李 宏 坤， 趙 長(zhǎng) 生， 郭 騁， 趙 利 華

（1.大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024；2.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024）

0 引 言

所謂預(yù)測(cè)就是將歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，借助數(shù)學(xué)模型進(jìn)行外推，將模型的外推值作為真實(shí)值的參考的過(guò)程.而機(jī)械設(shè)備壽命預(yù)測(cè)是指根據(jù)歷史監(jiān)測(cè)結(jié)果進(jìn)行分析，估計(jì)設(shè)備故障可能發(fā)生的時(shí)間，以便主動(dòng)掌握設(shè)備運(yùn)行狀況.設(shè)備壽命預(yù)測(cè)對(duì)于減少設(shè)備維修成本和提高生產(chǎn)效益具有重要實(shí)際意義.

目前，機(jī)械設(shè)備壽命預(yù)測(cè)方法主要包括損傷積累法和特征參數(shù)法.影響機(jī)械設(shè)備壽命的因素不但較多而且變化復(fù)雜，且損傷積累預(yù)測(cè)方法的分散性較大[1]，所以損傷積累預(yù)測(cè)方法在機(jī)械設(shè)備壽命預(yù)測(cè)中難以實(shí)現(xiàn).特征參數(shù)預(yù)測(cè)方法是壽命預(yù)測(cè)的研究方向之一，其關(guān)鍵是特征提取和參數(shù)的建模方法.特征參數(shù)預(yù)測(cè)方法較多，如灰色理論預(yù)測(cè)、模糊預(yù)測(cè)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)、混沌預(yù)測(cè)、回歸預(yù)測(cè)、時(shí)間序列預(yù)測(cè)等.可以說(shuō)，沒(méi)有一種方法能夠預(yù)測(cè)所有序列，每一種預(yù)測(cè)方法都有各自的適用范圍和局限性[2].

GM（1，1）模型是灰色預(yù)測(cè)理論中最具有代表性的基礎(chǔ)內(nèi)容，具有貧信息、高精度、簡(jiǎn)機(jī)理等建模特點(diǎn)，已在機(jī)械設(shè)備壽命預(yù)測(cè)[3、4]等各個(gè)方面得到廣泛應(yīng)用并取得了不錯(cuò)的效果[5、6].但是傳統(tǒng)GM（1，1）預(yù)測(cè)模型也并非完美，其最大不足就是預(yù)測(cè)偏差大，適用范圍窄.為了提高此方法在機(jī)械設(shè)備預(yù)知維修中的實(shí)用性，本文對(duì)GM（1，1）的預(yù)測(cè)模型進(jìn)行改進(jìn)算法研究.

1 GM（1，1）模型建模機(jī)理

設(shè)滿足建模條件的原始序列為X（0）＝｛x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）｝，則 1－AGO（一 次累加生成）序列為

求解方程（2）并將其解在離散情況下描述：

觀察式（3）可知，只有解出C、a和u方可得到序列的預(yù)測(cè)值.

將式（2）在區(qū)間 [k，k＋1]積分得

取背景值

則式（5）可以表示為

其中

通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)GM（1，1）模型推導(dǎo)過(guò)程存在三點(diǎn)不足.一是未對(duì)原始序列做預(yù)處理.分析式（9），GM（1，1）模型序列具有指數(shù)發(fā)展規(guī)律，故原始序列的發(fā)展趨勢(shì)對(duì)GM（1，1）模型的擬合及預(yù)測(cè)精度具有一定的影響.二是背景值的求解方法有待進(jìn)一步完善.事實(shí)上，原始序列間隔越小、1－AGO變化越平緩，誤差就會(huì)越小.當(dāng)原始序列速度增長(zhǎng)較快時(shí)，則會(huì)產(chǎn)生較大的滯后誤差.三是初始值選取不合理也是傳統(tǒng)GM（1，1）建模過(guò)程產(chǎn)生誤差的根源之一[7]，并且沒(méi)有考慮參數(shù)x（1）（1）對(duì)參數(shù)a、u的影響.通過(guò)分析式（6）發(fā)現(xiàn)，如何確定x（1）（1）的值也會(huì)影響后續(xù)的預(yù)測(cè)精度.

2 一種新的GM（1，1）模型的提出

對(duì)于不滿足要求的原始序列，采取加權(quán)預(yù)處理.經(jīng)研究，改善原始序列光滑度和構(gòu)造更為合理的背景值均可減少滯后誤差，對(duì)于背景值構(gòu)造過(guò)程中的誤差改進(jìn)，許多文獻(xiàn)已給出卓有成效的改進(jìn)方法[8～10]，考慮到根式變換方法簡(jiǎn)單易行，并且其逆變換具有還原誤差的獨(dú)立性，本文選擇根式變換方法減少滯后誤差帶來(lái)的影響.對(duì)于初始值＾x（1）（1）的選擇，本文在文獻(xiàn)[7、11]的基礎(chǔ)上，充分考慮x（1）（1）對(duì)參數(shù)C、a、u的影響，給出一種基于最小平均相對(duì)誤差的GM（1，1）改進(jìn)算法，新的求解方法如下.

將式（10）代入式（9）得

假定

求出令S達(dá)到極小值的參數(shù)m，進(jìn)行式（4）～（9）步驟.綜上，改進(jìn)GM（1，1）預(yù)測(cè)模型步驟如下：

（1）原始序列預(yù)處理；

（2）1－AGO獲得生成列；

（3）對(duì)生成列做根式變換；

（5）還原并檢驗(yàn).

3 實(shí)例分析

3.1 指數(shù)型增長(zhǎng)序列

取指數(shù)型增長(zhǎng)序列為X（0）＝ ｛1.34986，1.82212，2.45960，3.32012，4.48169｝，由于數(shù)據(jù)為指數(shù)型增長(zhǎng)數(shù)據(jù)，直接進(jìn)行步驟（2）～（5）.改進(jìn)算法與文獻(xiàn)[7、8]方法對(duì)比結(jié)果見表1.

分析表1，改進(jìn)算法（Ⅱ）的結(jié)果是最好的.可以驗(yàn)證，對(duì)于指數(shù)型增長(zhǎng)數(shù)據(jù)，隨著根式節(jié)次的增大，改進(jìn)算法的誤差將會(huì)進(jìn)一步減小.

3.2 一般型增長(zhǎng)序列

為便于說(shuō)明，原始序列取文獻(xiàn)[12]中1972～1982年全國(guó)電視機(jī)產(chǎn)量數(shù)據(jù).經(jīng)分析，原始序列為一般增長(zhǎng)規(guī)律的序列，且最后一個(gè)數(shù)據(jù)不符合整體增長(zhǎng)趨勢(shì).但對(duì)于預(yù)測(cè)來(lái)說(shuō)，新信息是最有價(jià)值的，本文將1979～1981年的產(chǎn)量數(shù)據(jù)分別乘以權(quán)重2/3做加權(quán)預(yù)處理.傳統(tǒng)GM（1，1）建模方法的平均誤差高達(dá)263.17%，改進(jìn)算法、文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[12]方法結(jié)果見表2.

表1 指數(shù)型增長(zhǎng)序列Tab.1 Exponential increasing series

表2 一般型增長(zhǎng)序列Tab.2 General increasing series

與普通序列相比，改進(jìn)算法（Ⅱ）對(duì)于指數(shù)規(guī)律較強(qiáng)的序列尤為有效，對(duì)于非指數(shù)規(guī)律序列，可以在實(shí)際應(yīng)用中擇優(yōu)建模.不管使用哪種方法，其精度都要遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)模型.同時(shí)，改進(jìn)算法的最后幾個(gè)數(shù)據(jù)和實(shí)際的數(shù)據(jù)擬合程度較高，對(duì)后續(xù)的預(yù)測(cè)具有較高的指導(dǎo)意義，因?yàn)閷?duì)于預(yù)測(cè)來(lái)說(shuō)，最有價(jià)值的信息就是新數(shù)據(jù).改進(jìn)算法（Ⅰ）的預(yù)測(cè)效果見圖1.

3.3 機(jī)械設(shè)備壽命預(yù)測(cè)

數(shù)據(jù)來(lái)自某工廠磨床設(shè)備軸承座1995－01－05至1995－07－05連續(xù)7個(gè)月的振動(dòng)加速度測(cè)試，儀器選用大連理工大學(xué)振動(dòng)工程研究所PDM2000數(shù)據(jù)采集儀，采樣頻率為1280 Hz，采樣時(shí)間為4 s，1～6月份的測(cè)量結(jié)果見圖2.

提取加速度的均方根值作為特征參數(shù)，原序列X（0）＝ ｛10.02，10.76，10.87，13.28，14.89，17.55，19.80｝.根據(jù)文獻(xiàn)[5]，均方根值符合灰色預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)內(nèi)涵特點(diǎn)，可以將其作為灰色預(yù)測(cè)序列.將前6個(gè)月數(shù)據(jù)建模，7月份數(shù)據(jù)作為對(duì)比.基于最小二乘法的二次、三次函數(shù)擬合的平均相對(duì)誤差分別為1.944%和2.009%，改進(jìn)算法（Ⅰ）（2月份數(shù)據(jù)除以權(quán)重系數(shù)C＝1.06，m＝3.391）的相對(duì)平均誤差為1.717%，顯然改進(jìn)算法的預(yù)測(cè)效果是較理想的.7月份的預(yù)測(cè)值為20.23 mm/s2，預(yù)測(cè)相對(duì)誤差為2.184%，經(jīng)灰色檢驗(yàn)，關(guān)聯(lián)度符合要求，預(yù)測(cè)精度級(jí)別為很好.預(yù)測(cè)效果見圖3.若設(shè)備的報(bào)警值為19 mm/s2，則根據(jù)預(yù)測(cè)規(guī)律計(jì)算該設(shè)備報(bào)警的時(shí)間為6月21日.

圖1 1972～1982年全國(guó)電視機(jī)產(chǎn)量改進(jìn)算法（Ⅰ）預(yù)測(cè)Fig.1 Prediction of improved algorithm （Ⅰ）for nationwide TV quantity in 1972－1982

圖2 1～6月份加速度幅值Fig.2 Amplitude of acceleration from January to June

圖3 機(jī)械設(shè)備壽命預(yù)測(cè)Fig.3 Mechanical equipment life prediction

4 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)分析傳統(tǒng)GM（1，1）模型推導(dǎo)過(guò)程，指出原始序列規(guī)律、1－AGO序列光滑度及其初始值是影響傳統(tǒng)GM（1，1）模型預(yù)測(cè)精度的主要因素.本文在已有改善序列光滑度方法的基礎(chǔ)上，指出了對(duì)原始數(shù)據(jù)做加權(quán)預(yù)處理的必要性；在確定最佳初始值時(shí)，綜合考慮初值對(duì)預(yù)測(cè)參數(shù)C、a、u的影響，給出了一種基于加權(quán)和最小平均相對(duì)誤差的改進(jìn)算法.該改進(jìn)算法不但可以較大幅度地提高擬合及預(yù)測(cè)精度，而且擴(kuò)展了傳統(tǒng)GM（1，1）模型的適用范圍.為驗(yàn)證改進(jìn)算法的有效性，將改進(jìn)算法用于機(jī)械設(shè)備的預(yù)知維修中，取得了不錯(cuò)的效果，促進(jìn)了設(shè)備故障預(yù)知維修的發(fā)展.新信息對(duì)于預(yù)測(cè)是最有價(jià)值的，當(dāng)獲得新的測(cè)量數(shù)據(jù)時(shí)，利用GM（1，1）新陳代謝模型可以進(jìn)一步提高預(yù)測(cè)精度.改進(jìn)算法對(duì)于指數(shù)規(guī)律的序列很有效，對(duì)于不滿足要求的原始序列數(shù)據(jù)需嘗試不同權(quán)重，如何給不滿足要求的原始序列數(shù)據(jù)分配最佳權(quán)重有待進(jìn)一步研究.

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