左偉，馮金富，張佳強(qiáng)

(空軍工程大學(xué) 工程學(xué)院，陜西 西安710038)

0 引言

制導(dǎo)彈藥的開發(fā)者正致力于研究如何以較低的成本將制導(dǎo)彈藥集成到不同的載機(jī)平臺以增加其互用性。如美國軍方已成功地將聯(lián)合直接攻擊彈藥(JDAM)集成到空軍和海軍10 余種型號的飛機(jī)上，其它制導(dǎo)彈藥的互用性試驗(yàn)也正在進(jìn)行中。要想降低制導(dǎo)彈藥的集成成本就必須盡量減少集成對載機(jī)作戰(zhàn)飛行程序OFP 的影響［1］。武器的允許發(fā)射區(qū)(LAR)計(jì)算程序作為OFP 重要的組成部分，其計(jì)算的復(fù)雜度直接影響武器的互用性。

目前，存在多種制導(dǎo)彈藥的LAR 算法。如6 自由度(DOF)模型法、快速模擬法、模糊法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法等，6DOF 模型法和快速模擬法是以解算武器的運(yùn)動方程、武器結(jié)構(gòu)模型、大氣環(huán)境條件等數(shù)學(xué)模型或其簡化形式為基礎(chǔ)的。該方法可以獲得高精度的LAR，但需要較多的計(jì)算資源且不適合于實(shí)時(shí)應(yīng)用;模糊法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法采用函數(shù)逼近器對武器6DOF 模型的輸出進(jìn)行匹配，在一定程度上減輕了計(jì)算負(fù)擔(dān)。但由于模糊系統(tǒng)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，要擬合的參數(shù)比較多，解算程序的軟件實(shí)現(xiàn)復(fù)雜，特別是當(dāng)模糊系統(tǒng)的模糊規(guī)則數(shù)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算神經(jīng)元較多時(shí)，不但會影響解算結(jié)果的實(shí)時(shí)性，而且當(dāng)要把制導(dǎo)彈藥集成到不同的載機(jī)平臺時(shí)，需對OFP 中的解算程序作較大的修改。為促進(jìn)制導(dǎo)彈藥的互用性，美國空軍武器系統(tǒng)評審執(zhí)行委員會(EWSR)向汽車工程師協(xié)會(SAE)請求協(xié)助，希望設(shè)計(jì)一種新的LAR 算法，來支持制導(dǎo)彈藥在不同載機(jī)平臺之間的“即插即用”集成［2］。SAE 提供的建議之一是要設(shè)計(jì)一種LAR 的參數(shù)模型，使武器或飛機(jī)制造商能夠通過更新參數(shù)來實(shí)現(xiàn)武器性能的改進(jìn)。

本文提供了一種LAR 參數(shù)模型的設(shè)計(jì)方法，該方法采用一組二次多項(xiàng)式來建立LAR 幾何形狀參數(shù)的數(shù)學(xué)模型，通過仿真實(shí)驗(yàn)獲得模型系數(shù)的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集和驗(yàn)證數(shù)據(jù)集，利用多元回歸來擬合模型的系數(shù)。擬合的參數(shù)模型使用一組二次多項(xiàng)式來匹配制導(dǎo)彈藥6DOF 模型的輸出而并非實(shí)際地建模制導(dǎo)彈藥的運(yùn)動方程組，這樣就可以避免由解算武器的6DOF 模型所帶來的計(jì)算負(fù)擔(dān)，使之適應(yīng)于實(shí)時(shí)應(yīng)用，而且可以通過更新模型系數(shù)來支持制導(dǎo)彈藥在不同載機(jī)平臺之間的實(shí)時(shí)集成。

1 LAR 參數(shù)模型的建立

LAR 是定義在空間中的一個區(qū)域，在該區(qū)域內(nèi)發(fā)射的武器可以成功地導(dǎo)向目標(biāo)。通常，LAR 為空間中的一個非規(guī)則的幾何區(qū)域，載機(jī)利用一個數(shù)學(xué)模型來計(jì)算并顯示該幾何區(qū)域的一個近似，該數(shù)學(xué)模型即為LAR 算法［3］。為建立LAR 算法的數(shù)學(xué)模型，首先對LAR 幾何形狀作出以下基本設(shè)定:

1)參考坐標(biāo)系為地面固定坐標(biāo)系。原點(diǎn)以發(fā)射時(shí)刻的載機(jī)為中心，x 軸的正向指向載機(jī)速度矢量的水平分量，y 軸在水平面內(nèi)與x 軸垂直且指向右為正，z 軸由右手定則確定(與美國軍用標(biāo)準(zhǔn)MILSTD-1760 規(guī)定的坐標(biāo)系一致)。LAR 即為該坐標(biāo)系xy 平面內(nèi)的一個幾何形狀。

2)LAR 的幾何形狀用一個n(n≥5)頂點(diǎn)的多邊形來表示，多邊形頂點(diǎn)的數(shù)目可根據(jù)武器具體的LAR 性能要求確定。多邊形的參考點(diǎn)在參考坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(xr，yr).

3)多邊形的第一個頂點(diǎn)v1定義在通過參考點(diǎn)(xr，yr)與x 軸平行的線上且距參考點(diǎn)r1處。

4)各頂點(diǎn)的標(biāo)號相對于第一個頂點(diǎn)沿順時(shí)針方向依次遞增。相鄰頂點(diǎn)與參考點(diǎn)連線之間的夾角均為(360/n)°.

5)頂點(diǎn)vi定義在通過參考點(diǎn)且與x 軸正向夾角為(360 ×(i-1)/n)°的線上且距參考點(diǎn)ri處。

一個任選的8 頂點(diǎn)多邊形所表示的LAR 實(shí)例如圖1所示。

圖1 多邊形表示的LARFig.1 LAR represented by polygon

基于以上基本設(shè)定可知，該多邊形的形狀和大小由參考點(diǎn)和各頂點(diǎn)在參考坐標(biāo)系中的坐標(biāo)所確定，而參考點(diǎn)和各頂點(diǎn)的坐標(biāo)依賴于影響武器LAR形狀和大小的因素，如載機(jī)的速度v、載機(jī)到目標(biāo)的高度h 和風(fēng)速wv等，因此，可將該多邊形各確定點(diǎn)的坐標(biāo)xr，yr，x1，y1，… ，xn，yn作為模型的依賴變量，將影響武器LAR 形狀和大小的因素作為模型的獨(dú)立變量，建立各確定點(diǎn)坐標(biāo)的數(shù)學(xué)模型如下:選擇二次多項(xiàng)式作為fj(1≤j≤k，k=2n+2)的數(shù)學(xué)形式，于是，這組二次多項(xiàng)式方程即為LAR 的參數(shù)模型。理論上(1)式中的任一方程fj將由m 個項(xiàng)組成，這m 個項(xiàng)的系數(shù)組成一個系數(shù)向量(cn1，cn2，…，cnm)，所有方程的系數(shù)向量組成一個系數(shù)矩陣Ck×m，因此該參數(shù)模型又可稱為基于系數(shù)的LAR算法［3］。接下來的問題就是如何確定系數(shù)矩陣Ck×m.

2 基于RSM 的模型系數(shù)的確定

反應(yīng)曲面建模(RSM)是數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)技術(shù)的綜合，它主要根據(jù)實(shí)驗(yàn)來研究一個或多個觀測的反應(yīng)與多個輸入因素之間的關(guān)系。它包括以下幾個部分:設(shè)計(jì)一組實(shí)驗(yàn)、建立一個數(shù)學(xué)模型來抽象感興趣的反應(yīng)與其影響因素之間的關(guān)系、基于該數(shù)學(xué)模型確定感興趣的反應(yīng)的最優(yōu)值來更好地理解系統(tǒng)的整體行為［4］。這里感興趣的反應(yīng)為多邊形各確定點(diǎn)的坐標(biāo)xr，yr，x1，y1，…，xn，yn影響因素為獨(dú)立變量v，h，wv等。根據(jù)RSM 原理，確定系數(shù)矩陣Ck×m的大致過程如下:首先設(shè)計(jì)一組仿真實(shí)驗(yàn)來獲得一組各坐標(biāo)點(diǎn)的觀測值即訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，然后通過對訓(xùn)練數(shù)據(jù)集進(jìn)行多元回歸分析獲得各系數(shù)的估計(jì)值，并通過方差分析和假設(shè)檢驗(yàn)對擬合的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，這樣就得到一個初始的系數(shù)矩陣。最后，設(shè)計(jì)另一組仿真實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生一組獨(dú)立的驗(yàn)證數(shù)據(jù)集來對初始的系數(shù)矩陣作進(jìn)一步驗(yàn)證，以獲得“驗(yàn)證的LAR 系數(shù)”［2］。

2.1 基于D-最優(yōu)設(shè)計(jì)的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集的產(chǎn)生

訓(xùn)練數(shù)據(jù)集主要用于擬合LAR 參數(shù)模型。為了產(chǎn)生訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，必須設(shè)計(jì)一組仿真實(shí)驗(yàn)，通過武器的6DOF 模型獲得一組較精確的LAR 觀測值。為了在較少的實(shí)驗(yàn)內(nèi)提高擬合的精度，這里采用D-最優(yōu)設(shè)計(jì)［5］來設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)集。

假設(shè)某制導(dǎo)彈藥的6DOF 模型有m 個輸入，則實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)空間可定義為

式中Iimin和Iimax分別為第i 個輸入變量取值的下限和上限。

要擬合的參數(shù)模型為二次多項(xiàng)式，如下式所示:

式中:xi為獨(dú)立變量;ε 為隨機(jī)誤差且服從正態(tài)分布ε～N(0，σ2).假設(shè)Y 是由所有反應(yīng)組成的p 維向量，表示成矩陣形式為

式中:Y=［yn1，yn2，…，ynp］T;b=［b0，b1，…，

擬合的目標(biāo)就是要使模型系數(shù)估計(jì)的置信橢球體的體積最小化。根據(jù)最小二乘擬合原理［6］，模型系數(shù)的估計(jì)為

系數(shù)的協(xié)方差矩陣為

D-最優(yōu)設(shè)計(jì)就是要設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)集P 使信息矩陣M(P)的行列式達(dá)到極大。

尋找最優(yōu)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)集是一個在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)空間內(nèi)尋優(yōu)的過程，這里，基于DETMAX 算法［7］來尋找最優(yōu)的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)集，過程如下:

1)隨機(jī)選擇一個n ×m 的初始設(shè)計(jì)矩陣F，并計(jì)算f(F)=det(FTF);

2)尋找所有以F 為子矩陣的(n+1)×m 的可行設(shè)計(jì)矩陣的集合S，其中S 中的任一元素H 是通過在F 中增加一個可行設(shè)計(jì)點(diǎn)得到的;

3)在S 中尋找最優(yōu)元素Hi構(gòu)成的子集S'，其中

4)尋找S'中的所有元素的所有n ×m 子矩陣F'構(gòu)成的集合T.

5)在T 中尋找最優(yōu)元素F'i構(gòu)成的子集T'，其中

6)對T'中的每一元素重復(fù)算法過程;

7)比較每次迭代產(chǎn)生的F'i與該次迭代的初始設(shè)計(jì)Fi的函數(shù)值，如果f(F'i)≤f(Fi)，停止算法并返回最優(yōu)設(shè)計(jì)Fi，否則繼續(xù)。

通過該算法可獲得一組離散的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)集，在這些實(shí)驗(yàn)點(diǎn)上運(yùn)行仿真實(shí)驗(yàn)便可獲得訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，再通過多元回歸便可擬合出各二次多項(xiàng)式的系數(shù)。為了消除武器6DOF 模型各輸入值的數(shù)量級不同對擬合精度的影響，在擬合之前，需對各獨(dú)立變量進(jìn)行編碼處理，編碼公式如下:

式中xi、ξi、ξc和c 分別表示變量的編碼值、變量的原始值、變量取值區(qū)間的中心點(diǎn)和步長。

2.2 基于Sobol 序列的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集的產(chǎn)生

為了確保從訓(xùn)練數(shù)據(jù)集得到的系數(shù)在整個武器發(fā)射條件包絡(luò)內(nèi)都滿足性能需求，必須用一組獨(dú)立的驗(yàn)證數(shù)據(jù)集來對系數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證。驗(yàn)證數(shù)據(jù)集對應(yīng)的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)集同樣取自實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)空間Gm，但取自不同的點(diǎn)。為了確保驗(yàn)證的充分性，實(shí)驗(yàn)點(diǎn)集必須具有較好的空間均勻分散性。評價(jià)數(shù)據(jù)點(diǎn)集空間均勻分散性好壞的指標(biāo)之一是偏差［8］，定義如下:給定一個點(diǎn)集x1，x2，…，xN∈Gm和一個子空間G∈Gm，定義計(jì)數(shù)函數(shù)SN(G)為該點(diǎn)集中位于子空間G 中的點(diǎn)(xi∈G)的數(shù)目。對每一個x=(x1，x2，…，xm)∈Gm，令Gx=［0，x1)×［0，x2)×… × ［0，xm)為體積為x1x2…xm的m 維矩形體，則點(diǎn)集x1，x2，…，xN的偏差定義為

偏差D 越小，則點(diǎn)集的空間均勻分散性越好?；趥坞S機(jī)序列產(chǎn)生的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)集比隨機(jī)選擇的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)集具有更好的空間均勻分散性，這里基于Sobol偽隨機(jī)序列［9］來設(shè)計(jì)驗(yàn)證數(shù)據(jù)集對應(yīng)的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)集。首先產(chǎn)生一個m 維的Sobol 序列，然后Sobol 序列的每一元素都對應(yīng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)空間的一個采樣點(diǎn)。產(chǎn)生一維Sobol 序列的步驟如下:

1)選擇一個Z2域的d 階本原多項(xiàng)式P=xd+a1xd-1+…+ad-1x+1，ai=0，1.只要P 是本原的，多項(xiàng)式可任意選擇。

2)設(shè)置m1，m2，…，md的值。只要滿足mi為奇數(shù)且mi＜2i，則mi的值可任意選擇。然后根據(jù)(10)式計(jì)算md+1，md+2，….

式中⊕表示二進(jìn)制位的異或運(yùn)算。

3)通過(11)式產(chǎn)生一組方向數(shù)v1，v2，….

4)通過(12)式產(chǎn)生序列x1，x2，…，xN.

式中bk…b3b2b1是n 的二進(jìn)制表示。

要產(chǎn)生m 維的Sobol 序列，只需選擇m 個不同的本原多項(xiàng)式并計(jì)算m 組不同的方向數(shù)，然后使用對應(yīng)的方向數(shù)來計(jì)算每一維的元素即可。

利用Sobol 序列產(chǎn)生一組實(shí)驗(yàn)點(diǎn)集，通過仿真實(shí)驗(yàn)便可獲得驗(yàn)證數(shù)據(jù)集。然后利用訓(xùn)練數(shù)據(jù)集擬合的LAR 參數(shù)模型計(jì)算得到一組LAR 的預(yù)測值，并將它與驗(yàn)證數(shù)據(jù)集進(jìn)行比較，如果結(jié)果滿足預(yù)定的LAR 性能標(biāo)準(zhǔn)，則設(shè)計(jì)結(jié)束。否則，必須通過增加實(shí)驗(yàn)點(diǎn)來重新獲得一個更大的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集。LAR模型系數(shù)的訓(xùn)練是一個迭代的過程，在設(shè)計(jì)中，需要根據(jù)驗(yàn)證結(jié)果不斷地增加訓(xùn)練數(shù)據(jù)，直到獲得滿意的系數(shù)為止。

3 實(shí)例分析

下面用一個假想的激光制導(dǎo)炸彈為例來驗(yàn)證該設(shè)計(jì)方法。該激光制導(dǎo)炸彈的LAR 用一8 頂點(diǎn)的多邊形(見圖1)來表示，其LAR 仿真實(shí)驗(yàn)利用的6DOF 模型見文獻(xiàn)［10］。仿真實(shí)驗(yàn)定義的獨(dú)立變量及其范圍和水平如表1所示。

表1 獨(dú)立變量的范圍與水平Tab.1 The ranges and levels of independent variables

從表1可知實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)空間為G4=［200，300］×［0，150.0］×［1 000，5 000］×［10.0，20.0］.基于D-最優(yōu)設(shè)計(jì)在數(shù)據(jù)空間G4內(nèi)選擇一組最優(yōu)的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)集并通過仿真實(shí)驗(yàn)獲得一組LAR 系數(shù)的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，通過多元回歸擬合出多邊形各參數(shù)的數(shù)學(xué)模型。下面，選擇參數(shù)xr來對結(jié)果進(jìn)行分析。擬合得到編碼后的xr的二次多項(xiàng)式模型為

利用方差分析和多元回歸分析對(13)式的擬合結(jié)果進(jìn)行評估。模型方差分析的結(jié)果如表2所示。

模型的總體回歸質(zhì)量可通過F 檢驗(yàn)及對應(yīng)的P值來評估，F(xiàn) 值越大且P 值越小，表明模型的總體回歸質(zhì)量越好。從F 檢驗(yàn)的結(jié)果(Fm=13 390)和接受零假設(shè)(模型系數(shù)都為0)的概率(P=0)可以看出，該回歸模型是顯著的。R2是模型的確定系數(shù)，它用于評價(jià)模型的輸出與獨(dú)立變量的相關(guān)程度。從R2值(R2=0.995)可知只有5%的輸出偏差不能被模型所解釋，這表明輸出xr與獨(dú)立變量之間具有高度的相關(guān)性。各個系數(shù)的回歸分析如表3所示。采用的假設(shè)檢驗(yàn)為基于學(xué)生分布的t 檢驗(yàn)，零假設(shè)為單個系數(shù)為0(bi=0)，顯著性水平為0.05.從各系數(shù)對應(yīng)的t 值可以看出回歸模型的各系數(shù)是顯著的。

表2 回歸模型的方差分析Tab.2 Variance analysis of regression model

表3 各系數(shù)的回歸分析Tab.3 Regressive analysis of coefficients

接下來，用一組獨(dú)立的驗(yàn)證數(shù)據(jù)集對擬合得到的系數(shù)進(jìn)行測試。驗(yàn)證數(shù)據(jù)集對應(yīng)的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)根據(jù)一個4 維Sobol 序列來采樣，產(chǎn)生該Sobol 序列的4 個本原多項(xiàng)式為

參數(shù)xr的實(shí)驗(yàn)觀測值和模型預(yù)測值如圖2所示。

圖2 xr的驗(yàn)證值和預(yù)測值Fig.2 The verification data and predicted values of xr

從圖2可以看出xr的觀測值和預(yù)測值具有合理的一致性，這表明xr的模型對應(yīng)的系數(shù)是可用的。同理，可對其它參數(shù)yr，x1，…，y8的模型系數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證。最后，所有多項(xiàng)式的系數(shù)組成一個矩陣C18×15，該系數(shù)矩陣即為“驗(yàn)證的LAR 系數(shù)”。

最后，基于“驗(yàn)證的LAR 系數(shù)”對LAR 的解算精度進(jìn)行評估。評估指標(biāo)為失去發(fā)射機(jī)會概率Pml、界外發(fā)射概率Pob和成功發(fā)射概率Psl，要求平均成功發(fā)射概率大于85%.計(jì)算示意圖如圖3所示。

圖3 LAR 解算精度的評價(jià)指標(biāo)示意圖Fig.3 Evaluation index of LAR calculation precision

根據(jù)圖中的近似投放區(qū)Af、參考投放區(qū)Am及它們的重疊區(qū)Ac，各評估指標(biāo)的計(jì)算公式如下:

失去發(fā)射機(jī)會概率:

界外發(fā)射概率:

成功發(fā)射概率:

分別采用“驗(yàn)證的LAR 系數(shù)”來計(jì)算近似投放區(qū)Af及文獻(xiàn)［10］中的6DOF 模型來計(jì)算參考投放區(qū)Am，并根據(jù)(15)式～(17)式來計(jì)算上述評價(jià)指標(biāo)，統(tǒng)計(jì)得到的各評價(jià)指標(biāo)為:Pml=6.87%，Pob=5.39%，Psl=88.12%.從該統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以看出，采用“驗(yàn)證的LAR 系數(shù)”解算的LAR 在可接受的范圍之內(nèi)。

4 結(jié)論

制導(dǎo)彈藥允許投放區(qū)解算的實(shí)時(shí)性和精確度對其作戰(zhàn)效能的發(fā)揮起著至關(guān)重要的作用。本文定義了一個n 頂點(diǎn)的多邊形來表示制導(dǎo)彈藥LAR 的幾何形狀，建立了計(jì)算其LAR 的數(shù)學(xué)模型，并設(shè)計(jì)了模型系數(shù)的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集和驗(yàn)證數(shù)據(jù)集產(chǎn)生方法，其中基于D-最優(yōu)設(shè)計(jì)的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集產(chǎn)生方法可有效地減少仿真實(shí)驗(yàn)的次數(shù)和提高模型系數(shù)估計(jì)的精度，基于Sobol 序列的驗(yàn)證數(shù)據(jù)集產(chǎn)生方法可確保系數(shù)驗(yàn)證的充分性?！膀?yàn)證的LAR 系數(shù)”可用于在線解算制導(dǎo)彈藥的允許投放區(qū)，提高LAR 計(jì)算的實(shí)時(shí)性。設(shè)計(jì)的參數(shù)模型結(jié)構(gòu)簡單，有助于降低解算程序的計(jì)算復(fù)雜度。然而，由于擬合誤差的存在，該方法解算的LAR 精確度要低于6DOF 模型法，但仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明仍在可接受的范圍之內(nèi)。

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