馬廣富，佘智勇

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱 150001)

0 引言

高超聲速飛行器不同于普通飛機(jī)，其具有比普通飛機(jī)更高的飛行速度和高度，在稠密大氣層內(nèi)以較高的速度運(yùn)動(dòng)，在一系列戰(zhàn)略戰(zhàn)術(shù)武器中具有應(yīng)用前景的同時(shí)，引入了大量的工程技術(shù)難題。因此，與其相關(guān)的軌跡優(yōu)化與指導(dǎo)控制問題，近年來受到工程技術(shù)人員廣泛關(guān)注，但現(xiàn)有文獻(xiàn)多為高超聲速飛行器再入段制導(dǎo)［1］，且多數(shù)為采用直接參數(shù)優(yōu)化方法求解最優(yōu)制導(dǎo)軌跡［2－3］。

本文重點(diǎn)研究以固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)為動(dòng)力系統(tǒng)的高超聲速飛行器上升段軌跡優(yōu)化問題，基于最優(yōu)控制理論，利用改進(jìn)型伴隨方法，間接解析在線生成最優(yōu)制導(dǎo)指令。

1 改進(jìn)型伴隨方法

1.1 軌跡優(yōu)化方法回顧

直接離線方法是近年來飛行器軌跡優(yōu)化方法的主流［4］，此方法將控制變量進(jìn)行離散化，同時(shí)按照優(yōu)化準(zhǔn)則，直接調(diào)整控制變量的值，直至獲得滿足性能指標(biāo)要求的最優(yōu)解，但求解過程需要的先驗(yàn)知識(shí)多，計(jì)算量大，計(jì)算耗時(shí)，并易陷入局部極小值，而使優(yōu)化失敗。間接法利用最優(yōu)理論求解問題［5］，間接求解控制變量，可避免局部極小值的產(chǎn)生，但傳統(tǒng)方法收斂速度難以保證，且對(duì)協(xié)態(tài)變量初始值較敏感［6］。與傳統(tǒng)利用伴隨方法求解最優(yōu)控制靈敏度問題不同［7］，增強(qiáng)型伴隨方法對(duì)前述2種方法進(jìn)行了有機(jī)結(jié)合，對(duì)于具有一定先驗(yàn)知識(shí)的初始解，按照間接法逐次迭代，具有收斂精度高、速度快及控制變量平滑等特點(diǎn)。

1.2 改進(jìn)型伴隨方法

對(duì)具有以下形式的多輸入、多輸出系統(tǒng):

對(duì)于某一近似滿足初始邊界與終端邊界的軌跡，按照某種指標(biāo)進(jìn)行逐次的迭代，直至尋得最優(yōu)軌跡為止。設(shè)Zk(t)，k≥0為前次迭代軌跡，那么，如果第k+1次迭代所產(chǎn)生的Zk+1(t)與Zk(t)滿足如下關(guān)系:

式中 I∈Rn×n為單位陣;β∈Rn×n，0 ＜ ‖β‖≤1。

將2次迭代的誤差表示成變分δZk=Zk+1－Zk，在Zk對(duì)F(Zk+1)做一階泰勒展開:

可構(gòu)造輔助方程:

其中，η∈Rn×1，那么

由輔助微分方程，利用已知的η(tf)，將其從tf到t0進(jìn)行反向積分，可求取輔助變量的變化歷程，可求得原方程狀態(tài)的變分初始值為δZ(t0)，并以此為初始值積分:

由已知的當(dāng)前狀態(tài)，可求取更為滿足約束的優(yōu)化軌跡狀態(tài):

反復(fù)進(jìn)行該過程，可得任意精度的最優(yōu)軌跡。

1.3 改進(jìn)型伴隨方法的收斂性

由于存在關(guān)系式(2)，則式(7)必然滿足:

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 飛行器動(dòng)力學(xué)模型

飛行器動(dòng)力學(xué)方程描述如下:

其中

式中 V為無因次速度;h為無因次高度;θ為彈道傾角;P為單位質(zhì)量的推力;X為沿速度軸向的單位質(zhì)量空氣阻力;Y為沿垂直速度軸向的單位質(zhì)量空氣升力;q=0.5ρV2為動(dòng)壓;ρ為大氣密度;Cx為阻力系數(shù);Cy為升力系數(shù);M 為馬赫數(shù);α 為攻角;ai、bi、ci、di為常系數(shù)。

選取初始邊界:

選取終端邊界:

選取性能指標(biāo):

2.2 考慮約束的哈密頓函數(shù)及協(xié)狀態(tài)

彎曲力矩是飛行器法向載荷的一種表現(xiàn)形式，從約束效果來說與直接攻角約束等價(jià)，但在理論處理過程中，彎曲力矩約束具有自己獨(dú)特的形式。

定義攻角和動(dòng)壓的乘積為飛行器所受的彎曲力矩，不失一般性，如果令:

為彎曲力矩約束，則哈密頓函數(shù)變?yōu)?/p>

式中 qs為海平面大氣壓;BMmax為最大彎曲力矩;λ1為約束項(xiàng)的拉格郎日乘子。

λ1滿足:

則協(xié)態(tài)變量應(yīng)滿足方程:

3 上升段軌跡優(yōu)化

將原系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行增廣，與協(xié)狀態(tài)組成新的狀態(tài)量為

做增廣方程:

對(duì)其實(shí)施改進(jìn)的伴隨方法，得到系統(tǒng)前饋標(biāo)稱輸入。取 ηh(tf)=［0 1 0 0 0 0］T，則

同理可得 Δθ、ΔλV，則由式(4)～ 式(6)可得到最優(yōu)系統(tǒng)軌線。同時(shí)，由最優(yōu)控制駐點(diǎn)條件及上述狀態(tài)變量，可求得最優(yōu)攻角指令。

上升段軌跡優(yōu)化流程:

(1)選取初值Z0(t);

(2)積分方程˙Z=F(Z，t);

(3)求取雅克比矩陣，構(gòu)造輔助伴隨方程;

(4)取 ηh(tf)=［0 1 0 0 0 0］T，對(duì)輔助伴隨方程進(jìn)行反向積分，可得到ηV(t);

(5)由 ηθ(tf)=［0 0 1 0 0 0］T及 ηλV(tf)=［0 0 0 1 0 0］T可確定另外2組條件;

(6)為計(jì)算考慮，為終端誤差增加調(diào)整因子，求解方程組:

(7)計(jì)算新的初始值:

(8)重新積分增廣狀態(tài)方程，如滿足精度要求，則結(jié)束;否則，返回步驟(2)。

4 算例

選擇垂直發(fā)射，到18 500 m時(shí)具有終端4°彈道傾角，并且達(dá)到最大能量的飛行任務(wù)，具體參數(shù)見表1。

表1 大氣層內(nèi)上升段帶彎曲力矩約束仿真參數(shù)Table 1 Parameters for atmospheric ascent with bending moment constraints

在飛行過程中，帶有過程約束和末端零攻角約束以及彎曲力矩約束，選取無彎曲力矩約束及不同數(shù)值彎曲力矩約束曲線對(duì)比分析見圖1、圖2。整個(gè)飛行過程在沒有碰到約束邊界時(shí)變化不大，一旦觸及約束邊界，作為控制量的攻角強(qiáng)制發(fā)生變化，在具有彎曲力矩邊界約束的狀態(tài)及協(xié)狀態(tài)動(dòng)力學(xué)方程作用下，各狀態(tài)及協(xié)狀態(tài)均發(fā)生變化，并由圖1和圖2可看出，在此類飛行器，此種飛行任務(wù)下，伴隨方法可智能的尋找最優(yōu)約束，而非簡(jiǎn)單的沿著約束邊界運(yùn)動(dòng)。究其原因在于哈密頓函數(shù)對(duì)于攻角不是單調(diào)函數(shù)，在最大攻角與最小攻角之間，哈密段函數(shù)存在極小值，且此極小值比邊界攻角上的哈密頓函數(shù)值更小。

5 結(jié)論

本文提出了一種改進(jìn)型的伴隨方法，基于該方法對(duì)大氣層內(nèi)高超聲速飛行器進(jìn)行了高精度、快速軌跡優(yōu)化;與直接參數(shù)化方法相比，改進(jìn)型的伴隨方法具有收斂精度高、收斂速度快、控制變量平滑等特點(diǎn)，能避免局部極小值的產(chǎn)生;與傳統(tǒng)伴隨方法相比，減小了對(duì)協(xié)態(tài)變量初始值的依賴，增大了協(xié)態(tài)變量的收斂域，具有直接快速在線優(yōu)化飛行器運(yùn)動(dòng)軌跡，實(shí)現(xiàn)閉環(huán)制導(dǎo)的潛力。同時(shí)，在約束條件存在條件下，伴隨方法仍能對(duì)上升段軌跡進(jìn)行優(yōu)化，且快速而有效。

圖1 彎曲力矩約束對(duì)高度、速度、彈道傾角及攻角的影響Fig.1 Effect of bending moment constraints on altitude，velocity，flight path angle，and angle of attack

圖2 彎曲力矩約束隨時(shí)間變化過程Fig.2 Bending moment history vs time

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