何懷玉

(上海政法學(xué)院 經(jīng)濟(jì)管理系，上海 201701)

設(shè)G是個有限群，若頂點為群G的階的素因子則稱群G是素圖；對不同的兩個頂點p和q則稱群G是素圖，若G中含有pq階元，則稱頂點p和q是相連的，即為素圖的邊.群G的階|G|的全體素因子的集合記為π(G)；G的所有元素的階的集合記為ω(G)(也稱之為群G的譜).顯然，集合ω(G)是關(guān)于除法封閉的.有限群G的元素階的集合ω(G)定義了一個Gruenberg-kegel圖GK(G) (也稱之為素圖)，該圖的頂點集合為π(G)；對GK(G)的不同的兩個頂點p和q，若G中含有pq階元，我們就說頂點p和頂點q是相連的，即為GK(G)的邊.顯然，一旦ω(G)確定，其素圖GK(G)也就唯一確定下來了，所以如果ω(G)=ω(L)，則GK(G)=GK(L)，但反之不然.

設(shè)H為任意一個和群G的素圖一樣的有限群，如果H?G，稱群G是可用素圖刻畫的.設(shè)P為有限非交換單群，如果當(dāng)GK(G)=GK(P)時，群G總含有一個合成因子同構(gòu)于群P，則稱單群P為可用素圖擬刻畫的.我們注意到，可用元素的階刻畫的群一定可以用素圖刻畫，但反之不然，所以素圖是比元素的階更弱的條件.

關(guān)于有限群的素圖結(jié)構(gòu)的研究，人們先后取得了非常完善的研究成果[1-3].但對于利用素圖去刻畫有限單群這個問題，目前所獲得的結(jié)論有限，且基本都是針對素圖非連通時的單群的[4-6].當(dāng)素圖連通時，還尚難以僅用其素圖加以刻畫，也未有涉及.本文首次對連通型單群Alt22，嘗試僅用素圖加以刻畫，得到了一般性結(jié)果.本文中所涉及到的群皆為有限群，單群皆為非交換單群.

1 主要結(jié)果

記ρ(G)為群G的極大孤立點集，ρ(2,G)為群G的包含2的極大孤立點集.t(G)為群G的極大孤立點集所含元素的個數(shù)，即極大孤立點數(shù)，顯然t(G)=|ρ(G)|.記t(2,G)為群G的與2不連的極大孤立點數(shù)，則t(2,G)=|ρ(2,G)|.用rn表示qn-1的本原素因子.

(i)S?Alt7或A1(q)，其中q為某個奇數(shù)，且t(S)=t(2,S)=3;

(ii)對任意的p∈π(G)，如果2p?π(G)，即p和2不連，則G的Sylowp-子群一定和S的Sylowp-子群同構(gòu).而且，t(2,S)≥t(2,G).

引理3[8]設(shè)G為有限群，K

引理4 設(shè)G為交錯單群，則：

(i)任取π(G)的兩個奇素數(shù)r和s，則r與s不相連當(dāng)且僅當(dāng)r+s>n；

(ii)任取π(G)的某個奇素數(shù)r，則2與r不相連當(dāng)且僅當(dāng)r+4>n.

下面利用素圖結(jié)構(gòu)，對連通型交錯單群Alt22進(jìn)行素圖刻畫，得到結(jié)論如下：

定理1 設(shè)G為有限群，且GK(G)=GK(Alt22)，則存在G的一個極大可解正規(guī)子群K，使得G/K?Alt19,Alt20,Alt21,Alt22,S19,S20，其中19?π(K).

接下來，針對交換單群S的所有可能進(jìn)行討論.

假設(shè)S為引理1結(jié)論中的第一種情況，即S?Alt7或A1(q).

假設(shè)S=S(q)是李型單群，其中q=pm，其中p為素數(shù)，則pi-1,pj+1或q8+q4+1整除|S(q)|.顯然，p≠19，否則38∈π(S)?π(G)，矛盾.那么19必然整除pi-1,pj+1和q8+q4+1中的某一個.我們知道，當(dāng)t>18時式pt-1含有一個大于19的本原素因子.于是，根據(jù)π(S)?π(G)，則有i≤18,j≤9.

如果S?An(q)，則19|qn-1.當(dāng)n≤4時，由π(S)?π(G)知S?A2(7),A3(7)或A2(11).根據(jù)引理2可知，這些情況均不可能成立.而當(dāng)n≤18時，由于q19-1必然含有一個大于19的本原素因子，而q19-1||An(q)|，矛盾.因此4

如果S?B2(q)，則t(S)=2

G/K?2E6(2),2E6(2)·2,2E6(2)·3或2E6(2)·S3.

而此時由于素因子7和11不在π(K)中，則77∈π(G/S)，這和77?π(2E6(2))產(chǎn)生了矛盾.因此K=1，進(jìn)而G?2E6(2),2E6(2).2,2E6(2).3或2E6(2).S3.同樣根據(jù)77∈π(G)而77?π(2E6(2))，可知這是不可能的.即群S非李型單群.

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