王玉青，鐘東洲，黃東，王天雷

（五邑大學(xué) 信息工程學(xué)院，廣東 江門 529020）

光格中二維強非局域孤子的振蕩特性

王玉青，鐘東洲，黃東，王天雷

（五邑大學(xué) 信息工程學(xué)院，廣東 江門 529020）

利用有效粒子法，研究了折射率有縱向和橫向調(diào)制的強非局域非線性介質(zhì)中橢圓高斯光束的傳輸特性，得到了光束中心在不同調(diào)制情況下的演化規(guī)律.解析和數(shù)值結(jié)果表明：無縱向調(diào)制時，介質(zhì)二相等（不相等）的橫向調(diào)制頻率(kx,ky)將使初始偏離二坐標(biāo)軸較小的光束中心演化具有相同（不相同）的振蕩周期；當(dāng)光束中心初始偏離某一坐標(biāo)軸較遠，若 kx≠ky，光束中心將分別獨立地做等幅周期振蕩，但若 kx=ky，光束中心周期振蕩，且其振蕩幅度將沿初始偏離坐標(biāo)軸較小的方向逐漸指數(shù)增長而沿初始偏離坐標(biāo)軸較大的方向指數(shù)衰減；當(dāng)介質(zhì)有縱向調(diào)制時，若縱向調(diào)制頻率kz和kx、ky之間滿足特定條件，則光束中心沿該橫向振蕩的幅度隨傳輸距離的增加而指數(shù)增長，之后又指數(shù)減小；若不滿足該頻率條件，則光束中心將按不同的頻率等幅周期振蕩.

非線性光學(xué)；非局域非線性薛定諤方程；有效粒子法；空間光孤子

1997年，Snyder等[1]通過對非局域響應(yīng)函數(shù)進行泰勒展開，把描述光束傳輸?shù)姆蔷钟蚍蔷€性薛定諤方程簡化為一個線性諧振子方程，得到了穩(wěn)定的高斯型空間光孤子解，從此掀起了研究空間光孤子的熱潮[2-15].2004年，Yaroslav.V.Kartashov等[13]發(fā)現(xiàn)在折射率有縱向和橫向調(diào)制的克爾介質(zhì)中傳輸?shù)墓馐鴮l(fā)生參量放大情況；2005年，Yaroslav.V.Kartashov等[14]又研究了飽和的非線性克爾介質(zhì)中二維孤子的傳輸特性，發(fā)現(xiàn)當(dāng)折射率有縱向和橫向調(diào)制時，不同的調(diào)制使二維孤子的中心按照不同的規(guī)律振蕩；2008年，郭旗等[15]曾對光格中有初始入射角的光束的傳輸特性進行研究，發(fā)現(xiàn)存在臨界入射角使得光束能自陷于光格中，若光束入射角度大于該臨界入射角，則光束將具有較大的初速度以掙脫光格的限制；2010年，周駿等[11]對一維強非局域光晶格結(jié)構(gòu)中空間孤子的脈動傳播進行了數(shù)值研究，并對影響脈動傳播的內(nèi)在物理機制進行了討論.雖然目前已對橫向折射率調(diào)制的非局域非線性介質(zhì)中光束的傳輸特性有詳細研究，但如果對非局域非線性介質(zhì)同時加有縱向和橫向的折射率調(diào)制，且入射光束中心偏離響應(yīng)函數(shù)中心的情況卻沒有展開研究.本文首次利用有效粒子法[16]對橢圓高斯光束在此類介質(zhì)中的傳輸特性進行詳細研究.

1 傳輸模型

傍軸光束在有橫向和縱向調(diào)制的非局域非線性介質(zhì)中的傳輸遵循如下薛定諤方程[6,9,12]：

其中 ψ( x, y, z)為歸一化的傍軸近似光束函數(shù)，x和y是按光束初始束寬a0歸一化之后的橫向空間坐標(biāo)，z是按瑞利距離zR歸一化的縱向傳輸坐標(biāo)， p為介質(zhì)的橫向調(diào)制深度，R( x, y)是實對稱的非線性響應(yīng)函數(shù)，且R( x, y)滿足歸一化條件 ∫R( x, y) dx d y=1，M( x, y) =cos(kxx) cos(kyy)和 Q( z) =1 -μcos(kzz )分別代表頻率為kx、ky的橫向調(diào)制和頻率為kz的縱向調(diào)制為介質(zhì)的縱向調(diào)制深度（μ越大，縱向上的勢壘越高，反射波越強，所以為減小反射波的影響，通?？v向調(diào)制比較微弱）.

2 解析結(jié)果

2.1 無調(diào)制時光束的演化規(guī)律

已有研究[7]表明：當(dāng)強非局域介質(zhì)的折射率無任何調(diào)制時，光束具有穩(wěn)定的橢圓高斯型解，當(dāng)輸入功率等于臨界功率（即 P0=Pcx=Pcy）時，從束腰入射的橢圓高斯光束的衍射展寬和非線性壓縮才同時達到平衡，形成穩(wěn)定的橢圓高斯光孤子，而當(dāng) P0=Pcx（ 或 P0=Pcy）且 Pcx≠Pcy時，光束在x（或y）方向保持束寬不變，形成單方向孤子解.

2.2 有調(diào)制時光束的演化規(guī)律

若對介質(zhì)的折射率加上橫向的周期調(diào)制，當(dāng)光格周期遠大于光束束寬時，光束近似保持穩(wěn)定的橢圓高斯型分布，而當(dāng)光格周期與光束束寬可比擬時，光束所受的調(diào)制作用增強，隨著傳輸距離的增加將偏離其初始波形.

若對介質(zhì)的折射率同時加上縱向調(diào)制，則光束將具有不同的運動特征，光束中心的演化滿足如下方程組[13-15]：

假設(shè)光束在強非局域介質(zhì)中能保持穩(wěn)定傳輸，則方程（1）具有橢圓高斯型試探解：

式中a、b分別為x、y方向的光束束寬，α、β分別為光束中心沿x、y方向的初速度為試探解的振幅，θ為試探解的相位.

將式（4）代入方程（1）中可得光束中心的演化規(guī)律滿足如下方程組：

3 對解析結(jié)果的討論

3.1 無縱向調(diào)制時光束中心的演化特征

無縱向調(diào)制時μ=0，此時若光束中心偏離x軸和y軸很小，即 cx≈0、 cy≈ 0，則光束中心將分別沿x軸和y軸發(fā)生周期振蕩，由方程（5）和（6），光束中心的振蕩頻率分別為和由此可得光束中心的振蕩頻率和光格的調(diào)制深度及調(diào)制頻率有關(guān)，且當(dāng) kx=ky時，光束中心具有相同的振蕩周期，而當(dāng) kx≠ky時，光束中心按不同的頻率周期振蕩.

若μ=0但光束中心偏離x軸或y軸較大時，方程（5）和（6）不能解析求解，為研究其運動規(guī)律，對其進行數(shù)值積分.結(jié)果表明：當(dāng)光束中心初始偏離x(y)軸較大而偏離y(x)軸很小時，若二橫向調(diào)制頻率不相等，則光束中心將保持等頻率等幅度的周期振蕩；若二橫向調(diào)制頻率相等，即 kx=ky，則光束中心在周期振蕩的同時，其振蕩幅度將沿y(x)方向指數(shù)增長而沿x(y)方向指數(shù)衰減，這是因為隨著傳輸距離的增加，光束的二正交偏振方向?qū)⒂捎谙嗷プ饔枚詈?，從而產(chǎn)生共振.當(dāng)光束中心初始偏離x軸和y軸均較大但二者相差不大時，不論橫向調(diào)制頻率是否相等，光束中心將按不同的頻率等幅周期振蕩.

3.2 有縱向調(diào)制時光束中心的演化特征

若μ≠0，則光束在傳輸過程中受橫向和縱向的雙重調(diào)制，此時光束將展現(xiàn)有趣的特征：當(dāng)調(diào)制頻率滿足條件 kz≈ 2ωx（或 kz≈ 2ωy）時，光束中心沿x(y)方向的振蕩幅度隨傳輸距離的增加而指數(shù)增長，之后又指數(shù)減??；若不滿足該條件，則光束中心將按不同的頻率等幅周期振蕩.

以下所有圖中虛線（實線）均代表數(shù)值積分結(jié)果中光束中心在x(y)軸方向上的演化規(guī)律，星線（圓圈線）代表數(shù)值模擬結(jié)果中光束中心沿x(y)方向的演化規(guī)律，且滿足條件 α=β= 0，a=1，b=1.2.圖1給出光束中心演化軌跡的數(shù)值積分結(jié)果，其中μ=0.2，kx=1，ky=1.5，p=1，圖1a）和圖1b）中cx=cy=0.02，圖1c）中cx=cy=0.5.圖1a）中kz=1.2，由公式得 ωx= 0.59，滿足條件 kz≈2ωx，光束中心沿x方向的振蕩幅度隨傳輸距離的增加而先指數(shù)增長；圖1b）中kz=1.8，由公式得 ωy= 0.89，滿足條件 kz≈2ωy，光束中心沿y方向的振蕩幅度隨傳輸距離的增加而先指數(shù)增長；圖1c）中kz=3，不滿足條件 kz≈2ωx或 kz≈ 2ωy，光束中心按不同的頻率等幅周期振蕩.

圖1 α=β= 0，有縱向調(diào)制且光束中心初始偏離二坐標(biāo)軸均很小時的演化軌跡

3.3 解析結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果的比較

為驗證解析結(jié)果的正確性，下面將利用分布傅里葉方法[17]對非局域非線性薛定諤方程（1）進行數(shù)值模擬，設(shè)初始輸入具有形式（4），且響應(yīng)函數(shù)具有橢圓高斯型分布定義非局域程度（a為光束初始束寬，u為非局域非線性響應(yīng)函數(shù)的特征寬度），χ越小，非局域程度越強，反之越弱.為數(shù)值模擬方便，我們假設(shè)非局域程度且

3.3.1 無縱向調(diào)制時光束中心演化的數(shù)值模擬結(jié)果

圖2給出了μ=0，入射功率滿足條件 P0=Pcx=Pcy時若光束中心偏離x軸和y軸很小時數(shù)值模擬和數(shù)值積分結(jié)果的對比.圖2a）中kx=ky=1，即光束中心沿x軸和y軸具有相同的振蕩周期；圖2b）中kx=1，ky=1.2，光束中心沿x軸和y軸具有不同的振蕩周期.為驗證解析結(jié)果的正確性，現(xiàn)以圖2b）為例，由解析結(jié)果可得光束中心在x方向上的振蕩頻率為而由數(shù)值模擬可得其頻率為 0.500，數(shù)值積分則給出結(jié)果 0.483；解析結(jié)果得光束中心在 y方向上的振蕩頻率為而由數(shù)值模擬可得其頻率為0.59，數(shù)值積分則給出結(jié)果0.57.由此可知，我們的解析結(jié)果和數(shù)值結(jié)果吻合得很好.

圖2 p=0.5， α=β= 0，無縱向調(diào)制且光束中心初始偏離各坐標(biāo)軸均很小時的演化規(guī)律

圖3給出了μ=0且入射功率滿足條件 P0= Pcx= Pcy時若光束中心的數(shù)值模擬和數(shù)值積分結(jié)果的對比.由圖3a）和圖3b）可得兩橫向調(diào)制頻率相等，即 kx=ky= 1，且光束中心初始偏離x軸較大而偏離y軸很小，則光束在演化的過程中其中心在周期振蕩的同時，振蕩幅度沿y方向指數(shù)增長逐漸而沿x方向指數(shù)衰減，即光束在傳輸過程中其能量將由一個偏振方向轉(zhuǎn)移到另外一偏振方向，產(chǎn)生共振現(xiàn)象.圖3c）中kx=1，ky=1.2，即兩橫向調(diào)制頻率不同，則光束中心將分別作不同頻率的等幅周期振蕩.由以上結(jié)果可得在數(shù)十個瑞利距離內(nèi)我們的數(shù)值模擬結(jié)果和數(shù)值積分結(jié)果吻合得很好.

圖3 p=0.5， α=β= 0，無縱向調(diào)制且光束中心初始偏離x軸較大(c x =0.8)而偏離y軸較小(c y= 0.08)時的傳輸規(guī)律

3.3.2 有縱向調(diào)制時光束中心的演化特征

有橫向和縱向調(diào)制時光束中心分別沿x軸和y軸的演化規(guī)律如圖4所示.圖4顯示了光束具有初始中心分布cx=0.02，cy=0.2，初速度 α=β= 0，當(dāng)μ=0.1，kx=1，ky=kz=1.2，p=0.5且 P0=Pcx=Pcy時，其數(shù)值模擬結(jié)果和數(shù)值積分結(jié)果的對比.從中可得 kx≠ky時，光束中心分別沿x軸和y軸作不同周期的振蕩，且由于滿足條件kz≈2ωy，所以光束中心沿y軸的振蕩幅度隨著傳輸距離的增加指數(shù)增長.

圖4 有橫向和縱向調(diào)制時光束中心分別沿x軸和y軸的演化規(guī)律

4 結(jié)論

利用有效粒子方法，根據(jù)帶有縱向和橫向周期調(diào)制函數(shù)的非局域非線性薛定諤方程，分析得出了橢圓高斯格中光孤子中心的演化規(guī)律.理論分析和數(shù)值模擬都證明，在具有縱向和橫向折射率周期性調(diào)制的克爾型非線性介質(zhì)中，介質(zhì)的縱向和橫向調(diào)制頻率、縱向和橫向調(diào)制深度等參數(shù)是影響橢圓高斯光束中心傳輸?shù)闹匾蛩兀虼耍构馐床煌囊?guī)律進行傳輸，則需要調(diào)整相應(yīng)的參數(shù).這些結(jié)果對全光開關(guān)和路由等光控制技術(shù)的研究和應(yīng)用具有重要意義.

[1]SNYDER A W,MITCHELL D J.Accessible solitons[J].Science,1997,276(6)：1538-1541.

[2]PECCIANTI M,CONTI C，ASSANTO G,et al.All-optical switching and logic gating with spatial solitons in liquid crystals[J].Appl Phys Lett,2002,81(18)：3335-3337.

[3]CONTI C,PECCIANTI M,ASSANTO G.Route to nonlocality and observation of accessible solitons[J].Phys Rev Lett,2003,91(7)：073901-1-4.

[4]CONTI C,PECCIANTI M,ASSANTO G.Observation of optical spatial solitons in a highly nonlocal medium[J]. Phys Rev Lett,2004,92(11)：113902-1-4.

[5]FRATALOCCHI A,ASSANTO G.All-optical switching in a liquid crystalline waveguide[J].Appl Phys Lett, 2005,86(5)：051109-1-3.

[6]GUO Qi,LUO Boren,YI Fahuai,et al.Large phase shift of nonlocal optical spatial solitons[J].Phys Rev：E, 2004,69(1)：016602-1-8.

[7]QIN Xiaojuan,GUO Qi,HU wei,et al.Strongly nonlocal elliptical spatial optical solion[J].Acta Optica Sinica, 2006,55(3)：1237-1243.

[8]ZHONG Weiping,YI Lin.Influence of linear focusing and defocusing effects on interaction between spatial solitons[J].Acta Optica Sinica,2008,28(5)：960-964.

[9]WANG Yuqing,GUO Qi.Rotating soliton clusters in nonlocal nonlinear media[J].China Phys：B,2008,17(7)：2527-2534.

[10]CHEN Susong.Two-dimensional self-similar soliton wave in highly nonlocal media[J].Acta Optica Sinica, 2009,29(6)：1653-1658.

[11]ZHOU Jun,REN Haidong,Feng Yaping.The pulsating propagation of spatial soliton in strongly nonlocal optical lattice[J].Acta Physica Sinica,2010,59(6)：3992-4000.

[12]WANG Yuqing,ZHONG Dongzhou,HUANG Dong.Influence of phase-front curvature for an optical beam in strongly nonlocal media[J].Acta Optica Sinica,2010,30(8)：2377-2382.

[13]KARTASHOV Y V,TORNER L,VYSLOUKH V A.Parametric amplification of soliton steering in optical lattices[J].Opt Lett,2004,29(10)：1102-1104.

[14]KARTASHOV Y V,VYSLOUKH V A,TORNER L.Oscillations of two-dimensional solitons in harmonic and Bessel optical lattices[J].Phys Rev：E,2005,71(3)：036621-1-5.

[15]DAI Zhiping,WANG Yuqing,GUO Qi.Mobility of strongly nonlocal solitons in optical lattices[J].Phys Rev：A,2008,77(6)：063834-1-5.

[16]SANTHANAMA J,AGRAWAL G P.Raman-induced spectral shifts in optical fibers general theory based on the moment method[J].Opt Commun,2003,222：413-420.

[17]AGRAWAL G P.Nonlinear fiber optics[M].3th edition.Beijing：Acade mic Press,2001：51-55.

Oscillations of Two-Dimensional Strongly Nonlocal Solitons in Optical Lattices

WANG Yu-qing,ZHONG Dong-zhou,HUANG Dong,WANG Tian-lei
(School of Information Engineering,Wuyi University,Jiangmen 529020,China)

The evolution of elliptically Gaussian beam in the strongly nonlocal nonlinear media with longitudinal and transverse periodic modulations of the linear refractive index is studied by employing the effective-partical approach.The propagation properties for the beam center are obtained in the different modulations.The analytical and numerical results are shown in the case of no longitudinal modulation:The same(different)frequency of transverse modulation will lead to the same(different) oscillating period for the beam center when the initial beam center displacement along the transverse axes is small;but when the initial beam center displacement along a certain transverse axes is very large,the beam center will oscillate periodically with the amplitude unchanged;if the transverse modulation frequencies are not equal,the beam center will oscillate periodically;and the amplitude of the small (large) initial beam center displacement along the transverse axes decreases(grows)exponentially if transverse modulation frequency is the same.In the case of the longitudinal periodic modulation,if the relation of the longitudinal modulation frequency and some transverse refractive-index modulation frequency condition is satisfied,the oscillation amplitude of the beam center will grow exponentially along this very transverse direction with the propagation distance,and decrease later.But if the frequency condition is not satisfied,the beam center will oscillate periodically with amplitude unchanged.

nonlinear optics;nonlocal nonlinear Schr?dinger equation;effective-partical approach; spatial optical soliton

?

O437.5

A

1006-7302（2011）03-0001-06

2011-04-15

廣東高校優(yōu)秀青年創(chuàng)新人才培育資助項目（30717003）；五邑大學(xué)青年基金資助項目（201005132036437）

王玉青（1982—），女，河南臨潁人，講師，碩士，研究方向為非線性光學(xué)傳輸.