□天津科技大學(xué) 賈學(xué)龍 楊華

將數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的研究

□天津科技大學(xué) 賈學(xué)龍 楊華

文章分析了高等數(shù)學(xué)的教學(xué)現(xiàn)狀和存在的問題?？偨Y(jié)了講授高等數(shù)學(xué)的理論與相關(guān)數(shù)學(xué)建模案例相結(jié)合的方法以及在滲透建模思想的同時(shí)要注意的幾個(gè)問題。

數(shù)學(xué)建模；高等數(shù)學(xué)；教學(xué)

當(dāng)前，數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)在各高校廣泛開展，為應(yīng)用型人才的培養(yǎng)創(chuàng)造了很好的環(huán)境和機(jī)遇。而在數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)開展的同時(shí)，也逐漸暴露出一些問題，其中最主要的問題就是如何把數(shù)學(xué)建模的思想融入到高等數(shù)學(xué)教學(xué)中去。作者在多年的教學(xué)基礎(chǔ)上，結(jié)合我校的實(shí)際情況，就如何在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思想談?wù)勛约旱囊恍┫敕ā?/p>

一、高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)建模

目前，我國(guó)各高校高等數(shù)學(xué)教材的知識(shí)結(jié)構(gòu)大多數(shù)是采用以數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系為主線的體系，其核心就是演繹，一環(huán)扣一環(huán)的演進(jìn)過程，充分體現(xiàn)了在公理化體系下的邏輯關(guān)系。在這種體系下必然導(dǎo)致高等數(shù)學(xué)的教學(xué)多重視理論的系統(tǒng)性和結(jié)構(gòu)的嚴(yán)密性，而忽略了對(duì)基本概念、基本定理的物理和幾何意義的解釋，把微積分與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系完全的分離了，微積分的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值沒有能夠充分的展示出來，使學(xué)生對(duì)于高等數(shù)學(xué)教材中的定義、定理和公式感到很迷茫，往往不能夠充分的理解其實(shí)際意義。致使在整個(gè)學(xué)習(xí)過程中學(xué)生不理解學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的動(dòng)機(jī)，單一的作業(yè)訓(xùn)練是在學(xué)生處于一種被動(dòng)的情況下進(jìn)行的，沒有體現(xiàn)出學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性與主動(dòng)性。而體現(xiàn)在學(xué)生身上更多的則是模仿與強(qiáng)迫記憶。造成了學(xué)生認(rèn)為學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)是枯燥無味并且是沒用的，從而失去了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心。

而數(shù)學(xué)建模是通過數(shù)學(xué)模型的方式，搜集實(shí)際問題的材料和數(shù)據(jù)，找到問題的關(guān)鍵抓住其內(nèi)在的規(guī)律，運(yùn)用數(shù)學(xué)中的定義、定理和公式，把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)的方法把問題解決。最后再把求解后的結(jié)果與實(shí)際問題相結(jié)合，把數(shù)學(xué)的結(jié)果解釋成實(shí)際問題。然后在不斷的修改假設(shè)中修改、完善問題，使解決的結(jié)果更符合實(shí)際問題。因此，數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)聯(lián)系客觀世界，與現(xiàn)實(shí)世界溝通，解決實(shí)際問題的重要工具。這就要求我們教師，尤其講授是高等數(shù)學(xué)課的教師必須改進(jìn)以前傳統(tǒng)的教學(xué)理念，加強(qiáng)與實(shí)際問題相結(jié)合的方法，把數(shù)學(xué)中的定義、定理和公式現(xiàn)實(shí)化，再加上一些有意義的實(shí)際問題，使之通俗易懂，把復(fù)雜深?yuàn)W的理論淺顯化，主要強(qiáng)調(diào)把數(shù)學(xué)中的結(jié)果說明的更詳細(xì)，實(shí)例更具體。讓學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)還學(xué)會(huì)如何運(yùn)用數(shù)學(xué)，把數(shù)學(xué)中的知識(shí)與實(shí)際問題相結(jié)合，從而，更快捷有效地解決實(shí)際問題。因此，把數(shù)學(xué)建模的思想融入到高等數(shù)學(xué)教學(xué)中是十分必要的。

二、建模案例與高等數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合

1.要在首堂課中引入數(shù)學(xué)模型，拓寬學(xué)生視野，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

首堂課是學(xué)生認(rèn)識(shí)老師，認(rèn)識(shí)高等數(shù)學(xué)課程的起點(diǎn)，是點(diǎn)燃學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的第一束火花。有了一個(gè)好的開始將對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，端正學(xué)習(xí)的態(tài)度以及改變舊的思想觀念起到關(guān)鍵性的作用，因此必須上好這一課。首堂課應(yīng)該介紹數(shù)學(xué)發(fā)展的簡(jiǎn)史，舉例說明數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用，進(jìn)一步闡明高等數(shù)學(xué)的重要地位和作用。讓他們弄清高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)有著本質(zhì)上的區(qū)別。有的放矢地提問一些趣味性較強(qiáng)的問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲。如用公平席位的分配問題，雨中行走是不是走得越快淋雨就越少，商人如何安全渡河等問題，引起學(xué)生強(qiáng)烈的好奇心，活躍課堂氣氛。用森林救火、血管分支、軍備競(jìng)賽、紅綠燈調(diào)節(jié)、人口模型等問題激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性，開闊視野。從思想上改變學(xué)生以往對(duì)數(shù)學(xué)課程的偏見，為今后學(xué)好高等數(shù)學(xué)奠定良好的心理基礎(chǔ)。

2.將數(shù)學(xué)建模思想融入到高等數(shù)學(xué)的基本概念中

高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的基本概念，如極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分，在這些概念的教學(xué)中，如何將數(shù)學(xué)建模的思想與其相結(jié)合將直接關(guān)系影響到學(xué)生對(duì)該概念的理解程度。比如在介紹導(dǎo)數(shù)概念時(shí)可以先對(duì)學(xué)生進(jìn)行提問，在現(xiàn)實(shí)生活中能夠找到哪些與變化率相關(guān)的實(shí)例。通過學(xué)生在生活中的一些體驗(yàn)，舉出實(shí)例。如：股票在某一時(shí)間段的漲跌、房?jī)r(jià)的漲跌、氣體的溫室效應(yīng)引起的全球氣候變暖、物體的自由落體運(yùn)動(dòng)等等，這些都是相對(duì)于時(shí)間的變化率。從這些實(shí)例中提煉出數(shù)學(xué)模型，從而為總結(jié)出導(dǎo)數(shù)概念提供具體的實(shí)際背景鋪墊。

通過這些具體的實(shí)例讓學(xué)生感知客觀世界中存在著變化快慢不同的現(xiàn)象，讓學(xué)生在已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上建構(gòu)新知識(shí)，從而達(dá)到概念的自然形成，這樣學(xué)生不會(huì)感到突兀，并能進(jìn)一步感受到數(shù)學(xué)來源于生活，生活中處處蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)的知識(shí)，從而探究得到用平均變化率來刻畫這種快慢程度。此時(shí)再引入“變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的瞬時(shí)速度”模型，進(jìn)而引出導(dǎo)數(shù)的概念。

3．在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中將建模案例與定理應(yīng)用相結(jié)合

在介紹閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)定理的時(shí)候，可以與“椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？”這個(gè)建模實(shí)例相結(jié)合。在極值定理時(shí)，可以增加最優(yōu)化問題，與“磁盤的最大存儲(chǔ)量”，“電影院的優(yōu)化設(shè)計(jì)”等模型相結(jié)合。

如椅子放平穩(wěn)的問題巧妙的用了一個(gè)一元變量表示椅子位置，用的兩個(gè)函數(shù)表示椅子四腳與地面的距離。

剛開始看到這個(gè)題目，可能有很多同學(xué)不會(huì)把它與數(shù)學(xué)問題聯(lián)系起來，即使想把它與數(shù)學(xué)問題結(jié)合起來也找不到結(jié)合點(diǎn)在哪里。但是通過我們教師的適當(dāng)引導(dǎo)，把這個(gè)問題與函數(shù)連續(xù)的定理聯(lián)系在一起，找到他們之間的關(guān)系,用數(shù)學(xué)建模的思想把這個(gè)實(shí)際問題解決掉。要解決這個(gè)問題就要學(xué)習(xí)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)等高等數(shù)學(xué)的知識(shí)。通過這一類的實(shí)例分析，讓學(xué)生在山重水復(fù)中看到柳暗花明。學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣都會(huì)得到提高。

4．在高等數(shù)學(xué)課程的每一章的習(xí)題課中增加一個(gè)案例教學(xué)的環(huán)節(jié)

這樣一個(gè)課堂教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)不僅能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，而且有利于培養(yǎng)他們勤于思考的習(xí)慣，加強(qiáng)對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解。實(shí)際問題的選擇應(yīng)該以“簡(jiǎn)單和短小”為目標(biāo)，最好是一些典型的實(shí)際問題。對(duì)這些實(shí)際問題的講解，采用數(shù)學(xué)建模的思想方法，對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分析，引發(fā)學(xué)生的思考，使其逐步掌握數(shù)學(xué)建模的思想方法，掌握高等數(shù)學(xué)概念和理論的來龍去脈，鞏固所學(xué)知識(shí)。例如，在學(xué)完最值定理后，可以與“森林救火問題”相結(jié)合；講完微分方程知識(shí)后，可以與“傳染病模型”和“人口增長(zhǎng)模型”相結(jié)合；學(xué)完積分知識(shí)后，可以與“存貯問題”相結(jié)合等等。

通過以上的幾個(gè)具體案例，不但成功的將建模的思想融入高等數(shù)學(xué)的教學(xué)，還運(yùn)用高等數(shù)學(xué)中的“變換觀點(diǎn)”，培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。通過這些實(shí)際問題的研究，可以讓學(xué)生清楚地知道高等數(shù)學(xué)在其各自專業(yè)里的具體應(yīng)用，激發(fā)他們應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)去分析、解決實(shí)際問題的主動(dòng)性和積極性。把在數(shù)學(xué)中學(xué)到的知識(shí)、方法和思想結(jié)合他們自己的專業(yè)知識(shí)以更快更好的解決實(shí)際問題，學(xué)生可以切身的感受到學(xué)數(shù)學(xué)給他們帶來的收獲。這與以前的傳統(tǒng)的教學(xué)模式差別很大，這種教學(xué)模式讓學(xué)生真正的懂得了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性，真正的學(xué)會(huì)了怎樣學(xué)數(shù)學(xué)，怎樣用數(shù)學(xué)。

5．將數(shù)學(xué)建模案例融入高等數(shù)學(xué)教材中

為了更好的使數(shù)學(xué)建模進(jìn)入高等數(shù)學(xué)的教學(xué)之中，有必要在教材中附以應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的優(yōu)秀案例，使教師在上課時(shí)有據(jù)可循，同時(shí)便于學(xué)生課下進(jìn)一步理解吸收。這樣不僅使教材具有可讀性，更能激發(fā)學(xué)生閱讀教材的興趣，有助于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，提高用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

三、在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)注意的問題

一要由特殊到一般，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，一步步滲透，要循序漸進(jìn)，不要急于求成。

二要選擇在現(xiàn)實(shí)生活中學(xué)生們經(jīng)常接觸的實(shí)際問題，且是容易接受的、使學(xué)生能夠產(chǎn)生興趣的、實(shí)用的數(shù)學(xué)建模內(nèi)容。

三是在教學(xué)中列舉數(shù)學(xué)建模實(shí)例，僅僅是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的方法和思想的初步，因此，在教學(xué)中舉例要少而精，不要大而泛，從而沖淡高等數(shù)學(xué)理論知識(shí)的學(xué)習(xí)。

通過以上幾點(diǎn)分析，我們認(rèn)為有必要將數(shù)學(xué)建模思想融入到高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)不僅僅是學(xué)習(xí)其他科學(xué)的工具，更重要的是學(xué)會(huì)如何在社會(huì)生活以及在經(jīng)濟(jì)、軍事、政治等領(lǐng)域應(yīng)用這些工具。同時(shí)將數(shù)學(xué)建模思想融入到高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中對(duì)調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，都將會(huì)起到非常積極的促進(jìn)作用。

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