鄭利凱

(內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 通遼 028000)

我們知道n維歐氏空間Rn上的Lébesque測度和Lébesque積分[1-2]是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),那么Lébesque測度和Lébesque積分是否可以推廣到抽象的函數(shù)空間上呢? 這是現(xiàn)代數(shù)學(xué)需要研究的課題.許多文獻(xiàn)對這一問題進(jìn)行了深入研究[3-5].下面將Rn上的Lébesque測度和Lébesque積分推廣到Hilbert空間上,給出Hilbert空間上Lébesque測度和Lébesque積分的定義.

1 Hilbert空間上的Lébesque測度

首先，若Hilbert空間X為零空間，即X={0}，則X的Hilbert維數(shù)為0.那么定義X的Lébesque測度為0,即mX=0.

若X為非零有限維Hilbert空間,則X必有完全規(guī)范正交系.設(shè)X的完全規(guī)范正交系的基數(shù)即Hilbert維數(shù)為n,則n≠0.下面證明,X與n維歐氏空間Rn同構(gòu).即存在由Hilbert空間X到n維歐氏空間Rn的映射T,使得?x,y∈X及數(shù)α,β,滿足:

T(αx+βy)=αT(x)+βT(y),=，

其中表示x與y的內(nèi)積.

引理1n維Hilbert空間X和n維歐氏空間Rn同構(gòu).

所以T是X到Rn上的同構(gòu)映射.

根據(jù)Rn中勒貝格測度的知識,可以得到以下結(jié)論:

定理1 Hilbert空間X中凡是具有正測度的集必含有不可測子集.

2 Hilbert空間上的Lébesque積分

下面將n維歐氏空間Rn上的Lébesque積分推廣到n維Hilbert空間X上.

2.1 Hilbert空間上的Lébesque可測函數(shù)

定義3 設(shè)f(x)為定義在n維Hilbert空間X上的實(shí)函數(shù),如果對于任何有限實(shí)數(shù)a,E[f>a]都是可測集,則稱f(x)為定義在X上的Lebesgue可測函數(shù)，或稱f(x)可測， 其中E[f>a]={x|x∈X,f(x)>a}.

根據(jù)Rn中勒貝格測度的知識,可以得到以下結(jié)論:

定理2 設(shè)f(x)是定義在n維Hilbert空間X中可測集E上的實(shí)函數(shù),下列任一條件都是f(x)在E上可測的充要條件:

(i)對任何有限實(shí)數(shù)a,E[f≥a]都可測;

(ii)對任何有限實(shí)數(shù)a,E[f

(iii)對任何有限實(shí)數(shù)a,E[f≤a]都可測;

(iii)對任何有限實(shí)數(shù)a,b(a

定理3 (i)設(shè)f(x)是定義在n維Hilbert空間X中可測集E上的可測函數(shù),而E1?E為E的可測子集,則f(x)看作定義在E1上的函數(shù)時(shí),它是E1上的可測函數(shù).

定理4 設(shè)f(x),g(x)是定義在n維Hilbert空間X中可測集E上的可測函數(shù),則E[f>g]與E[f≥g]都是可測集.

定理5 設(shè)f(x),g(x)是定義在n維Hilbert空間X中可測集E上的可測函數(shù),則下列函數(shù)(假定它們在E上有意義)在E上皆可測:

(i)f(x)+g(x);(ii)|f(x)|;(iii)1/f(x);(iv)f(x)·g(x).

2.2 Hilbert空間中有界集上有界函數(shù)的Lébesque積分

根據(jù)Rn中勒貝格積分的定義,容易得到下面的定理:

(ii)設(shè)分劃D′比D細(xì),則s(D,f)≤s(D′,f),S(D,f)≥S(D′,f);

(iii)對于任意兩個(gè)分劃D,D′,總有s(D,f)≤S(D′,f);

下面給出Hilbert空間中有界集上有界函數(shù)的Lébesque積分的定義.

定義6 設(shè)f(x)為n維Hilbert空間X中測度有限的可測集E上的有界函數(shù),記：

分別稱為f(x)在E上的上,下積分.

根據(jù)Rn中勒貝格積分的有關(guān)知識,容易得到下面的定理:

定理9 設(shè)f(x)是n維Hilbert空間X中測度有限的可測集E上的有界函數(shù),則f(x)在E上Lebesgue可積的充要條件是:?ε>0,?E的分劃D,使得:

這里ωi=Bi-bi.

定理10 設(shè)f(x)是n維Hilbert空間X中測度有限的可測集E上的有界函數(shù),則f(x)在E上Lebesgue可積的充要條件是f(x)在E上可測.

2.3 Hilbert空間中無界集上一般實(shí)函數(shù)的Lébesque積分

首先,討論定義在n維Hilbert空間X中的可測集E(不要求mE<)上的非負(fù)實(shí)函數(shù)f(x)的Lebesgue積分.

同時(shí)f(x)可用一列定義在En上而函數(shù)值隨著n逐漸增大的有界函數(shù)fn(x)來逼近:

定義7 設(shè)f(x)為n維Hilbert空間X中的可測集E上的非負(fù)可測函數(shù),定義：

為f(x)在E上的Lebesgue積分.

下面,討論定義在n維Hilbert空間X中的可測集E(不要求mE<)上的一般實(shí)函數(shù)f(x)(不要求f(x)≥0)的Lebesgue積分.

令f+(x)=max{f(x),0},f-(x)=max{-f(x),0},則f(x)=f+(x)-f-(x).不難證明f(x)在E上可測等價(jià)于f+(x)與f-(x)在E上可測，且有:

為f(x)在E上的Lebesgue積分.特別當(dāng)此積分有限時(shí),稱f(x)在E上Lebesgue可積.

這樣就把Lébesque積分推廣到Hilbert空間上,開辟了新的數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域.

參考文獻(xiàn):

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