和 欣 張曉林

(北京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院， 北京 100191)

1． 引 言

隨著直接序列擴(kuò)頻在微波抗干擾通信、遙測(cè)遙控等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，直擴(kuò)系統(tǒng)中傳輸速率與處理增益間的矛盾已成為日益突出的技術(shù)瓶頸[1]。隨著正交頻分復(fù)用(OFDM)技術(shù)的成熟，多載波擴(kuò)頻已成為高速可靠通信的首選方案。根據(jù)擴(kuò)頻方式不同，多載波擴(kuò)頻可分為多載波頻域擴(kuò)頻(MC-CDMA)與多載波時(shí)域擴(kuò)頻(MC-DSSS)。多載波時(shí)域擴(kuò)頻具有子載波個(gè)數(shù)少、峰均比小且接收機(jī)復(fù)雜度低等優(yōu)勢(shì)，通?？蛇M(jìn)一步分為正交MC-DSSS與MT-DSSS[2]。兩者均采用了多載波時(shí)域擴(kuò)頻方式，即對(duì)高速數(shù)據(jù)流串-并變換所產(chǎn)生的低速并行數(shù)據(jù)流分別進(jìn)行直接序列擴(kuò)頻，再對(duì)多路直擴(kuò)信號(hào)完成多載波調(diào)制。但前者的子載波間隔為1/Tc(Tc為擴(kuò)頻碼片周期)而后者為1/Ts(Ts為符號(hào)周期)，因此前者屬于多載波正交調(diào)制而后者為非正交調(diào)制(可認(rèn)為是一種采用直接序列擴(kuò)頻的OFDM系統(tǒng))。而在相同接收機(jī)復(fù)雜度及頻帶利用率條件下，更大的處理增益使多音調(diào)制(MT)系統(tǒng)具有理想的抗干擾性能及多用戶容量，從而成為一種可靠的寬帶擴(kuò)頻系統(tǒng)。

與單載波直擴(kuò)相比，MT系統(tǒng)在相同抗干擾性能下提高了傳輸速率，但由于非正交子載波的頻譜重疊導(dǎo)致其對(duì)載波同步誤差更加敏感。尤其在高動(dòng)態(tài)信道及惡劣工作環(huán)境中，多普勒效應(yīng)和系統(tǒng)本振及鎖相環(huán)工作狀態(tài)不理想將嚴(yán)重影響子載波解調(diào)并加劇載波間串?dāng)_。文獻(xiàn)[3]-[8]研究了載波頻偏與相位噪聲對(duì)OFDM、MC-CDMA以及MC-DSSS等多載波系統(tǒng)的性能影響，但相關(guān)研究很少涉及MT-DSSS。文獻(xiàn)[9]分析了MT系統(tǒng)對(duì)頻偏的敏感性，但沒有討論相噪的影響且缺少對(duì)隨機(jī)誤差的理論建模。本文分別以頻偏及相噪兩種形式對(duì)MT系統(tǒng)載波同步誤差進(jìn)行隨機(jī)過程建模，對(duì)非理想載波同步條件下系統(tǒng)的誤碼率進(jìn)行了理論計(jì)算，并通過仿真驗(yàn)證了相關(guān)結(jié)論。

2. 系統(tǒng)及誤差模型

為了分析載波同步誤差對(duì)MT系統(tǒng)的性能影響，本文在分析前給出如下假設(shè)：

1)系統(tǒng)工作在單用戶加性高斯白噪聲(AWGN)信道，不考慮多址干擾(MAI)及信道選擇性衰落；

2) 理想時(shí)序同步，不考慮延遲鎖定環(huán)(DLL)誤差；

3) 系統(tǒng)采用二進(jìn)制相移鍵控(BPSK)調(diào)制及相關(guān)檢測(cè)，以便在相同接收機(jī)復(fù)雜度下進(jìn)行性能對(duì)比；

2.1 MT系統(tǒng)

圖1、圖2為MT系統(tǒng)的中頻原理框圖。圖1中，設(shè)發(fā)射端輸入的BPSK序列為

圖1 MT系統(tǒng)發(fā)射端

(1)

式中：Eb為比特能量；Tb為比特周期；dn∈{-1,1}。d(t)經(jīng)過串-并變換(S:P)后，第i個(gè)子載波的碼元序列為

(2)

式中:Ts=MTb，M為子載波個(gè)數(shù);Es=Eb;Ii(m)∈{±1}。每個(gè)子載波由偽隨機(jī)序列ci(t)進(jìn)行擴(kuò)頻，其中：

(3)

ci(n)∈{±1}表示第n個(gè)碼片，Tc為碼片周期，N為擴(kuò)頻增益。擴(kuò)頻后通過脈沖成型濾波器(為便于計(jì)算，設(shè)hTi(t)=1)與子載波cos(2πfci,Tt+θi,T)相乘，其中fci,T=fc+fi,T，fc為統(tǒng)一中頻，fi,T表示發(fā)射端第i個(gè)子載波與fc的頻率間隔，θi,T為載波相位。則發(fā)射端輸出的中頻信號(hào)ν(t)為

cos(2πfci,Tt+θi,T)

(4)

式中[·]表示取整運(yùn)算。

圖2 MT系統(tǒng)接收端

如圖2，MT相關(guān)接收系統(tǒng)包括M個(gè)獨(dú)立通道。經(jīng)過單用戶AWGN信道后，中頻接收信號(hào)r(t)為

τ)]·cos(2πfci,Rt+θi,R)+n(t)

(5)

Δφji(t)]dt+ni

(6)

式中： Δfji(t)=fcj,R(t)-fci,E(t)=fj,R(t)-fi,E(t)表示接收端第j個(gè)子載波的理想頻率與發(fā)射端第i個(gè)子載波的估計(jì)頻率之間的頻差； Δφji(t)=θj,R(t)-θi,E(t)表示接收端第j個(gè)子載波的理想相位與發(fā)射端第i個(gè)子載波的估計(jì)相位之間的相差；Ij(1)為子載波j的第1比特?cái)?shù)據(jù)；Lp{·}表示低通濾波。

2.2 載波同步誤差

非理想載波同步中頻率偏移與相位噪聲是指接收端捕獲與跟蹤模塊生成本地載波的頻率、相位估計(jì)值與接收信號(hào)頻率、相位實(shí)際值存在隨機(jī)誤差。通常兩類誤差在系統(tǒng)中并存。為便于分析，本文對(duì)頻偏與相噪分別單獨(dú)加以討論。

2.2.1 頻率偏移Δfji(t)

頻率偏移是指由于系統(tǒng)本振誤差或者多普勒補(bǔ)償不理想而導(dǎo)致的載波頻率隨機(jī)擾動(dòng)。本文將頻率偏移Δfji(t)建模為碼元周期Ts內(nèi)緩慢變化且相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)過程，其均值可表示為接收端第j個(gè)子載波與發(fā)射端第i個(gè)子載波理想頻率之差即(j-i)/Ts，且方差可相應(yīng)表示為(δji/Ts)2，其中δji為歸一化頻偏因子。

2.2.2 相位噪聲Δφji(t)

相關(guān)接收機(jī)中通常采用鎖相環(huán)(PLL)對(duì)載波相位進(jìn)行捕獲跟蹤。假設(shè)系統(tǒng)不存在頻率偏移，當(dāng)PLL鎖定于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，Δfji(t)=(j-i)/Ts且Δφji(t)服從Tikhonov分布[10]。由于實(shí)際相噪的方差足夠小，故可將Δφji(t)近似為Ts內(nèi)緩慢變化的零均值高斯隨機(jī)過程。同時(shí)，文獻(xiàn)[11]證明相噪可近似為一種廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程，即Δφji(t)=Δφ(t)，其雙邊功率譜密度為

(7)

(8)

3. 性能分析與計(jì)算

3.1 頻偏的影響

設(shè)系統(tǒng)不存在相噪，即Δφ(t)=0.在第i個(gè)相關(guān)通道內(nèi)，對(duì)于任意子載波j，Δfji(t)相互獨(dú)立且具有相同頻偏因子δji=δ.考慮到Ts內(nèi)頻偏緩慢變化，因此(Δfji為常數(shù))則判決統(tǒng)計(jì)量zi為

=αi+βi+ni

(9)

對(duì)Es歸一化后，子載波期望信號(hào)αi為

(10)

AWGN采樣值ni為

(11)

cos2πfit1cos2πfit2ci(t1)ci(t2)dt1dt2

(12)

載波間串?dāng)_(ICI)βi為

(13)

3.1.1 子載波擴(kuò)頻碼相同時(shí)

(14)

性質(zhì)1：子載波擴(kuò)頻碼相同的MT系統(tǒng)(M個(gè)子載波)存在方差較小的頻率偏移時(shí)，載波間串?dāng)_的判決統(tǒng)計(jì)量βi可近似為相互獨(dú)立的零均值高斯隨機(jī)變量且方差滿足

(15)

證明：

設(shè)γji=2ΔfjiTs,則E(γji)=2(j-i),Var(γji)=(2δ)2，定義f(γji)為

f(γji) =sinc′(γji)·[γji-2(j-i)]

因?yàn)棣胘i具有高斯分布，所以，f(γji)同樣具有高斯分布且

因?yàn)镋[Ij(1)]=0，所以E(βji)=E(βi)=0.

對(duì)于不同j，Δfji,Ij(1)均為獨(dú)立隨機(jī)變量，所以βji亦保持相互獨(dú)立。

因此βi的方差滿足

性質(zhì)1表明具有相同子載波擴(kuò)頻碼的MT系統(tǒng)經(jīng)過相關(guān)檢測(cè)后，頻偏所導(dǎo)致的載波間串?dāng)_的判決統(tǒng)計(jì)量?jī)H與頻偏因子相關(guān)而與系統(tǒng)處理增益無關(guān)。

3.1.2 子載波擴(kuò)頻碼不同時(shí)

ci(n)cos(2πΔfjit)dt

(16)

性質(zhì)2：子載波擴(kuò)頻碼不同的MT系統(tǒng)(M個(gè)子載波)存在方差較小的頻率偏移時(shí)，若系統(tǒng)處理增益N足夠大，則載波間串?dāng)_的判決統(tǒng)計(jì)量βi可近似為零均值高斯隨機(jī)變量且方差滿足

(17)

證明:

cos[πΔfji(2n+1)Tc])

由中心極限定理，當(dāng)N→∞時(shí)，βji、βi均服從高斯分布。若實(shí)際系統(tǒng)N較大，可將βi近似為高斯隨機(jī)變量。由于Ij(1)在{±1}內(nèi)均勻分布，故E(βji)=0.由于不同子載波的擴(kuò)頻碼相互獨(dú)立，則Var(βji)(證明見附錄A)為

(18)

給出進(jìn)行如下近似：

近似1：由于Δfji中δ較小，故

因此，式(18)可化簡(jiǎn)為

證畢。

性質(zhì)2表明具有不同子載波擴(kuò)頻碼的MT系統(tǒng)經(jīng)過相關(guān)檢測(cè)后，頻偏所導(dǎo)致的載波間串?dāng)_的判決統(tǒng)計(jì)量與子載波個(gè)數(shù)成正比而與系統(tǒng)處理增益成反比。

Pbi=P(αi+βi+ni<0)

(19)

若子載波頻率估計(jì)不存在誤差，即Δfii=0.則αi=Ii(1)=1,則

Pbi=P(1+βi+ni<0)

(20)

Pbi=P(sin(πρ)/(πρ)+Y<0)

(21)

3.2 相噪的影響

如前所述，實(shí)際系統(tǒng)相噪的方差較小，通?？山茷榫徛兓牧憔祻V義平穩(wěn)高斯過程，因此在t∈[(k-1)Ts,kTs]內(nèi)Δφ(t)可表示為

Δφ(t)=gk+Ψ(t)

(22)

(23)

由于Δφ(t)在Ts內(nèi)緩慢變化，即時(shí)間帶寬積，BΔφ(t)·Ts→0,故|f|≤BΔφ(t)時(shí)，sinc2(fTs)=1.因此Δφ(t)的能量集中于直流分量：Var(gr)≈Var[Δφ(t)]，且交流分量Ψ(t)滿足

cos[Ψ(t)]≈1，sin[Ψ(t)]≈Ψ(t)

(24)

設(shè)系統(tǒng)不存在頻偏，此時(shí)第i個(gè)相關(guān)通道的判決統(tǒng)計(jì)量為

Δφ(t)]dt+ni

=αi+βi+ni

(25)

對(duì)Es歸一化后，子載波期望信號(hào)αi為

≈Ii(1)cos(g1)

(26)

載波間串?dāng)_βi為

(27)

AWGN采樣ni與式(14)相同。

3.2.1 子載波擴(kuò)頻碼相同時(shí)

性質(zhì)3：子載波擴(kuò)頻碼相同的MT系統(tǒng)(M個(gè)子載波)存在方差較小的相位噪聲時(shí)，載波間串?dāng)_的判決統(tǒng)計(jì)量βi可近似為高斯隨機(jī)變量且方差滿足

Var(βi)≈0

(28)

證明:

因此

=0

E(βji·βki)=0 (k≠j)

E(βji·βki)=E(βji)·E(βki)

即βji，βki相互獨(dú)立。

(j-1)/Ts]+Pφ[f+(j-i)/Ts]}df

由于(j-i)/Ts為相關(guān)器低通濾波函數(shù)的頻譜零點(diǎn)，因此，由Δφ(t)引起的ICI將被抑制，故Var(βi)≈0.證畢。

性質(zhì)3表明，具有相同子載波擴(kuò)頻碼的MT系統(tǒng)經(jīng)過相關(guān)檢測(cè)后，相位噪聲所導(dǎo)致的載波間串?dāng)_被相關(guān)檢測(cè)器的低通濾波所抑制，可忽略不計(jì)。

3.2.2 子載波擴(kuò)頻碼不同時(shí)

性質(zhì)4：子載波擴(kuò)頻碼不同的MT系統(tǒng)(M個(gè)子載波)存在方差較小相位噪聲時(shí)，若系統(tǒng)處理增益N足夠大，則載波間串?dāng)_的判決統(tǒng)計(jì)量βi可近似為高斯隨機(jī)變量且方差滿足

(29)

證明:

由于Δφ(t)方差很小,所以Δφ(t)≈g1，t∈[0,Ts],故

cos[π(j-i)(2n+1)/N+g1]

若N→∞，由中心極限定理，βji服從高斯分布。當(dāng)實(shí)際處理增益較高時(shí)，則βji、βi可近似為高斯隨機(jī)變量。對(duì)于不同n，cj(n)、ci(n)相互獨(dú)立。則Var(βji)(證明見附錄B)：

(30)

對(duì)于不同j，βji互不相關(guān)，因此Var(βi)為

證畢。

性質(zhì)4表明，具有不同子載波擴(kuò)頻碼的MT系統(tǒng)經(jīng)過相關(guān)檢測(cè)后，相位噪聲所導(dǎo)致的載波間串?dāng)_的判決統(tǒng)計(jì)量與子載波個(gè)數(shù)成正比而與系統(tǒng)處理增益成反比。

Pbi≈P(cos(g1)+Y<0)

(31)

4. 數(shù)值仿真

表1 相同頻帶利用率時(shí)系統(tǒng)參數(shù)對(duì)比

若系統(tǒng)存在頻偏，設(shè)δ=0.1.圖3、圖4分別表示接收端不存在載波頻率估計(jì)誤差時(shí)(Δfii=0)MT系統(tǒng)的誤碼率。此時(shí)頻偏只會(huì)造成ICI。而圖5、圖6表示接收端存在頻率估計(jì)誤差時(shí)(Δfii≠0)的系統(tǒng)誤碼率。此時(shí)頻偏不但造成ICI，而且會(huì)嚴(yán)重影響每個(gè)子載波的解調(diào)信號(hào)。

圖3 (頻偏)Δfii=0,相同擴(kuò)頻碼

圖4 (頻偏)Δfii=0,不同擴(kuò)頻碼

圖3、圖5中系統(tǒng)誤碼率的理論上界與仿真結(jié)果較為接近但略有差別，這表明性質(zhì)1中線性高斯近似具有一定合理性，但同時(shí)帶來一定的近似誤差。隨著子載波個(gè)數(shù)增加，ICI致使系統(tǒng)誤碼率有所增大。在圖5中，M=3,n=95與M=3,N=300兩種條件下系統(tǒng)誤碼率相同，表明此時(shí)ICI與系統(tǒng)處理增益無關(guān)，這與性質(zhì)1的結(jié)論一致。圖4、圖6表明不同子載波擴(kuò)頻碼時(shí)MT系統(tǒng)誤碼率的理論近似與仿真結(jié)果能夠理想吻合，從而驗(yàn)證了性質(zhì)2的結(jié)論。同時(shí)，子載波個(gè)數(shù)增加后ICI所導(dǎo)致的誤碼率上升幅度與圖3、圖5相比更小，說明采用不同擴(kuò)頻碼的MT系統(tǒng)增大處理增益能夠有效抑制頻偏所引起的ICI。

圖5 (頻偏)Δfii≠0,相同擴(kuò)頻碼

圖6 (頻偏)Δfii≠0,不同擴(kuò)頻碼

若系統(tǒng)存在相位噪聲，設(shè)相噪的標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.1π，3 dB帶寬為BΔφ(t)=0.01/T.式(7)中PLL參數(shù)設(shè)置如下[5]：H=0,fc=5.25 GHz ,λ1=50 kHz,ν1=8.2×10-24.圖7驗(yàn)證了性質(zhì)3的結(jié)論，由于相關(guān)檢測(cè)抑制了相噪所引起的ICI，因此子載波個(gè)數(shù)變化并不影響系統(tǒng)誤碼率。圖8中，子載波個(gè)數(shù)增加時(shí)系統(tǒng)誤碼率僅有小幅增大。由性質(zhì)4可知，此時(shí)ICI主要由MT系統(tǒng)中非正交子載波上不

同擴(kuò)頻碼的互相關(guān)性所決定，而與相位噪聲無關(guān)。此外，圖7、圖8中理論曲線與仿真結(jié)果的一致性驗(yàn)證了式(31) 中假設(shè)Y與αi相互獨(dú)立的合理性。

圖7 (相噪)相同擴(kuò)頻碼

圖8 (相噪)不同擴(kuò)頻碼

5. 結(jié) 論

本文通過對(duì)載波同步誤差建模，分析了頻偏與相噪對(duì)MT系統(tǒng)的性能影響。存在頻偏時(shí)，頻率估計(jì)誤差嚴(yán)重干擾每個(gè)子載波的解調(diào)并對(duì)系統(tǒng)性能影響較大；無頻率估計(jì)誤差時(shí)，頻偏所造成的ICI對(duì)系統(tǒng)性能影響較小。由性質(zhì)1、2可知，若頻偏的方差很小且處理增益較低時(shí)，相同擴(kuò)頻碼MT系統(tǒng)的ICI較小；而頻偏方差較大且處理增益很高時(shí)，不同擴(kuò)頻碼MT系統(tǒng)的ICI更小。存在相噪時(shí)，由性質(zhì)3、4可知，相同擴(kuò)頻碼MT系統(tǒng)的ICI被相關(guān)檢測(cè)器的低通濾波所抑制，使其與單載波直擴(kuò)系統(tǒng)具有相同誤碼率；而不同擴(kuò)頻碼MT系統(tǒng)的ICI幾乎與相噪無關(guān)。

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