雷曉蔚

(重慶文理學(xué)院物理系，重慶 永川 402160)

波茨(Potts)模型是 R.B.Potts在1952年提出的.假設(shè)模型有N個(gè)格點(diǎn)位置，分別標(biāo)上1，2，…，N，每個(gè)位置i和一個(gè)自旋量σi相對(duì)應(yīng)，σi可以有q個(gè)取值，分別為1，2，…，q，兩個(gè)相鄰的自旋 σi和 σj相互作用的能量為:-Jδσiσj，這里 J是相互作用常數(shù)，而

伊辛(Ising)模型就是q=2的Potts模型的特殊情況.Ising模型是描述鐵磁體自旋狀態(tài)的兩態(tài)物理圖樣模型，Potts模型是解決多態(tài)問(wèn)題的物理圖樣模型，具有可分析復(fù)雜組織和可視化仿真等能力.當(dāng)q為偶數(shù)時(shí)可映射為Spin-{1/2(q+1)}Ising模型;q為奇數(shù)時(shí)可映射為Spin-{1/2(q-1)}Ising模型，這些模型對(duì)超導(dǎo)超流等問(wèn)題的研究有著重要的意義.目前，Potts模型已廣泛應(yīng)用于如材料的晶粒生長(zhǎng)［1］、計(jì)算機(jī)的數(shù)據(jù)聚類(lèi)［2］等領(lǐng)域.

1973 年 Boxter［3］指出對(duì)于二維純凈 Potts模型，在q＞4時(shí)相變是一級(jí)的，而在q≤4時(shí)卻是連續(xù)相變.隨著材料科學(xué)的發(fā)展，人們?cè)絹?lái)越關(guān)注具有淬火摻雜的物理系統(tǒng)的臨界性質(zhì)［4-10］，這種摻雜可以用在模型中引入隨機(jī)作用鏈來(lái)表示，隨機(jī)摻雜對(duì)純系統(tǒng)的耦合產(chǎn)生顯著影響.二維q態(tài)隨機(jī)鏈Potts(RBP)模型是研究淬火無(wú)序性對(duì)純凈體系影響的一個(gè)典型模型［11］.當(dāng)q＞2時(shí)，系統(tǒng)的比熱臨界指數(shù)α＞0，無(wú)序性就像施加了一個(gè)有效擾動(dòng);當(dāng)q＞4時(shí)，它將原系統(tǒng)的一階相變轉(zhuǎn)變成二階.這種新的二階相變對(duì)于各類(lèi)模型是否都適用，又是屬于哪一普適類(lèi)，國(guó)內(nèi)外研究者對(duì)此展開(kāi)了討論，結(jié)果表明可用磁臨界指數(shù)來(lái)檢驗(yàn)其普適性［11-14］.但是由于所得臨界指數(shù)值存在誤差，所以對(duì)無(wú)序系統(tǒng)的普適臨界行為一直存有懷疑.對(duì)Ising模型的研究表明，無(wú)序幅r(無(wú)序程度)只有取到最佳值時(shí)，由純凈態(tài)和滲流態(tài)的不穩(wěn)定的固定點(diǎn)引起的交叉效應(yīng)才可以被忽略［15-16］，此時(shí)，磁臨界指數(shù)的偏差可以消除，無(wú)序系統(tǒng)臨界現(xiàn)象的普適性就顯示出來(lái)了，但是動(dòng)力學(xué)指數(shù)z會(huì)隨無(wú)序幅的變化而有所不同.文獻(xiàn)［8］和［11］對(duì)RBP模型的臨界普適性展開(kāi)了研究，計(jì)算了磁臨界指數(shù)和動(dòng)力學(xué)臨界指數(shù)z，但是模擬時(shí)間只有300到500個(gè)蒙特卡羅步，對(duì)于一個(gè)無(wú)序摻雜的動(dòng)力學(xué)過(guò)程來(lái)說(shuō)太短了，另外，所選格點(diǎn)尺寸最大也只有128，這樣得到的指數(shù)就不夠準(zhǔn)確.

本文對(duì)二維q=8的Potts大格點(diǎn)模型展開(kāi)大規(guī)模數(shù)值模擬研究.系統(tǒng)從完全有序態(tài)出發(fā)，演化時(shí)間最多達(dá)15萬(wàn)個(gè)蒙特卡羅步(Monte Carlo Step，即 MCS)，格點(diǎn)尺寸 L=280，以短時(shí)動(dòng)力學(xué)標(biāo)度形式為基礎(chǔ)，通過(guò)測(cè)量賓德累積量U(t)，來(lái)確定動(dòng)力學(xué)指數(shù)z.

1 模型和標(biāo)度形式

二維正方格點(diǎn)隨機(jī)鏈q態(tài)Potts模型的哈密頓量為

這里kB表示玻爾茲曼常數(shù)，T表示溫度，Kij=T代表最近鄰鏈的無(wú)量綱耦合，J是相互作用常數(shù)，＜i，j＞表示最近鄰相互作用.Kij由K1和K2決定=r是一個(gè)表征無(wú)序程度的無(wú)量綱常數(shù)，稱為無(wú)序幅(disorder amplitude).r=1對(duì)應(yīng)純凈Potts模型，其臨界點(diǎn)Kc=ln(1+);r=∞對(duì)應(yīng)滲流極限，自對(duì)耦無(wú)序體系的臨界點(diǎn) Kc滿足方程［17］:

這里K1c和K2c分別表示K1和K2的臨界值.顯然，隨機(jī)鏈作用的新的二階相變的臨界點(diǎn)會(huì)隨無(wú)序幅r和態(tài)參量q的不同而不同.

本文研究自對(duì)耦Potts模型從完全有序態(tài)出發(fā)的短時(shí)動(dòng)力學(xué)演化過(guò)程，通過(guò)測(cè)量磁化及其二階矩來(lái)獲得賓德累積量，從而可獨(dú)立地確定動(dòng)力學(xué)指數(shù)z.

q態(tài)Potts模型的磁化及其二階矩分別定義為

賓德累積量U=M(2)/M2-1.

當(dāng)演化時(shí)間t和格點(diǎn)尺寸L足夠大，而約化溫度τ=(K1-K1c)/K1c足夠小時(shí)，Janssen等人用 ε 展開(kāi)得到［18］:

M(k)為磁化的k階矩，β和ν是由平衡態(tài)定義的臨界指數(shù)，z為動(dòng)力學(xué)臨界指數(shù)，b為任意標(biāo)度因子，m0是初始磁化強(qiáng)度，對(duì)完全有序初態(tài)m0=1.忽略有限尺寸效應(yīng)，當(dāng)系統(tǒng)處在臨界點(diǎn)(τ=0)上時(shí)，M(t)∝ tβ/νz.賓德累積量 U 的標(biāo)度形式與磁化M的類(lèi)似，但還與格點(diǎn)尺寸L有關(guān)［19］，可表示為U(t，L)∝td/z，這里d表示空間維度，這樣就可以根據(jù)賓德累積量來(lái)測(cè)出動(dòng)力學(xué)指數(shù)z.

2 模擬結(jié)果

系統(tǒng)從完全有序初態(tài)出發(fā)，采用周期性邊界條件，用Metropolis抽樣方法構(gòu)造蒙特卡羅迭代過(guò)程.模擬的格點(diǎn)尺度達(dá)280，演化時(shí)間最多達(dá)到15萬(wàn)個(gè)蒙特卡羅步，取200個(gè)隨機(jī)數(shù)的樣本作平均，無(wú)序幅r分別取3、4和10.

圖1 從有序態(tài)出發(fā)，L=280，q=8的 Potts模型U(t)關(guān)于蒙特卡羅迭代時(shí)間t在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)下的演化，實(shí)線為數(shù)據(jù)線，虛線為冪次擬合線.圖a給出r=3和4，圖b給出r=10的無(wú)序摻雜系統(tǒng).

圖1中實(shí)線表示U(t)的數(shù)據(jù)線，虛線表示冪次擬合線.由圖1可見(jiàn)，擬合效果很好.用最小方差擬合法擬合出曲線的斜率k=d/z，結(jié)果分別為0.671(9)、0.591(7)和 0.428(7)，括號(hào)內(nèi)的數(shù)值代表漲落，算出 z分別為 2.98(5)、3.38(4)和4.67(5)，可見(jiàn)z值會(huì)隨無(wú)序幅的變化而不同.文獻(xiàn)［8］計(jì)算出3態(tài)和8態(tài)Potts系統(tǒng)在最大無(wú)序幅r=8時(shí)的z均為2.60(3)，這與我們的計(jì)算結(jié)果差異較大.經(jīng)過(guò)分析，發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)［8］中模擬所取時(shí)間僅為500mCS.由圖1可明顯看出，冪次擬合與數(shù)據(jù)線直到1000mCS左右才能較好符合，如果只測(cè)到幾百個(gè)MCS，將會(huì)帶來(lái)較大誤差.如果我們只取圖1數(shù)據(jù)中的前幾百個(gè)MCS，則將得到與文獻(xiàn)［8］吻合的結(jié)果.

一個(gè)值得注意的結(jié)果是，動(dòng)力學(xué)指數(shù)z會(huì)隨無(wú)序幅r的變化而不同，r越大對(duì)應(yīng)的z值也越大，說(shuō)明越無(wú)序摻雜的系統(tǒng)，動(dòng)力學(xué)過(guò)程越緩慢.同時(shí)二維RBP系統(tǒng)的z明顯大于二維Ising模型的 z(z=2.16)［20］，表明二維 RBP 模型與二維Ising模型不屬于同一普適類(lèi).

3 結(jié)論

本文采用短時(shí)動(dòng)力學(xué)蒙特卡羅數(shù)值模擬方法，對(duì)二維八態(tài)波茨大格點(diǎn)模型展開(kāi)大規(guī)模數(shù)值模擬研究.采用Metropolis算法和周期性邊界條件，系統(tǒng)從完全有序初始狀態(tài)出發(fā)，通過(guò)測(cè)量賓德累積量U(t)，在標(biāo)度分析基礎(chǔ)上，由U(t，L)∝得到了較為可靠的動(dòng)力學(xué)臨界指數(shù)z.結(jié)果表明:z與無(wú)序幅r的取值有關(guān)，r越大對(duì)應(yīng)的z值也越大，說(shuō)明動(dòng)力學(xué)過(guò)程越緩慢.與r=3、4和10 對(duì)應(yīng)的 z值分別為 2.98(5)、3.38(4)和 4.67(5).由于二維RBP系統(tǒng)的z明顯大于二維Ising模型的z，這就通過(guò)數(shù)值方法證實(shí)二維RBP模型與二維Ising模型屬于不同普適類(lèi).

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