀強(qiáng)調(diào)學(xué)生以活動的方式進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，提倡群體的交流與合作。第二，文化學(xué)習(xí)的“數(shù)學(xué)”課程表現(xiàn)為系統(tǒng)的開放性。這是因?yàn)?，從文化傳承上看，?shù)學(xué)課程具有組織構(gòu)成的開放性，主要表現(xiàn)為它與社會生活及現(xiàn)代數(shù)學(xué)的動態(tài)聯(lián)系；從文化傳播上看，數(shù)學(xué)課程具有觀念整合的開放性，通過課程的活化促進(jìn)文化增殖。從文化傳遞上看，數(shù)學(xué)課程具有整體效能的開放性，通過系統(tǒng)屬性的聯(lián)合作用，發(fā)揮出“整體大于部分和”的功效。第三，數(shù)學(xué)文化的“學(xué)習(xí)”過程表現(xiàn)為知識的默會性。因此，可以通過客觀對象“數(shù)學(xué)化”和數(shù)學(xué)解題“擬人化”等方式突出數(shù)學(xué)知識中的“人性”。［55］

三、對數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育研究的反思

縱觀現(xiàn)有的大部分研究成果，數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育研究基本上形成了以華東師范大學(xué)、南京師范大學(xué)、陜西師范大學(xué)、浙江師范大學(xué)與吉林師范大學(xué)等為核心的幾大研究團(tuán)隊(duì)，其中一些研究團(tuán)隊(duì)，主要側(cè)重于從文化學(xué)、數(shù)學(xué)文化史、數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)史的角度研究數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育，很少關(guān)注其實(shí)踐層面上的研究；以浙江師范大學(xué)等為核心的研究團(tuán)隊(duì)，主要從數(shù)學(xué)課程教材、數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度研究數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育，既有其理論層面的開拓又有實(shí)踐操作層面上的推動。然而，從整體上看，數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育的研究尚存缺陷，主要存在以下幾個(gè)問題。

（一）整體研究的水平不高

就數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育研究的整體而言，已有成果缺乏高水平的系統(tǒng)研究，今后可能會得到一定程度的改觀?？上驳氖?，由華東師范大學(xué)王建磐主持的國家社會科學(xué)基金“十一五”規(guī)劃2010年度教育學(xué)重點(diǎn)課題《主要國家高中數(shù)學(xué)教材比較研究》子課題——“主要國家高中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)文化”就涉及到數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育。［56］課題組的基本思路是首先考察美、英、德、法、俄、日、澳、新加坡8個(gè)國家高中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化內(nèi)容，然后就如下問題展開研究：（1）主要國家高中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)文化內(nèi)容背后的課程理念和理論依據(jù)是什么。（2）主要國家高中數(shù)學(xué)教材各有什么文化特征，有哪些具體的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容。（3）主要國家高中數(shù)學(xué)教材采用什么方式來呈現(xiàn)數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化，運(yùn)用水平如何。（4）中外數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容有何異同。（5）哪些數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化內(nèi)容可以為我們用，怎樣的課堂融入方式是可行的。這項(xiàng)研究應(yīng)該是一項(xiàng)高端研究，可望取得預(yù)期的研究目標(biāo)。

（二）研究問題的層面不均衡

比如數(shù)學(xué)文化教學(xué)設(shè)計(jì)的研究多集中在初中和高中階段，關(guān)注小學(xué)的不多。還有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)問題是當(dāng)前國際數(shù)學(xué)教育研究中的主流，包括最新的心理學(xué)研究成果、腦科學(xué)研究成果，應(yīng)引起重視。雖然數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)研究也已出現(xiàn)，但只在幼兒教育階段，對于初中和高中階段則沒有系統(tǒng)的研究，更缺乏像心理學(xué)上那樣的實(shí)驗(yàn)研究。進(jìn)一步地看，數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)信念、數(shù)學(xué)認(rèn)知、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)等關(guān)系如何，也是需要研究的。把數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)與諸如性別差異、種族特征、民族性等建立聯(lián)系的研究趨勢本身是一種更為廣泛的數(shù)學(xué)教育的社會、文化、歷史研究視角，這些都是數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育研究拓展的視角。

（三）選題范圍狹窄，研究角度單一，缺乏實(shí)證研究

目前，從哲學(xué)層面上思考數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育的研究較多，重點(diǎn)是分析數(shù)學(xué)文化史，充分地揭示數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵，肯定數(shù)學(xué)作為文化存在的數(shù)學(xué)教育價(jià)值，當(dāng)然這是必要的。但這種理解會使問題過于寬泛而抓不住重點(diǎn)，特別是“數(shù)學(xué)文化貫穿于數(shù)學(xué)教育的始終”就像什么都沒說一樣難以實(shí)施。另外，高質(zhì)量的數(shù)學(xué)文化教學(xué)設(shè)計(jì)甚少，特別是關(guān)于數(shù)學(xué)文化的教學(xué)設(shè)計(jì)很多都是加個(gè)數(shù)學(xué)文化的帽子而已。還有數(shù)學(xué)文化的數(shù)學(xué)教材研究，論文選擇缺乏創(chuàng)新性，選題大同小異，很多都是對教材的統(tǒng)計(jì)研究，創(chuàng)新研究少，不少研究只是對二手、三手資料的移植或總結(jié)、歸納，真正基于數(shù)學(xué)文化理念編寫的專題單元的數(shù)學(xué)教材的教學(xué)實(shí)驗(yàn)研究很少。比如可以對一些主要西方國家中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵進(jìn)行系統(tǒng)地挖掘，探討不同教材中數(shù)學(xué)文化的特征、教育價(jià)值、內(nèi)容分布、運(yùn)用方式和運(yùn)用水平，并進(jìn)行比較研究。還可以進(jìn)行數(shù)學(xué)文化課程素材開發(fā)研究，但要體現(xiàn)多元文化數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)，要注重不同民族或文化中的數(shù)學(xué)。挖掘不同民族的數(shù)學(xué)文化素材可以通過開展探究性課題學(xué)習(xí)等形式融入現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材中，同時(shí)也可以精心組織數(shù)學(xué)文化校本課程。值得注意的是，數(shù)學(xué)文化要進(jìn)入數(shù)學(xué)課程則還需要進(jìn)行轉(zhuǎn)換。一方面，從數(shù)學(xué)史角度挖掘得到的數(shù)學(xué)素材往往過于強(qiáng)調(diào)學(xué)術(shù)抽象，不適應(yīng)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)；另一方面，從文化角度挖掘得到的數(shù)學(xué)又往往過于強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)背景，數(shù)學(xué)元素不夠突出，數(shù)學(xué)思想也比較樸素。因此，既要將過于學(xué)術(shù)化的數(shù)學(xué)史轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)的數(shù)學(xué)，又要提煉其中的數(shù)學(xué)內(nèi)容，特別是數(shù)學(xué)思想的挖掘，兼顧數(shù)學(xué)方法的滲透，可以研制數(shù)學(xué)文化相關(guān)試題，進(jìn)行數(shù)學(xué)文化題庫的建設(shè)，出版數(shù)學(xué)文化試題冊等。但數(shù)學(xué)文化試題的開發(fā)不能僅把數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)名題直接套用，最好能與考查學(xué)生的觀察、歸納、概括、猜想、發(fā)現(xiàn)等能力結(jié)合起來。

（四）缺少理論研究者與中學(xué)一線教師的緊密合作

一方面，高校數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育的理論研究者與一線數(shù)學(xué)教師的合作的研究較為缺乏，在研究過程中，理論研究者不注重與一線數(shù)學(xué)教師相結(jié)合。為此，這種研究時(shí)常不能得到一線數(shù)學(xué)教師的贊同，認(rèn)為與實(shí)際教學(xué)情況不相符，或者說研究過于理想化。比如對于數(shù)學(xué)文化的教學(xué)設(shè)計(jì)，一線教師寫的一課一評式和數(shù)學(xué)文化教育的理論研究者寫的專題研究式就是最好的例證。另一方面，雖然許多中小學(xué)數(shù)學(xué)教師積累了許多極富理論價(jià)值的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，卻沒有將這些教學(xué)經(jīng)驗(yàn)提升到理論層面，而僅僅只停留在經(jīng)驗(yàn)層面，使數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育研究難以深入開展。

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