王 巖， 馮 敬 海， 馮 恩 民

（大連理工大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116024）

0 引 言

計(jì)算歐式期權(quán)的對(duì)沖策略，即找到一個(gè)資產(chǎn)組合，使資產(chǎn)組合復(fù)制的財(cái)富過程能夠模擬期權(quán)的價(jià)值.因此找到滿足一定條件的最優(yōu)資產(chǎn)組合是金融研究中的一類重要問題.文獻(xiàn)[1]論述了最優(yōu)資產(chǎn)組合可以通過期權(quán)價(jià)格的鞅表示定理——Clark－Haussmann－Ocone（CHO）定理得到.

近年來，隨著白噪聲分析理論的發(fā)展，它在金融中的應(yīng)用也受到了廣泛的關(guān)注.白噪聲分析是由Hida[2]首創(chuàng)的無窮維隨機(jī)分析，是一種無窮維的Schwartz型分布理論.Aase等[3]將CHO定理分別推廣到Gauss白噪聲分析和Poisson白噪聲分析框架下，用于研究布朗運(yùn)動(dòng)和Poisson過程驅(qū)動(dòng)的金融市場(chǎng)，用Malliavin導(dǎo)數(shù)表示歐式期權(quán)的最優(yōu)復(fù)制策略.布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的金融市場(chǎng)和Poisson過程驅(qū)動(dòng)的金融市場(chǎng)是兩個(gè)經(jīng)典的分別存在著連續(xù)型和跳躍型隨機(jī)因素的市場(chǎng).

文獻(xiàn)[3]的思想和結(jié)果隨后被推廣到更一般的隨機(jī)過程驅(qū)動(dòng)的金融市場(chǎng)，如文獻(xiàn)[4、5].隨著在理論和應(yīng)用方面的蓬勃發(fā)展，Lévy過程已經(jīng)成為概率論的最熱門分支之一.用Lévy過程建立金融市場(chǎng)模型，尤其在描述股票的價(jià)格方面，更為貼切[6～9].Lévy過程可以分解為時(shí)間變量、布朗運(yùn)動(dòng)和純跳Lévy過程的線性組合[10]，因此布朗運(yùn)動(dòng)和Poisson過程都是Lévy過程的特例.L kka等[11]首次構(gòu)建純跳 Lévy白噪聲分析框架，并應(yīng)用于隨機(jī)微分方程的求解.文獻(xiàn)[12]在文獻(xiàn)[11]的框架下，求解純跳Lévy白噪聲驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)薛定諤方程.L kka[13]利用白噪聲分析理論推導(dǎo)了純跳Lévy過程的CHO定理，用于研究Lévy過程驅(qū)動(dòng)的金融市場(chǎng)的對(duì)沖問題.隨后，Di Nunno等[14]進(jìn)一步構(gòu)建了純跳Lévy過程的白噪聲分析框架，引入Malliavin導(dǎo)數(shù)，將CHO定理推廣到純跳Lévy過程的白噪聲分析框架下，用于求解純跳Lévy過程驅(qū)動(dòng)的金融市場(chǎng)中歐式期權(quán)的最優(yōu)復(fù)制策略.

本文研究由布朗運(yùn)動(dòng)和純跳Lévy過程復(fù)合的Lévy過程驅(qū)動(dòng)的金融市場(chǎng).此市場(chǎng)既有連續(xù)波動(dòng)的性質(zhì)，又復(fù)合了如金融危機(jī)等重大金融事件所造成的不規(guī)則跳躍式波動(dòng)，更切近現(xiàn)實(shí)中一般的市場(chǎng)，是文獻(xiàn)[3、14]中模型的一般化和復(fù)雜化.Lévy白噪聲可視為L(zhǎng)évy過程的廣義時(shí)間導(dǎo)數(shù)，因此本文研究的Lévy白噪聲是Gauss白噪聲和純跳Lévy白噪聲的復(fù)合.文獻(xiàn)[15]構(gòu)建了相應(yīng)的Lévy白噪聲分析框架，本文將CHO定理推廣到Lévy白噪聲分析框架下，用Malliavin導(dǎo)數(shù)表示市場(chǎng)中的方差最小資產(chǎn)組合，并研究Lévy過程驅(qū)動(dòng)的金融市場(chǎng)的固有風(fēng)險(xiǎn).

1 Lévy白噪聲分析框架下的Clark－Haussmann－Ocone定理

令（Ω，F(xiàn)，P）為完備的概率空間，｛Ft｝t≥0為其上的濾子.Lévy過程η（t）＝η（t，ω）：[0，∞）×Ω→R為一個(gè)平穩(wěn)獨(dú)立增量過程，η（0）＝0，且滿足E[η2（t）]＜∞，對(duì)t≥0都成立.令Δη（t）表示η在t時(shí)刻的跳躍，令假 設(shè)則變換后的也為一個(gè) Lévy過程[16].

可選取一列實(shí)數(shù)ai，j，使得為強(qiáng)正交鞅[16].根據(jù)Lévy－It分解定理[10]，Lévy過程η（t）可以分解為

其中a∈R，σ∈R，B（t）為布朗運(yùn)動(dòng)，（dt，dz）＝N（dt，dz）－ν（dz）dt為補(bǔ)償 Poisson隨機(jī)測(cè)度，N（dt，dz）為η（t）的Poisson隨機(jī)測(cè)度，ν（dz）為η（t）的Lévy測(cè)度，B（t）與dt，dz）獨(dú)立.

此市場(chǎng)既有連續(xù)型的隨機(jī)因素，又復(fù)合了如金融危機(jī)等重大金融事件所造成的不規(guī)則跳躍式波動(dòng).

Lévy白噪聲可視為L(zhǎng)évy過程的廣義時(shí)間導(dǎo)數(shù)，本文研究的Lévy白噪聲是Gauss白噪聲和純跳Lévy白噪聲的復(fù)合.文獻(xiàn)[15]構(gòu)建了Lévy白噪聲分析框架.

令S（Rd）為Rd上的C∞全體速降函數(shù)所組成的Schwartz空間，S′（Rd）為S（Rd）的對(duì)偶空間，μG是定義在S′（Rd）空間上的Gauss白噪聲測(cè)度.令（X）為S（Rd＋1）的商空間，X＝Rd×R0，（X）為（X）的對(duì)偶空間，μp是定義在（X）上的純跳Lévy白噪聲測(cè)度.因?yàn)楸疚难芯康腖évy白噪聲的噪聲源是二維的——Gauss白噪聲和純跳Lévy白噪聲，故令空間Ω＝S′（Rd）×S′（X），θ＝μG×μp.

定義2 令B（Ω）為Borelσ代數(shù)，定義（Ω，B（Ω），θ）為L(zhǎng)évy白噪聲空間，θ＝μG×μp為L(zhǎng)évy白噪聲測(cè)度.

引理1[15]令α＝ （α1，α2，…）為多維數(shù)組，有限個(gè)αi非0，且表 示 多 維 數(shù) 組α＝ （α1，α2，…） 的 集 合. 令｛Hα（ω）｝α∈J和｛Kβ（ω）｝β∈J分別為平方可積的白噪聲泛函空間L2（μG）和L2（μp）中的混沌分解基.則對(duì)平方可積的Lévy白噪聲泛函f∈L2（θ），存在著空間L2（θ）中的一組混沌分解基｛Mγ｝γ∈T，使 得 其 中Mγ（ω1，ω2）＝Hα（ω1）Kβ（ω2），T＝J×J，α，β∈J，γ＝ （αβ）∈T，ω1∈S′（Rd），ω2∈（X），Cγ＝（aα，bβ），且有

為了定義f∈L2（θ）在t點(diǎn)對(duì)于Gauss型隨機(jī)元素ω1∈S′（Rd）和純跳 Lévy型隨機(jī)元素ω2∈（X）的Malliavin導(dǎo)數(shù)，首先給出分布空間的定義，Malliavin導(dǎo)數(shù)定義在此隨機(jī)分布空間上.

定義3 令q∈Z，對(duì)平方可積的Gauss白噪聲泛函定義范數(shù)，定義隨機(jī)分布空間為并在上配備歸納極限拓?fù)?另一方面，令q∈Z，對(duì)平方可積的純跳Lévy白噪聲泛函， 定 義 范 數(shù)令

定義4 對(duì)Lévy白噪聲泛函f（ω）＝f（ω1，

根據(jù)定義3，存在著包含關(guān)系L2（θ）

定義在t點(diǎn)關(guān)于ω2的Malliavin導(dǎo)數(shù)為

這里ξi（t）為 Hermite函數(shù)0 … 0），l（i，m）＝m＋ （i＋m－2）（i＋m－1）/2.

下面給出L2（θ）上的CHO定理，此定理的證明是文獻(xiàn)[3]中定理3.11和文獻(xiàn)[14]中定理4.12的平行推廣，在此不再重復(fù).

定理1 （L2（θ）上的CHO定理）令λ表示R上的Lebesgue測(cè)度，f∈L2（θ）為FT可測(cè)的，則有L2（λθ），并且

這里E為廣義期望表示F在t點(diǎn)關(guān)于ω1的Malliavin導(dǎo)數(shù)表示F在t點(diǎn)關(guān)于ω2的Malliavin導(dǎo)數(shù)，是Lévy過程η（t）的正交冪跳過程，Y（1）（t）＝η（t），且當(dāng)m≠n時(shí)，Y（m）（t）和Y（n）（t）是正交的.

2 Lévy過程驅(qū)動(dòng)的金融市場(chǎng)模型

本文研究由一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)S0（t）和K（K＜ ∞）種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)S1（t），…，SK（t）組成的金融市場(chǎng)，交割日期為T.市場(chǎng)是由Lévy過程驅(qū)動(dòng)的，即風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)由Lévy過程來刻畫.為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可以將標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)值表示為

本文討論如何選擇資產(chǎn)組合復(fù)制歐式期權(quán)F∈L2（θ）的價(jià)值，θ為L(zhǎng)évy白噪聲測(cè)度.在金融模型中有一個(gè)信息濾子流｛Ft｝，刻畫在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)投資者所能獲取的信息總量.通常假設(shè)這個(gè)信息濾子流與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格過程生成的信息相一致，即假設(shè)資產(chǎn)組合過程是信息濾子流｛Ft｝適應(yīng)的，稱｛Ft｝t∈[0，T]所承載的信息為完全信息.對(duì)于投資者來說，通常在決策時(shí)所獲取的信息是不完全的，即存在著一族子σ－代數(shù)｛Ht｝t∈[0，T]表示在t時(shí)刻可以獲取的信息集，對(duì)于t∈[0，T]，有HtFt.稱｛Ht｝t∈[0，T]所承載的信息為部分信息.

例1φ（t）∈Ht＝F（t－δ）＋，δ＞0為常數(shù)，表示信息流存在著δ時(shí)間的延遲，即投資者要在tδ這一時(shí)刻，參照F（t－δ）＋所包含的信息，決定t時(shí)刻的隨機(jī)過程φ（t）的取值.

定義5 令φ（t） ＝ （φ0（t），φ1（t），…，φK（t）），0≤t≤T，表示投資在Sj（t），j＝0，1，…，K上的資產(chǎn)份數(shù).如果φ（t）是Ft適應(yīng)的（或Ht適應(yīng)的），并且則稱φ（t）是Ft可行策略（或Ht可行策略），F(xiàn)t可行策略（或Ht可行策略）的集合記為AF（或AH）；如果存在著Ft可行策略φ（t）∈AF（或Ht可行策略φ（t）∈AH），使得

稱歐式期權(quán)F為F可復(fù)制的（或H可復(fù)制的）；如果市場(chǎng)中的每個(gè)歐式期權(quán)F∈L2（θ）都是F可復(fù)制的（或H可復(fù)制的），則稱此市場(chǎng)為F完全市場(chǎng)（或H完全市場(chǎng)）.

Lévy過程驅(qū)動(dòng)的市場(chǎng)一般來說不是F完全市場(chǎng)（或H完全市場(chǎng)）.一方面，Lévy過程跳躍的高度是難以獲知的；另一方面，資產(chǎn)組合的選擇限制在S1（t），…，Sk（t）上，k≤K.當(dāng)歐式期權(quán)不能用資產(chǎn)組合F完全復(fù)制（或H完全復(fù)制）時(shí)，投資者希望找到“最保險(xiǎn)”的復(fù)制策略，即文獻(xiàn)[14]提出的方差最小復(fù)制策略.

定義6 對(duì)于平方可積的歐式期權(quán)F∈L2（θ），若存在著φ（t）∈AH（或φ（t）∈AF）使

則稱φ（t）為F的H（或F）方差最小復(fù)制策略.

3 方差最小復(fù)制策略及市場(chǎng)固有風(fēng)險(xiǎn)

本章用Malliavin導(dǎo)數(shù)表示歐式期權(quán)F的方差最小復(fù)制策略，主要理論依據(jù)是L2（θ）上的CHO定理.

定理2 在Lévy過程所驅(qū)動(dòng)的市場(chǎng)式（5）、（6）中，歐式期權(quán)F∈L2（θ）的F方差最小復(fù)制策略ψ（t）＝ （ψ0（t），ψ1（t），…，ψk（t））表示為

證明 給定平方可積Lévy白噪聲泛函F∈L2（θ），根據(jù)L2（θ）上的CHO定理，F(xiàn)具有如下分解：

其中Bj（t）為布朗運(yùn)動(dòng)是Lévy過程ηj（t）的正交冪跳過程.

令ψ（t）為F的F方差最小復(fù)制策略.因?yàn)樗杂搔祝╰）復(fù)制的價(jià)值為

由于L2（FT，π）是 Hilbert空間，根據(jù)方差最小復(fù)制策略的定義6，即找到φ＊（t），使得

對(duì)于任意的具有下列形式的Ξ∈L2（FT，θ）都成立，這里

其中εj∈AF.將式（9）、（10）和（12）代入式（11），可得

根據(jù)Y（m）（t）的正交性[16]，上式寫為

由εj∈AF的任意性，根據(jù)式（14），可得式（8），定理得證.

由定理2和條件數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，可直接得到部分信息的H方差最小復(fù)制策略.

推論1 在Lévy過程所驅(qū)動(dòng)的市場(chǎng)式（5）、（6）中，歐式期權(quán)F∈L2（θ）的H方差最小復(fù)制策略為

在Lévy過程驅(qū)動(dòng)的金融市場(chǎng)中，當(dāng)投資者對(duì)F∈L2（θ）選擇復(fù)制策略時(shí)，由于跳躍過程和資產(chǎn)選擇的限制不能實(shí)現(xiàn)對(duì)歐式期權(quán)F完全復(fù)制.這是市場(chǎng)本身所存在的不可規(guī)避的風(fēng)險(xiǎn)，稱之為市場(chǎng)固有風(fēng)險(xiǎn).市場(chǎng)固有風(fēng)險(xiǎn)不包括信息缺失所帶來的風(fēng)險(xiǎn).

定理3 在Lévy過程驅(qū)動(dòng)的金融市場(chǎng)式（5）、（6）中，系統(tǒng)的固有風(fēng)險(xiǎn)為

證明 給定平方可積Lévy白噪聲泛函F∈L2（θ），根據(jù)L2（θ）上的CHO定理，F(xiàn)具有分解

令表示F方差最小復(fù)制策略φ（t）＝ （φ0（t），φ1（t），…，φk（t）），0≤t≤T，k≤K所復(fù)制的價(jià)值，則

將F和代入固有風(fēng)險(xiǎn)Λ＝F－的定義，可得到式（15），證畢.

推論2 如果金融市場(chǎng)由補(bǔ)償Poisson過程（t）驅(qū)動(dòng)，即（t）＝（t），且k＝K，則有Λ＝0.

證明 當(dāng)（t）＝（t）時(shí)，對(duì)給定平方可積Lévy白噪聲泛函F∈L2（μp），根據(jù)L2（μp）上的CHO 定 理，F(xiàn)具 有 分 解F（ω） ＝E[F]＋令 表示F方差最小復(fù)制 策 略φ（t）＝ （φ0（t），φ1（t），…，φk（t）），0 ≤t≤T，k≤K所復(fù)制的價(jià)值，則

將F和代入固有風(fēng)險(xiǎn)Λ＝F－的定義，可得Λ＝0，那么Lévy過程驅(qū)動(dòng)的金融市場(chǎng)是完全市場(chǎng).

由此，當(dāng)所有的K個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)都用來組成復(fù)制策略時(shí)，Lévy過程的特例（t）＝（t）所驅(qū)動(dòng)的市場(chǎng)是完全的.□

4 結(jié) 語

本文研究由布朗運(yùn)動(dòng)和純跳Lévy過程復(fù)合的Lévy過程驅(qū)動(dòng)的金融市場(chǎng).此市場(chǎng)既有連續(xù)波動(dòng)的性質(zhì)，又復(fù)合了如金融危機(jī)等重大金融事件所造成的不規(guī)則跳躍式波動(dòng).白噪聲分析的方法應(yīng)用于金融市場(chǎng)在文獻(xiàn)[3]和[14]中都有所研究，文獻(xiàn)[3]用Gauss白噪聲分析研究布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的金融市場(chǎng)，而文獻(xiàn)[14]用純跳Lévy白噪聲分析研究純跳Lévy過程驅(qū)動(dòng)的金融市場(chǎng).本文的模型是文獻(xiàn)[3]和[14]中模型的復(fù)合.在Gauss白噪聲和純跳Lévy白噪聲復(fù)合的Lévy白噪聲框架下，應(yīng)用CHO定理，用Malliavin導(dǎo)數(shù)具體表示了歐式期權(quán)的方差最小復(fù)制策略和市場(chǎng)固有風(fēng)險(xiǎn).因此，本文的結(jié)果包含了文獻(xiàn)[3]和[14]的結(jié)果，而且更貼近現(xiàn)實(shí)中一般的金融市場(chǎng).

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