任 斐， 孫 玉 文， 郭 東 明

（1.大連理工大學(xué) 精密與特種加工教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024；2.上海航天設(shè)備制造總廠，上海 200245）

0 引 言

隨著航空航天、國(guó)防和汽車制造等工業(yè)的廣泛發(fā)展，很多零件因采用整體結(jié)構(gòu)件而使材料的去除量顯著加大，提高該類零件的加工效率受到越來(lái)越多的重視.進(jìn)給率定制是影響加工過(guò)程的重要因素，進(jìn)行進(jìn)給率的自適應(yīng)定制對(duì)改善切削狀況，提高加工質(zhì)量和效率具有重要的工程應(yīng)用價(jià)值.

在進(jìn)給率定制模型中，通常以恒定材料去除率［1～3］或恒定切削力［4～6］為目標(biāo).Eridm 等［7］分別從理論和實(shí)驗(yàn)方面對(duì)基于兩種模型的進(jìn)給率優(yōu)化方法進(jìn)行了比較分析，指出前一種模型能獲得更大的進(jìn)給率，但隨之增大的切削力有可能引起刀具的變形和磨損，甚至破壞加工過(guò)程的穩(wěn)定性和機(jī)床本身.目前，基于恒力的進(jìn)給率定制策略［8～11］通常假定預(yù)測(cè)的切削合力與進(jìn)給率呈線性關(guān)系來(lái)修正進(jìn)給率，使加工過(guò)程中切削合力保持恒定，但其依據(jù)的銑削力預(yù)測(cè)模型也多以近似圓弧計(jì)算切屑厚度.此外，在進(jìn)給率優(yōu)化模型的約束條件中，一般主要使用刀具橫向斷裂強(qiáng)度約束峰值力［8］，或考慮切屑厚度約束對(duì)進(jìn)給率的制約［9］.由于加工中自由曲面上各點(diǎn)切削狀態(tài)的復(fù)雜性以及進(jìn)給率的加大，建立在水平直線槽切基礎(chǔ)上的刀刃運(yùn)動(dòng)軌跡的近似圓弧假定已受到很大的限制，針對(duì)帶有傾角的平面直線加工已有相應(yīng)的修正公式［12、13］，但仍不能滿足任意軌跡下精確銑削力預(yù)測(cè)的要求.此外，約束條件的不全面也可能對(duì)工件加工表面誤差以及刀具和機(jī)床的安全性等帶來(lái)不利的影響.

為此，本文提出一種基于切削力精確預(yù)測(cè)的進(jìn)給率定制模型.該模型首先基于刀具與工件的相對(duì)運(yùn)動(dòng)分析，建立銑削力的預(yù)測(cè)模型；在此基礎(chǔ)上綜合考慮實(shí)際加工中的各種制約因素，實(shí)現(xiàn)以精度、刀具應(yīng)力、扭矩等約束下材料去除率最大化為目標(biāo)的進(jìn)給率優(yōu)化定制.

1 切削力精確預(yù)測(cè)模型

1.1 銑削力模型

對(duì)于球頭銑刀刀刃上任意切削微元，根據(jù)切削力與未變形切屑厚度成正比的假設(shè)，建立切向（dFt）、徑向（dFr）和軸向（dFa）微元切削力公式：

式中：m＝t，r，a；Km（MPa）表示切削力系數(shù)，可通過(guò)文獻(xiàn)［14］所述驗(yàn)證方法獲得；ψij表示第i個(gè)切削刃上第j個(gè)微元刀刃在刀具轉(zhuǎn)角為θ時(shí)的角度，ψij（θ，z）＝θ＋2π（i－1）/N＋zj（tani0）/R0，zj表示該微元刀刃在刀具坐標(biāo)系下的z坐標(biāo)；tn（mm）為相應(yīng)的未變形切屑厚度；db（mm）表示微元刀刃的厚度.

1.2 未變形切屑厚度

由式（1）可以看出未變形切屑厚度是影響銑削力仿真結(jié)果的重要因素之一.根據(jù)圖1所示的幾何關(guān)系，全局坐標(biāo)系下切削微元的瞬時(shí)未變形切屑厚度可通過(guò)計(jì)算點(diǎn)P和Q之間的距離得到.

使用式（2）計(jì)算切屑厚度需解決：（1）描述P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的前刀刃軌跡；（2）定義線段CP.

圖1 未變形切屑厚度計(jì)算示意圖Fig.1 Schematic diagram of undeformed chip thickness calculation

1.2.1 任意微元刀刃的前刀刃軌跡 考慮復(fù)雜曲面加工中零件幾何特征和刀具路徑拓?fù)湫螤钣绊懡⒒诿枋鑫⒃度姓鎸?shí)運(yùn)動(dòng)軌跡的切屑厚度準(zhǔn)確計(jì)算模型.假設(shè)P點(diǎn)在全局坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分量為XP、YP和ZP，根據(jù)文獻(xiàn)［14］分析，前刀刃軌跡為

1.2.2CP與前刀刃軌跡的交點(diǎn) 設(shè)為t時(shí)刻P點(diǎn)的位置矢量，rcPl為相應(yīng)的刀位點(diǎn)矢量，則CP可定義為

由給定的微元刀刃和式（3）、（4）可知交點(diǎn)滿足

考慮到參數(shù)t＊和之間的隱式關(guān)系，使用數(shù)值方法求解該方程.通過(guò)迭代可解變換后前刀刃軌跡和CP的交點(diǎn).當(dāng)有多個(gè)交點(diǎn)存在時(shí)，根據(jù)文獻(xiàn)［15］，可求出所有的交點(diǎn)（Q1，Q2，…），真實(shí)的未變形切屑厚度值為對(duì)應(yīng)每個(gè)交點(diǎn)的未變形切屑厚度中的最小值

2 進(jìn)給率優(yōu)化模型

通過(guò)調(diào)節(jié)刀具進(jìn)給率加快工件材料去除是提高加工效率的有效途徑.本文基于提出的切削力精確預(yù)測(cè)模型，結(jié)合懸臂梁模型、應(yīng)力模型和扭矩計(jì)算公式，分析了進(jìn)給率調(diào)節(jié)過(guò)程中由切削力引起的刀具內(nèi)應(yīng)力、刀桿受力變形以及機(jī)床主軸扭矩的變化規(guī)律.通過(guò)約束這些影響加工過(guò)程的關(guān)鍵因素，在保證加工精度、刀具和機(jī)床安全的基礎(chǔ)上，最大限度地實(shí)現(xiàn)高效率加工.

式中約束條件分別對(duì)應(yīng)加工誤差約束、刀具內(nèi)應(yīng)力約束和機(jī)床主軸扭矩極限.

2.1 材料去除率模型

在被加工曲面任意刀具路徑的采樣點(diǎn)處，材料去除率可由刀具進(jìn)給率和行距的乘積描述：

式中：f為刀具進(jìn)給率；l為給定加工誤差條件下最大可行行距，

式中：［ε］為給定加工誤差，κn（l）為行距方向曲面法曲率.

2.2 加工誤差

刀具受力變形是曲面加工誤差產(chǎn)生的重要原因.為保證零件加工精度，刀具變形引起的加工誤差應(yīng)控制在許可范圍內(nèi)：

2.2.1 刀具變形 基于將刀具簡(jiǎn)化為懸臂梁結(jié)構(gòu)的假設(shè)對(duì)刀具受力變形進(jìn)行分析.作用在切削合力位置的瞬時(shí)切削合力在刀具坐標(biāo)系下分解為刀軸方向的力FcZ和刀具橫截面內(nèi)的力FcX和FcY.由于刀軸方向的剛度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于刀具橫截面方向的，忽略刀軸方向的變形，只考慮刀具受FcX和FcY產(chǎn)生的彎曲變形.

定義瞬時(shí)切削合力對(duì)刀具在球心位置產(chǎn)生的變形為此刻的刀具變形：

式中：E為彈性模量；I為慣性矩；λ＝X，Y；運(yùn)算法〈〉表示〈b〉＝b當(dāng)b≥0，否則〈b〉＝0.

2.2.2 刀具變形引起的加工誤差 在切削成形過(guò)程中，零件與刀具相互作用產(chǎn)生的對(duì)理論位置的偏離決定了加工誤差.如圖2所示，被加工曲面上點(diǎn)P由刀刃點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到理想曲面上點(diǎn)P＊加工生成.理想情況下，P與P＊重合，P與該時(shí)刻刀具球心點(diǎn)O＊間的距離為刀具半徑：

但受加工參數(shù)以及刀刃幾何形狀影響（螺旋角不為零），B與P＊接觸時(shí)，除刀刃點(diǎn)B之外的其他參與切削的微元產(chǎn)生的切削力使得刀具受力變形造成點(diǎn)P出現(xiàn)

刀刃切削后剩余材料厚度在點(diǎn)P＊法矢上的投影即為點(diǎn)P＊的加工誤差：

式中：F為點(diǎn)P＊與其法矢構(gòu)成的直線與以O(shè)為球心、R0為半徑構(gòu)成的球的交點(diǎn).

圖2 由刀具變形引起的加工誤差計(jì)算示意圖Fig.2 Schematic diagram of establishing the machining error caused by tool deflection

2.3 刀具內(nèi)應(yīng)力

切削力引起的銑刀內(nèi)部最大拉應(yīng)力不能超過(guò)刀具材料的極限應(yīng)力：

式中：σmax為刀具內(nèi)部最大拉應(yīng)力；σ0為刀具材料的極限應(yīng)力，可由軸向拉伸實(shí)驗(yàn)獲得.

加工中任意時(shí)刻刀具受力如圖3（a）所示，在考慮軸向力拉壓作用情況下，刀具橫截面所受應(yīng)力

式中：M x和M y為對(duì)過(guò)梁質(zhì)心的x和y軸的力矩，I為慣性矩，A為刀具橫截面面積.

在分析刀具橫截面幾何模型的基礎(chǔ)上，給出慣性矩和橫截面面積的解析計(jì)算公式.如圖3（b）所示，刀具橫截面區(qū)域由半徑為r和rcf/2的多個(gè)圓弧構(gòu)成，在△OzjBA中，根據(jù)余弦定理有

式中：Re（θ，zj）為橫截面等效半徑，又因?yàn)?/p>

式中：R（zj）為z＝zj截面處刀具半徑，因此

圖3 內(nèi)應(yīng)力計(jì)算Fig.3 Calculating of the internal stress

根據(jù)定義和邊界條件，可得橫截面面積和慣性矩如下：

當(dāng)0≤zj＜R0時(shí)

當(dāng)zj≥R0時(shí)

加工中最大刀具應(yīng)力通常發(fā)生在刀具橫截面邊界處，引入等效半徑，則最大應(yīng)力可表示為

2.4 機(jī)床主軸扭矩極限

給定加工條件下，切削力產(chǎn)生的扭矩峰值不能超過(guò)機(jī)床主軸扭矩閾值.任意加工時(shí)刻，主軸所受扭矩Tc可表示為

式中：Ne為參與切削微元刀刃的個(gè)數(shù)；dFjt和Rj分別為刀刃微元j的切向力和半徑，

對(duì)于各tr周期內(nèi) （tr＝1/S）

2.5 優(yōu)化進(jìn)給率計(jì)算

對(duì)于任一采樣點(diǎn)，計(jì)算刀具轉(zhuǎn)動(dòng)一周內(nèi)加工誤差、刀具應(yīng)力和機(jī)床主軸扭矩的最大值：εmax、σmax和Tcmax.計(jì)算最大值與給定閾值的比值，其中比值最大的即為當(dāng)前進(jìn)給率下的關(guān)鍵約束因素.根據(jù)關(guān)鍵約束因素，描述加工過(guò)程的一階傳遞函數(shù)，以及比例積分控制，計(jì)算進(jìn)給率的調(diào)節(jié)增量，并修正當(dāng)前的進(jìn)給率.使用修正的進(jìn)給率重新計(jì)算約束因素峰值.整個(gè)過(guò)程循環(huán)迭代直到約束因素中的任意一個(gè)超過(guò)給定閾值.

在z域中，用一階傳遞函數(shù)近似表達(dá)進(jìn)給率和最大值之間的關(guān)系：

式中：χ＝ε，σ，Tc；ag＝－e－4，為固定的極點(diǎn)；Kg為時(shí)變?cè)鲆妫?/p>

采用比例積分控制方法調(diào)節(jié)進(jìn)給率

式中

Kp、Ki、T采用文獻(xiàn)［16］計(jì)算結(jié)果.

根據(jù)式（24）～（27）計(jì)算的進(jìn)給率被寫入相應(yīng)NC代碼中，構(gòu)成優(yōu)化的數(shù)控加工代碼.

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所給模型，對(duì)圖4（a）所示被加工零件以及由CAM軟件UG生成的數(shù)控加工G代碼程序進(jìn)行自適應(yīng)進(jìn)給率定制.實(shí)驗(yàn)所用刀具為10硬質(zhì)合金兩刃球頭銑刀，工件材料為45＃鋼.設(shè)定許用加工誤差εmax＝0.02 mm，刀具材料的極限應(yīng)力σ0＝355 MPa，機(jī)床主軸扭矩極限Tcmax＝53 N·m.以各個(gè)代碼對(duì)應(yīng)的刀位點(diǎn)為采樣點(diǎn)計(jì)算的刀具轉(zhuǎn)動(dòng)一周內(nèi)加工誤差、刀具應(yīng)力和機(jī)床主軸扭矩的最大值見(jiàn)圖4（b）.基于式（27）比較各個(gè)制約因素重要性，迭代計(jì)算出各個(gè)采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的優(yōu)化后的進(jìn)給率.從表中（圖4（b））可以看出，在不同采樣點(diǎn)處制約進(jìn)給率定制的因素各不相同，在采樣點(diǎn)P14位置處，刀具應(yīng)力約束起決定性作用，進(jìn)給率以σ0為調(diào)節(jié)準(zhǔn)則；在采樣點(diǎn)P9位置處，機(jī)床主軸扭矩約束起決定性作用，進(jìn)給率以為調(diào)節(jié)準(zhǔn)則；在采樣點(diǎn)P5和P18位置處，加工誤差約束起決定性作用，進(jìn)給率以εmax為調(diào)節(jié)準(zhǔn)則.優(yōu)化前后的進(jìn)給率隨工件長(zhǎng)度L的變化如圖4（c）所示.圖4（d）給出優(yōu)化前后采樣點(diǎn)加工誤差，可以看出隨進(jìn)給率調(diào)整加工誤差增加但并未超過(guò)許用加工誤差.基于優(yōu)化后的數(shù)控代碼，通過(guò)實(shí)際加工驗(yàn)證，進(jìn)給率優(yōu)化前加工時(shí)間約為71 s，進(jìn)給率優(yōu)化后加工時(shí)間僅約為38.6 s，加工效率提高45.6%.

圖4 多約束進(jìn)給率優(yōu)化實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證Fig.4 Verification of multi－constraints feedrate optimization model

4 結(jié) 論

本文給出了基于刀具運(yùn)動(dòng)分析的切削力模型和加工過(guò)程多約束的進(jìn)給率定制方法.基于刀具－工件相對(duì)運(yùn)動(dòng)分析，推導(dǎo)出沿任意刀具路徑拓?fù)湫螤罴庸?fù)雜曲面過(guò)程中刀刃微元真實(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡的解析表達(dá)，在此基礎(chǔ)上給出了瞬時(shí)未變形切屑厚度精確計(jì)算結(jié)果，減少了使用基于刀刃運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧假設(shè)的切削力模型計(jì)算帶來(lái)的誤差.以刀具應(yīng)力、加工誤差、機(jī)床主軸扭矩為約束，給出用于進(jìn)給率定制的有約束極值計(jì)算模型.通過(guò)分析球頭刀橫截面幾何特性，給出了計(jì)算刀具變形、應(yīng)力時(shí)所用到的面積、慣性矩等關(guān)鍵參數(shù)的解析計(jì)算公式，改善了使用等效半徑計(jì)算面積和慣性矩對(duì)結(jié)果精度的影響.通過(guò)使用一階傳遞函數(shù)表達(dá)加工過(guò)程，并采用比例積分控制方法實(shí)現(xiàn)了對(duì)進(jìn)給率的調(diào)節(jié).實(shí)例驗(yàn)證了該模型的可行性，在保證加工質(zhì)量的同時(shí)提高了加工效率，非常適于復(fù)雜曲面高效高精度加工.

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