直達(dá)滑?？刂?/h1>
2011-03-16 09:20姜玉憲周尹強(qiáng)
北京航空航天大學(xué)學(xué)報 2011年2期
姜玉憲 周尹強(qiáng) 趙 霞
(北京航空航天大學(xué) 自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院,北京 100191)
直達(dá)滑?？刂?/p>
姜玉憲 周尹強(qiáng) 趙 霞
(北京航空航天大學(xué) 自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院,北京 100191)
用傳統(tǒng)到達(dá)條件綜合而成的滑?？刂葡到y(tǒng)不能保證所有出發(fā)于滑動模態(tài)鄰域的相軌線都能直接到達(dá)鄰近的滑動模態(tài)分支,導(dǎo)致狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程超調(diào),這對于某些控制工程是不允許的.為使滑?？刂七^程單向收斂,提出了直達(dá)滑?？刂品椒?通過對傳統(tǒng)到達(dá)條件表述中的不足的分析,介紹了直達(dá)函數(shù)的定義和直達(dá)條件的建立.直達(dá)條件是用直達(dá)滑?？刂品ňC合滑模控制系統(tǒng)的依據(jù).直達(dá)滑?？刂葡到y(tǒng)由指令模態(tài)及開關(guān)型直達(dá)滑模控制組成.與傳統(tǒng)到達(dá)條件不同,滿足直達(dá)條件的控制,可保證所有出發(fā)于滑動模態(tài)鄰域的相軌線都能直接到達(dá)鄰近的滑動模態(tài)分支,沿滑動模態(tài)趨向零態(tài),狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程快速而無超調(diào).將直達(dá)滑?？刂茟?yīng)用于示例系統(tǒng)并進(jìn)行仿真,仿真結(jié)果符合對直達(dá)滑模控制性能的預(yù)期.
滑模控制;到達(dá)條件;直達(dá)條件
滑?？刂凭哂性S多優(yōu)點,也存在一些問題,例如滑模控制過程的非單向收斂性(或稱之為超調(diào)).這對于某些控制工程是不允許的,例如飛機(jī)著陸、航天器對接、機(jī)器人裝配等.現(xiàn)有研究認(rèn)為,產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因有:①到達(dá)條件太簡單,僅僅一個到達(dá)條件可能導(dǎo)致到達(dá)過程的正常運(yùn)動段歷時很長、超調(diào)量很大等不良品質(zhì)[1],因而提出了“趨近律”的概念[1-2];②開關(guān)型滑?？刂撇贿B續(xù),改進(jìn)措施是把控制改為連續(xù)-開關(guān)混合型控制[3-4].此類研究收到了一定的效果,但未找到真正原因.滑模吸引區(qū)的研究與滑模非單向收斂有關(guān),卻未發(fā)現(xiàn)滑模非單向收斂與到達(dá)條件表述之間的聯(lián)系[5-7].
經(jīng)研究發(fā)現(xiàn),滑?？刂七^程非單向收斂的產(chǎn)生是由于傳統(tǒng)到達(dá)條件所選擇的控制不能保證出發(fā)于滑動模態(tài)鄰域的相軌線都能直接到達(dá)滑動模態(tài)的鄰近分支,而是有的先離開鄰近的分支、反向繞到另一個分支而后到達(dá).此現(xiàn)象稱之為繞達(dá),繞達(dá)必然導(dǎo)致超調(diào)的出現(xiàn).本文對繞達(dá)現(xiàn)象的成因進(jìn)行了分析.由于直達(dá)無超調(diào),是研究滑模控制系統(tǒng)綜合所期望達(dá)到的目標(biāo)之一.實現(xiàn)直達(dá)滑?？刂频氖滓蝿?wù)是建立直達(dá)條件.以直達(dá)條件為依據(jù)綜合滑?？刂葡到y(tǒng)的方法叫直達(dá)滑?？刂?本文介紹了直達(dá)條件的建立、直達(dá)滑模控制方法和仿真結(jié)果.
1 相軌線的直達(dá)和繞達(dá)
滑?？刂茊栴}的被控對象是
其中 x∈ Rn,其初值為 x(0)=x0,A∈ Rn×n,B∈Rn×m,u∈Rm是非連續(xù)且無界(依據(jù)需要任意界定)控制.滑模控制由 2部分組成,即滑動模態(tài) s和控制 u.
1.1 滑動模態(tài)
通常 s是狀態(tài)變量線性組合而成的函數(shù)等式:
式中,σ(x)為切換函數(shù);C∈ Rm×n為 σ(x)的線性組合系數(shù).式(2)給定后,C為常數(shù).如滑?？刂浦斜豢貙ο鬄?/p>
假定期望的系統(tǒng)鎮(zhèn)定動態(tài)過程是指數(shù)衰減的,則對應(yīng)的 s是
依據(jù) x(t)的漸近穩(wěn)定性要求,c1的允許取值范圍是:0≤c1＜∞.式(4)所限定的 x1和 x2的取值范圍稱為 s的存在區(qū)域,記作 Ω.根據(jù)x1可能變化的范圍(例如:-2＜x1＜2)和對系統(tǒng)動態(tài)過程的要求,若指定 c1=0.5,則系統(tǒng)式(3)的 s定義為
它是 s的存在區(qū)域 Ω中斜對稱于零點的兩條線段sP和 sN,如圖 1所示.圖中 ΩNH為 s的鄰域.
1.2 直達(dá)與繞達(dá)
u將 x從 x0拉到 s上的途徑有兩條:x10＞0將 x拉到 sP上,或 x10＜0將 x拉到 sN上,為直達(dá);x10＞0將 x拉到了 sN上,或 x10＜0將 x拉到了 sP上,則為繞達(dá).雖然它們都到達(dá)了 s,但動態(tài)過程x1(t)不同,直達(dá)過程中 x1(t)單向收斂無超調(diào),繞達(dá)過程中 x1(t)有超調(diào).直達(dá)還是繞達(dá),取決于 u的選擇方法.圖 2為直達(dá)和繞達(dá)的相軌跡示意圖.
圖1 s的存在域和鄰
圖2 直達(dá)和繞達(dá)的相軌跡示意圖
1.3 傳統(tǒng)到達(dá)條件下的滑模控制
依據(jù)傳統(tǒng)到達(dá)條件:
選擇u,在C為常數(shù)的前提條件下,有σ·(x)=Cx·,將式(1)中的x·代入得σ·(x)=CA(x)+CB(x)u.假定(CB(x))-1存在,開關(guān)型滑?？刂苪為
其中,U滿足(CB(x))-1CA(x)?U的要求,sgn x為符號函數(shù).
由式(7)的 u與式(1)形成了閉環(huán)滑模控制系統(tǒng).
u與式(3)形成閉環(huán)滑?？刂葡到y(tǒng).
2 滑模控制的直達(dá)和繞達(dá)雙重性
對于用傳統(tǒng)到達(dá)條件綜合出來的開關(guān)型滑?？刂葡到y(tǒng),從 s鄰域中 x0出發(fā)的相軌線存在著直達(dá)和繞達(dá) s的兩種可能性,以下將復(fù)現(xiàn)這種現(xiàn)象并分析其產(chǎn)生的原因.
2.1 s的鄰域
到達(dá)條件:
滿足式(9)的 x0所在子空間叫 s的鄰域,記作ΩNH.對式(3)系統(tǒng),到達(dá)條件的有關(guān)公式為
因此,符合式(9)要求的 x0為 -2＜x10＜2,-1＜x20＜1,如圖 1中的 ΩNH.
2.2 滑模控制系統(tǒng)的直達(dá)和繞達(dá)現(xiàn)象
表 1是式(3)系統(tǒng) ΩNH中符合式(9)要求的 4個 x0及其對應(yīng)的
表 1 s鄰域的 x0及其到達(dá)條件
雖然它們都符合式(9)的要求,但它們的動態(tài)過程仿真結(jié)果卻不同,其中 1,2,3為直達(dá),而 4為繞達(dá),如圖 3所示.
圖3 滑?？刂频闹边_(dá)和繞達(dá)現(xiàn)象
2.3 繞達(dá)原因的分析
滑?？刂?u(式(7))是依據(jù)到達(dá)條件式(6)選擇出來的.式(6)中,σ(x)＞0,σ(x)＜0,這意味著 x必不在 s上,因而 xj+1與 xj之間的比值就不應(yīng)仍然保持為常數(shù) Cij,應(yīng)該是一個變量,例如表示為 dij.dij是隨 x的變化而變化的,如示例系統(tǒng)中 1,2,3,4號 x0,其對應(yīng) d的值分別為 -4.5,-0.6,0.6,4.5,可見它們的值不是固定的 d=0.5,而是各不相同.而到達(dá)條件中的 σ·(x)的表達(dá)式卻是σ·(x)=Cx·.不言而喻,該式等于把x的變化限制在了 s上,因為只有在 s上,xj+1與 xj之間的比值才是 Cij.所以傳統(tǒng)滑?？刂频牡竭_(dá)條件的表述有誤,致使滑?？刂凭C合的結(jié)果錯誤,這是造成繞達(dá)現(xiàn)象的真正原因.
3 滑模控制的直達(dá)條件
滑?？刂浦边_(dá)條件是選擇開關(guān)型滑?？刂频臏?zhǔn)則,按這種準(zhǔn)則選擇出來的控制,可使從 s鄰域內(nèi) x0出發(fā)的相軌線直接到達(dá)其鄰近的 s,相應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程快速而無超調(diào).
3.1 直達(dá)函數(shù)
定義 σd(x)=dx為直達(dá)函數(shù),其中 d∈Rm×n是直達(dá)函數(shù)的狀態(tài)變量之間的線性組合系數(shù),每個組合系數(shù)表示為
其中,din=1.當(dāng) x的變化使得 d→C時,則有σd(x)→σ(x)=0.如果 d→C的過程中 d是單調(diào)變化的,則 σd(x)對于 s是直達(dá)的.
3.2 直達(dá)條件
容易證明,從 x0出發(fā)的相軌線到達(dá) s的過程中,若不等式:
總是成立的(即存在改變的可能性),則該相軌線對于 s是直達(dá)的.對于式(3)所示系統(tǒng),有 m=1,n=2,代入式(10)和式(11)分別得
直達(dá)條件是
其中,Δd＞0和 Δd＜0稱為切換條件.它與傳統(tǒng)滑模控制的切換函數(shù)中的 σ(x)＞0和 σ(x)＜0不等價.前者是 σd(x)繞相空間原點的正反方向旋轉(zhuǎn),后者是 σ(x)相對 σ(x)=0的平移.
4 直達(dá)滑?？刂?/h2>
直達(dá)滑模控制由指令運(yùn)動模態(tài)及開關(guān)型直達(dá)滑?？刂平M成.
4.1 指令模態(tài)
指令模態(tài) sc的形式多種多樣,漸近穩(wěn)定(或穩(wěn)定)是它們共同的屬性,等式 σc(x)=Cx=0是其中的一種.sc的動態(tài)品質(zhì)完全取決于 C.
4.2 開關(guān)型直達(dá)滑模控制設(shè)計與仿真
滿足不等式(11)的開關(guān)型控制 u,可將出發(fā)于 ΩNH的相軌線直接引導(dǎo)到 sc,并在 sc上趨向原點,稱為開關(guān)型直達(dá)滑?？刂?uDR.對式(3)所示系統(tǒng),滿足直達(dá)條件式(12)的控制是
將 1,2,3,4號 x0的相關(guān)參數(shù)代入式(13),分別計算 Δd=d-C及滿足直達(dá)條件的控制 uDR,列于表2.
表 2 滿足直達(dá)條件的控制uDR
表 2中數(shù)據(jù)表明,不同的 x0,uDR不同.如果選擇開關(guān)型滑模控制:
其中,UDR幅值滿足條件
則 uDR可以使所有出發(fā)于以上 x0的相軌線直達(dá)sc.例如,對于式(3)所示系統(tǒng)取 UDR=3.2,則對于從 1,2,3,4號 x0出發(fā)的相軌線都可以直達(dá) sc.
用式(13)檢查到達(dá)條件開關(guān)型滑?？刂频闹边_(dá)性.由于到達(dá)條件開關(guān)型滑模控制式(8)的U=0.5,而 4號 x0的 uDR＞3.15,4號相軌線不應(yīng)該是直達(dá)的.而 1,2,3號 x0的 uDR都滿足不等式-0.5＜uDR＜0.5,它們的相軌線當(dāng)然都是直達(dá)的,這與相軌線的仿真結(jié)果一致.
把式(3)和式(14)合并在一起,對應(yīng)1,2,3,4號 x0,x1(t)的仿真結(jié)果如圖 4所示,可看出所有x1(t)均單向收斂.
圖4 直達(dá)滑?？刂频膭討B(tài)過程
5 結(jié)束語
綜上所述,導(dǎo)致滑模控制過程非單向收斂的原因是傳統(tǒng)滑?？刂频竭_(dá)條件表述不準(zhǔn)確,致使對滑動模態(tài)的鄰域界定有誤.開關(guān)型直達(dá)滑?？刂品椒ǖ暮诵慕M成是指令模態(tài)及開關(guān)型直達(dá)滑模控制,后者是通過指令模態(tài)的直達(dá)條件獲取的.對于控制有界的直達(dá)滑?？刂?需要界定滿足直達(dá)條件的初始狀態(tài)子空間.采用上述方法設(shè)計直達(dá)滑?？刂葡到y(tǒng),可保證滑?？刂七^程的單向收斂.
References)
[1]高為炳.非線性控制系統(tǒng)導(dǎo)論[M].北京:科學(xué)出版社,1991:544 GaoWeibing.Introduction to nonlinear control system[M].Beijing:Science Press,1991:544(in Chinese)
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[5]Kuo K S,Shang Ruchen.Estimation of asymptotic stability region and sliding domain of uncertain variable structure systems with bounded controllers[J].Automatica,1996,32(5):797-800
[6]Choi H H,Chung M J.Estimation of the asymptotic stability region of uncertain systems with bounded sliding mode controllers[J].IEEE Transactions on Automatic Control,1994,39(11):2275-2278
[7]李文林.一種新的滑動模態(tài)到達(dá)條件[J].控制與決策,1995,10(4):322-326 Li Wenlin.A new reaching condition of sliding mode[J].Control and Decision,1995,10(4):322-326(in Chinese)
(編 輯:趙海容)
Direct reaching sliding mode control
Jiang Yuxian Zhou Yinqiang Zhao Xia
(School of Automation Science and Electrical Engineering,Beijing University of Aeronautics and Astronautics,Beijing 100191,China)
Sliding mode control(SMC)system synthesized by traditional reaching condition can not grantee all phase trajectories from the neighborhood of the sliding mode to direct reach the nearby sliding mode branch.It will cause the state transition to be slow and overshooting which are not allowed in some engineering.In order to make the dynamic procedure of a SMC system unidirectional convergent,the direct-reaching SMC(DRSMC)was presented.By analyzing the shortcomings in the expression of traditional reaching condition,the definition of direct-reaching function and the establishment of direct-reaching condition were introduced.Direct-reaching condition(DRC)is the basis of using DRSMC to synthesizea SMC system.ADRSMC system is composed ofa command mode model and an on-off type DRSMC model.Different from the traditional reaching condition,the control which satisfies the DRC can guarantee all phase trajectories from the neighborhood of sliding mode to direct reach the nearby branch of the sliding mode and then go to zero state.Therefore the state transition process will be fast and monotonous.The DRSMC was applied to an example system and was simulated.The simulation resultaccords with the performance expectation of DRSMC.
sliding mode control;reaching condition;direct-reaching condition
TP 273
A
1001-5965(2011)02-0132-04
2009-11-27
姜玉憲(1937-),男,山東東阿人,教授,Jiangyuxian@buaa.edu.cn.
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姜玉憲 周尹強(qiáng) 趙 霞
(北京航空航天大學(xué) 自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院,北京 100191)
直達(dá)滑?？刂?/p>
姜玉憲 周尹強(qiáng) 趙 霞
(北京航空航天大學(xué) 自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院,北京 100191)
用傳統(tǒng)到達(dá)條件綜合而成的滑?？刂葡到y(tǒng)不能保證所有出發(fā)于滑動模態(tài)鄰域的相軌線都能直接到達(dá)鄰近的滑動模態(tài)分支,導(dǎo)致狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程超調(diào),這對于某些控制工程是不允許的.為使滑?？刂七^程單向收斂,提出了直達(dá)滑?？刂品椒?通過對傳統(tǒng)到達(dá)條件表述中的不足的分析,介紹了直達(dá)函數(shù)的定義和直達(dá)條件的建立.直達(dá)條件是用直達(dá)滑?？刂品ňC合滑模控制系統(tǒng)的依據(jù).直達(dá)滑?？刂葡到y(tǒng)由指令模態(tài)及開關(guān)型直達(dá)滑模控制組成.與傳統(tǒng)到達(dá)條件不同,滿足直達(dá)條件的控制,可保證所有出發(fā)于滑動模態(tài)鄰域的相軌線都能直接到達(dá)鄰近的滑動模態(tài)分支,沿滑動模態(tài)趨向零態(tài),狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程快速而無超調(diào).將直達(dá)滑?？刂茟?yīng)用于示例系統(tǒng)并進(jìn)行仿真,仿真結(jié)果符合對直達(dá)滑模控制性能的預(yù)期.
滑模控制;到達(dá)條件;直達(dá)條件
滑?？刂凭哂性S多優(yōu)點,也存在一些問題,例如滑模控制過程的非單向收斂性(或稱之為超調(diào)).這對于某些控制工程是不允許的,例如飛機(jī)著陸、航天器對接、機(jī)器人裝配等.現(xiàn)有研究認(rèn)為,產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因有:①到達(dá)條件太簡單,僅僅一個到達(dá)條件可能導(dǎo)致到達(dá)過程的正常運(yùn)動段歷時很長、超調(diào)量很大等不良品質(zhì)[1],因而提出了“趨近律”的概念[1-2];②開關(guān)型滑?？刂撇贿B續(xù),改進(jìn)措施是把控制改為連續(xù)-開關(guān)混合型控制[3-4].此類研究收到了一定的效果,但未找到真正原因.滑模吸引區(qū)的研究與滑模非單向收斂有關(guān),卻未發(fā)現(xiàn)滑模非單向收斂與到達(dá)條件表述之間的聯(lián)系[5-7].
經(jīng)研究發(fā)現(xiàn),滑?？刂七^程非單向收斂的產(chǎn)生是由于傳統(tǒng)到達(dá)條件所選擇的控制不能保證出發(fā)于滑動模態(tài)鄰域的相軌線都能直接到達(dá)滑動模態(tài)的鄰近分支,而是有的先離開鄰近的分支、反向繞到另一個分支而后到達(dá).此現(xiàn)象稱之為繞達(dá),繞達(dá)必然導(dǎo)致超調(diào)的出現(xiàn).本文對繞達(dá)現(xiàn)象的成因進(jìn)行了分析.由于直達(dá)無超調(diào),是研究滑模控制系統(tǒng)綜合所期望達(dá)到的目標(biāo)之一.實現(xiàn)直達(dá)滑?？刂频氖滓蝿?wù)是建立直達(dá)條件.以直達(dá)條件為依據(jù)綜合滑?？刂葡到y(tǒng)的方法叫直達(dá)滑?？刂?本文介紹了直達(dá)條件的建立、直達(dá)滑模控制方法和仿真結(jié)果.
1 相軌線的直達(dá)和繞達(dá)
滑?？刂茊栴}的被控對象是
其中 x∈ Rn,其初值為 x(0)=x0,A∈ Rn×n,B∈Rn×m,u∈Rm是非連續(xù)且無界(依據(jù)需要任意界定)控制.滑模控制由 2部分組成,即滑動模態(tài) s和控制 u.
1.1 滑動模態(tài)
通常 s是狀態(tài)變量線性組合而成的函數(shù)等式:
式中,σ(x)為切換函數(shù);C∈ Rm×n為 σ(x)的線性組合系數(shù).式(2)給定后,C為常數(shù).如滑?？刂浦斜豢貙ο鬄?/p>
假定期望的系統(tǒng)鎮(zhèn)定動態(tài)過程是指數(shù)衰減的,則對應(yīng)的 s是
依據(jù) x(t)的漸近穩(wěn)定性要求,c1的允許取值范圍是:0≤c1＜∞.式(4)所限定的 x1和 x2的取值范圍稱為 s的存在區(qū)域,記作 Ω.根據(jù)x1可能變化的范圍(例如:-2＜x1＜2)和對系統(tǒng)動態(tài)過程的要求,若指定 c1=0.5,則系統(tǒng)式(3)的 s定義為
它是 s的存在區(qū)域 Ω中斜對稱于零點的兩條線段sP和 sN,如圖 1所示.圖中 ΩNH為 s的鄰域.
1.2 直達(dá)與繞達(dá)
u將 x從 x0拉到 s上的途徑有兩條:x10＞0將 x拉到 sP上,或 x10＜0將 x拉到 sN上,為直達(dá);x10＞0將 x拉到了 sN上,或 x10＜0將 x拉到了 sP上,則為繞達(dá).雖然它們都到達(dá)了 s,但動態(tài)過程x1(t)不同,直達(dá)過程中 x1(t)單向收斂無超調(diào),繞達(dá)過程中 x1(t)有超調(diào).直達(dá)還是繞達(dá),取決于 u的選擇方法.圖 2為直達(dá)和繞達(dá)的相軌跡示意圖.
圖1 s的存在域和鄰
圖2 直達(dá)和繞達(dá)的相軌跡示意圖
1.3 傳統(tǒng)到達(dá)條件下的滑模控制
依據(jù)傳統(tǒng)到達(dá)條件:
選擇u,在C為常數(shù)的前提條件下,有σ·(x)=Cx·,將式(1)中的x·代入得σ·(x)=CA(x)+CB(x)u.假定(CB(x))-1存在,開關(guān)型滑?？刂苪為
其中,U滿足(CB(x))-1CA(x)?U的要求,sgn x為符號函數(shù).
由式(7)的 u與式(1)形成了閉環(huán)滑模控制系統(tǒng).
u與式(3)形成閉環(huán)滑?？刂葡到y(tǒng).
2 滑模控制的直達(dá)和繞達(dá)雙重性
對于用傳統(tǒng)到達(dá)條件綜合出來的開關(guān)型滑?？刂葡到y(tǒng),從 s鄰域中 x0出發(fā)的相軌線存在著直達(dá)和繞達(dá) s的兩種可能性,以下將復(fù)現(xiàn)這種現(xiàn)象并分析其產(chǎn)生的原因.
2.1 s的鄰域
到達(dá)條件:
滿足式(9)的 x0所在子空間叫 s的鄰域,記作ΩNH.對式(3)系統(tǒng),到達(dá)條件的有關(guān)公式為
因此,符合式(9)要求的 x0為 -2＜x10＜2,-1＜x20＜1,如圖 1中的 ΩNH.
2.2 滑模控制系統(tǒng)的直達(dá)和繞達(dá)現(xiàn)象
表 1是式(3)系統(tǒng) ΩNH中符合式(9)要求的 4個 x0及其對應(yīng)的
表 1 s鄰域的 x0及其到達(dá)條件
雖然它們都符合式(9)的要求,但它們的動態(tài)過程仿真結(jié)果卻不同,其中 1,2,3為直達(dá),而 4為繞達(dá),如圖 3所示.
圖3 滑?？刂频闹边_(dá)和繞達(dá)現(xiàn)象
2.3 繞達(dá)原因的分析
滑?？刂?u(式(7))是依據(jù)到達(dá)條件式(6)選擇出來的.式(6)中,σ(x)＞0,σ(x)＜0,這意味著 x必不在 s上,因而 xj+1與 xj之間的比值就不應(yīng)仍然保持為常數(shù) Cij,應(yīng)該是一個變量,例如表示為 dij.dij是隨 x的變化而變化的,如示例系統(tǒng)中 1,2,3,4號 x0,其對應(yīng) d的值分別為 -4.5,-0.6,0.6,4.5,可見它們的值不是固定的 d=0.5,而是各不相同.而到達(dá)條件中的 σ·(x)的表達(dá)式卻是σ·(x)=Cx·.不言而喻,該式等于把x的變化限制在了 s上,因為只有在 s上,xj+1與 xj之間的比值才是 Cij.所以傳統(tǒng)滑?？刂频牡竭_(dá)條件的表述有誤,致使滑?？刂凭C合的結(jié)果錯誤,這是造成繞達(dá)現(xiàn)象的真正原因.
3 滑模控制的直達(dá)條件
滑?？刂浦边_(dá)條件是選擇開關(guān)型滑?？刂频臏?zhǔn)則,按這種準(zhǔn)則選擇出來的控制,可使從 s鄰域內(nèi) x0出發(fā)的相軌線直接到達(dá)其鄰近的 s,相應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程快速而無超調(diào).
3.1 直達(dá)函數(shù)
定義 σd(x)=dx為直達(dá)函數(shù),其中 d∈Rm×n是直達(dá)函數(shù)的狀態(tài)變量之間的線性組合系數(shù),每個組合系數(shù)表示為
其中,din=1.當(dāng) x的變化使得 d→C時,則有σd(x)→σ(x)=0.如果 d→C的過程中 d是單調(diào)變化的,則 σd(x)對于 s是直達(dá)的.
3.2 直達(dá)條件
容易證明,從 x0出發(fā)的相軌線到達(dá) s的過程中,若不等式:
總是成立的(即存在改變的可能性),則該相軌線對于 s是直達(dá)的.對于式(3)所示系統(tǒng),有 m=1,n=2,代入式(10)和式(11)分別得
直達(dá)條件是
其中,Δd＞0和 Δd＜0稱為切換條件.它與傳統(tǒng)滑模控制的切換函數(shù)中的 σ(x)＞0和 σ(x)＜0不等價.前者是 σd(x)繞相空間原點的正反方向旋轉(zhuǎn),后者是 σ(x)相對 σ(x)=0的平移.
4 直達(dá)滑?？刂?/h2>
直達(dá)滑模控制由指令運(yùn)動模態(tài)及開關(guān)型直達(dá)滑?？刂平M成.
4.1 指令模態(tài)
指令模態(tài) sc的形式多種多樣,漸近穩(wěn)定(或穩(wěn)定)是它們共同的屬性,等式 σc(x)=Cx=0是其中的一種.sc的動態(tài)品質(zhì)完全取決于 C.
4.2 開關(guān)型直達(dá)滑模控制設(shè)計與仿真
滿足不等式(11)的開關(guān)型控制 u,可將出發(fā)于 ΩNH的相軌線直接引導(dǎo)到 sc,并在 sc上趨向原點,稱為開關(guān)型直達(dá)滑?？刂?uDR.對式(3)所示系統(tǒng),滿足直達(dá)條件式(12)的控制是
將 1,2,3,4號 x0的相關(guān)參數(shù)代入式(13),分別計算 Δd=d-C及滿足直達(dá)條件的控制 uDR,列于表2.
表 2 滿足直達(dá)條件的控制uDR
表 2中數(shù)據(jù)表明,不同的 x0,uDR不同.如果選擇開關(guān)型滑模控制:
其中,UDR幅值滿足條件
則 uDR可以使所有出發(fā)于以上 x0的相軌線直達(dá)sc.例如,對于式(3)所示系統(tǒng)取 UDR=3.2,則對于從 1,2,3,4號 x0出發(fā)的相軌線都可以直達(dá) sc.
用式(13)檢查到達(dá)條件開關(guān)型滑?？刂频闹边_(dá)性.由于到達(dá)條件開關(guān)型滑模控制式(8)的U=0.5,而 4號 x0的 uDR＞3.15,4號相軌線不應(yīng)該是直達(dá)的.而 1,2,3號 x0的 uDR都滿足不等式-0.5＜uDR＜0.5,它們的相軌線當(dāng)然都是直達(dá)的,這與相軌線的仿真結(jié)果一致.
把式(3)和式(14)合并在一起,對應(yīng)1,2,3,4號 x0,x1(t)的仿真結(jié)果如圖 4所示,可看出所有x1(t)均單向收斂.
圖4 直達(dá)滑?？刂频膭討B(tài)過程
5 結(jié)束語
綜上所述,導(dǎo)致滑模控制過程非單向收斂的原因是傳統(tǒng)滑?？刂频竭_(dá)條件表述不準(zhǔn)確,致使對滑動模態(tài)的鄰域界定有誤.開關(guān)型直達(dá)滑?？刂品椒ǖ暮诵慕M成是指令模態(tài)及開關(guān)型直達(dá)滑模控制,后者是通過指令模態(tài)的直達(dá)條件獲取的.對于控制有界的直達(dá)滑?？刂?需要界定滿足直達(dá)條件的初始狀態(tài)子空間.采用上述方法設(shè)計直達(dá)滑?？刂葡到y(tǒng),可保證滑?？刂七^程的單向收斂.
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(編 輯:趙海容)
Direct reaching sliding mode control
Jiang Yuxian Zhou Yinqiang Zhao Xia
(School of Automation Science and Electrical Engineering,Beijing University of Aeronautics and Astronautics,Beijing 100191,China)
Sliding mode control(SMC)system synthesized by traditional reaching condition can not grantee all phase trajectories from the neighborhood of the sliding mode to direct reach the nearby sliding mode branch.It will cause the state transition to be slow and overshooting which are not allowed in some engineering.In order to make the dynamic procedure of a SMC system unidirectional convergent,the direct-reaching SMC(DRSMC)was presented.By analyzing the shortcomings in the expression of traditional reaching condition,the definition of direct-reaching function and the establishment of direct-reaching condition were introduced.Direct-reaching condition(DRC)is the basis of using DRSMC to synthesizea SMC system.ADRSMC system is composed ofa command mode model and an on-off type DRSMC model.Different from the traditional reaching condition,the control which satisfies the DRC can guarantee all phase trajectories from the neighborhood of sliding mode to direct reach the nearby branch of the sliding mode and then go to zero state.Therefore the state transition process will be fast and monotonous.The DRSMC was applied to an example system and was simulated.The simulation resultaccords with the performance expectation of DRSMC.
sliding mode control;reaching condition;direct-reaching condition
TP 273
A
1001-5965(2011)02-0132-04
2009-11-27
姜玉憲(1937-),男,山東東阿人,教授,Jiangyuxian@buaa.edu.cn.
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