孔祥強(qiáng)

（菏澤學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山東 菏澤 274000）

Hermite矩陣特征值的絕對(duì)擾動(dòng)上界

孔祥強(qiáng)

（菏澤學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山東 菏澤 274000）

利用矩陣的奇異值分解和矩陣的計(jì)算技巧研究了Hermite矩陣特征值的擾動(dòng)界，得到了Hermite矩陣特征值的絕對(duì)擾動(dòng)上界，該結(jié)果改進(jìn)并推廣了Wielandt-Hoffman定理.

Hermite矩陣；特征值；絕對(duì)擾動(dòng)上界

設(shè)A ∈Cn×n，B=A+E為其擾動(dòng)矩陣，A、B的特征值分別為和關(guān)于特征值的傳統(tǒng)誤差界是估計(jì)用Frobenius范數(shù)界定矩陣特征值為其中min表示對(duì)｛1, 2,…,n｝所有的排列π取最小值，稱為矩陣的Wielandt-Hoffman型絕對(duì)擾動(dòng)上界.本文利用矩陣的奇異值分解，得到了Hermite矩陣特征值的Wielandt-Hoffman型絕對(duì)擾動(dòng)上界，該結(jié)果改進(jìn)并推廣了Wielandt-Hoffman定理[1].

1 定義和引理

定義1[2]13設(shè)存在酉陣U、V，使得

定義2[2]18（Frobenius范數(shù)）設(shè)則稱它為矩陣A的F-范數(shù)，也可寫成

引理[3]設(shè)均為Hermite矩陣，X為Hermite矩陣且X為正定陣，則：

2 主要結(jié)果

P-1XQ做奇異值分解有 P-1XQ=UΣVH， Σ=diag(σ1, σ2,… ,σn)，σ1≥σ2≥…≥σn＞0，U、V為酉陣，則

令D =UHΛU， C =VHΩV，則D、C分別酉相似于Λ、Ω，故D、C均為Hermite陣，D、C的特征值分別等于A、B的特征值.由式（1）、（3）

又Q-1X-1P =(P-1XQ )-1=VΣ-1UH，代入式（2），得

由引理1

將式（4～6）代入式（7），得

對(duì)正規(guī)陣D、C，依Wielandt-Hoffman定理知：存在1,2,…,n的某個(gè)排列π，使得所以

[1]HOFFMAN A J,WIELANDT H W.The variation of the spectrum of a normal matrix[J].Duke Math J,1953,20: 37-39.

[2]孫繼廣.矩陣擾動(dòng)分析[M].北京：科學(xué)出版社，2001:10-22.

[3]呂烔興.幾個(gè)矩陣范數(shù)不等式及其在譜擾動(dòng)中的應(yīng)用[J].高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2001(2):162-170.

[4]STEWART G W.A note on non-Hermitian perturlations of Hermitian matrices[J].Theoretical Mathematics,1972, 11(4):14-16.

Absolute Perturbation Bounds for Eigenvalues of Hermite Matrices

KONG Xiang-Qiang
(Department of Mathematics,Heze University,Heze 274000,China)

Using the singular value decomposition,some new Wielandt-Hoffman type absolute perturbation bounds of Hermite matrix are obtained.The results improve and extend the corresponding results in other papers.

Hermite matrix;eigenvalue;absolute upper bound of perturbation

?

O241.6

A

1006-7302（2011）03-0016-03

2011-03-08

菏澤學(xué)院2008年教改課題項(xiàng)目（200825）

孔祥強(qiáng)（1983—），男，山東菏澤人，助教，碩士，研究方向?yàn)橛?jì)算數(shù)學(xué).