岳紅云，劉宏超

(1.河南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，河南 鄭州 450001；2.鄭州大學(xué) 數(shù)學(xué)系 河南 鄭州 450001)

在本文中，考慮如下方程：

utt-σ(ux)x-uxxt+δ|ut|p-1ut=μ|u|q-1u,x∈Ω,t>0,

(1)

u(0,t)=0,u(1,t)=0,t≥0,

(2)

(3)

其中:δ>0,μ>0,p≥1,q>1為常數(shù)，σ(s)為給定的非線性函數(shù)，φ(x)和ψ(x)為給定的初值函數(shù)，Ω=(0,1)下標(biāo)x和t分別為關(guān)于和的偏導(dǎo)數(shù).方程(1)是一類非線性波動(dòng)方程,它描述了由變率類型材料構(gòu)成的黏彈性固定的運(yùn)動(dòng)[1-3].當(dāng)δ=μ=0時(shí),關(guān)于方程(1)整體解的存在性和其他一些性質(zhì)已經(jīng)有了許多結(jié)果,特別的,在文獻(xiàn)[4]中,作者證明了方程(1)～(3)整體解的存在性和惟一性,但沒有討論解的爆破.在文獻(xiàn)[5]中，當(dāng)黏性阻尼項(xiàng)消失時(shí)，證明了方程(1)～(3)局部解的存在性和解的爆破.本文在黏性阻尼項(xiàng)存在時(shí)，在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)條件下討論了解的爆破，關(guān)于局部解的存在性可通過壓縮映射原理或Galerkin方法得到.

2 解的爆破

定理1 假定以下條件成立：

(i)1≤p

其中：

則方程(1)～(3)的廣義解u(x,t)或古典解u(x,t)在有限時(shí)刻爆破.

H(1-α)(t)+εF′(t)

(4)

其中：

ε>0,a>0為小參數(shù)，將在以后選取它們的大小.

在方程(1)兩端同乘以u(píng)t,并在Ω上積分，可得：

由此推出：

(5)

即H(t)為增函數(shù)，故：

(6)

利用假定方程(2)可知：

由此可得：

(7)

由H?lder不等式[6]，假定方程(1)和式(6)可得：

(8)

選取α,使得：

(9)

假定H(0)>1,可以得到：

(10)

因此，有：

(11)

接下來，繼續(xù)估計(jì)：

由假定方程(1)，式(6)及Poincaré不等式[7]，可得：

選取α,使得：

(12)

(13)

將式(11)，(13)代入式(7)，可得：

(14)

選取ε充分小，H(0)充分大，便得：

(15)

(16)

(17)

由式(6)及假定條件(2)可知：

(18)

將式(15)～(18)代入式(14)中，可得：

(19)

其中：C4為正常數(shù)，上式表明H1-α+εF′為增函數(shù).

取F′(0)>0，則有：

0

下證不等式：

(20)

要證式(20)成立，分兩種情形討論：

(i)F′(t)≤0,則有：

因此，由式(6)及式(18)可知式(20)成立.

(ii)F′(t)>0,則由H?lder不等式及Young不等式，及不等式(a+b)n≤C6(an+bn),其中a,b>0,n>1,C6為正常數(shù)，得到：

再由式(19)可知式(20)成立，其中C8～C10均為正常數(shù).

由式(20)推出：

注：上述定理的證明方法也可以用于研究以f(ut)和g(u)分別代替δ|ut|p-1ut和μ|u|q-1u的方程.

參考文獻(xiàn):

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[4]Zhijian Yang,Guowang Chen.Global existence of solutions for quasi-linear wave equations with viscous dimping[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2003,285:604-628.

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