●張振繼 (寧波萬里國際學(xué)校 浙江寧波 315040)

寧波市高中青年數(shù)學(xué)教師“說題”大賽試題評(píng)析

●張振繼 (寧波萬里國際學(xué)校 浙江寧波 315040)

2010年10月26日，浙江省寧波市舉行城區(qū)高中青年數(shù)學(xué)教師“說題”比賽，此種形式的比賽在寧波歷史上還是第一次．本文就“說題”中的幾道試題進(jìn)行評(píng)析，供教學(xué)時(shí)參考．

本次活動(dòng)共分3組，每組4人，一共有12人參加，第1～4人說第1題，第5～8人說第2題，第9～12人說第3題．每人給出思考準(zhǔn)備時(shí)間15分鐘，“說題”時(shí)間15分鐘．以下筆者逐題進(jìn)行分析．

題1 設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，證明:

(1995年全國數(shù)學(xué)高考文科試題)

命題立意本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及不等式的證明方法，屬于中等難度的題目．

本題還可以用數(shù)學(xué)歸納法(探究)，這里略．

題目點(diǎn)評(píng)在利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解時(shí)，應(yīng)注意對(duì)公比q進(jìn)行分類討論．但如果利用和數(shù)列{Sn}之間的遞推關(guān)系，那么便可回避分類討論，優(yōu)化解題過程．

一般地，在等比數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和為

成立，并證明你的結(jié)論．

(1995年全國數(shù)學(xué)高考理科試題)

題2設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2－2x－2a(a∈R，a≠0)，若集合A={x|f(x)＞0}，集合 B={x|1＜x＜3}，滿足A∩B≠φ，求a的取值范圍．

命題立意本題考查二次函數(shù)、不等式的解集、集合語言之間的轉(zhuǎn)換，屬于難題．

思路分析直接利用A∩B≠φ，或從反面入手求解．

解法探究若通過求不等式f(x)＞0的解集來求解，由于含有參數(shù)，則討論起來比較復(fù)雜．

解法1(直接法)由A∩B≠φ，得存在x∈(1，3)，使得 f(x) ＞0有解(解集非空)．

(1)當(dāng)a＞0時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)的圖像得

解法2(間接法)由 A∩B=φ，得當(dāng)x∈(1，3)時(shí)，不等式f(x)≤0恒成立．

題目點(diǎn)評(píng)本題通過解不等式f(x)＞0的解集求解，計(jì)算量大而復(fù)雜，難度較大．若充分利用數(shù)形結(jié)合思想，則可以化難為易;另外利用補(bǔ)集思想處理，比較理想，值得回味與深思．

相關(guān)鏈接:

1．已知集合 A={x|－8≤x≤6}，B={x|x≤m}，若 A∪B≠B，且 A∩B≠φ，則 m 的取值范圍是＿＿．

(2005年全國“希望杯”邀請(qǐng)賽高一試題)

2．設(shè)函數(shù)f(x)=ax2－2x+2 對(duì)任意x∈(1，4)都有f(x)＞0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

題3已知直線l是圓x2+y2=1的一條切線，它與拋物線y=x2－4交于點(diǎn)A，B，P為拋物線的頂點(diǎn)，求△PAB重心G的縱坐標(biāo)的取值范圍．

命題立意本題考查直線與圓相切、直線與拋物線相交的基礎(chǔ)知識(shí)，以及數(shù)形結(jié)合思想、方程函數(shù)思想．

思路分析設(shè)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，將重心G的縱坐標(biāo)表示為點(diǎn)A，B橫(縱)坐標(biāo)的函數(shù)，然后通過求最值解決．

解法探究 解法1設(shè)直線l的方程為y=kx+b(k不存在時(shí)不符合題意)．因?yàn)閘是圓x2+y2=1的一條切線，所以

下仿照解法1解之，這里略．

題目點(diǎn)評(píng)本題入手容易，關(guān)鍵是進(jìn)行函數(shù)建模，即將重心G的縱坐標(biāo)表示為點(diǎn)A，B橫(縱)坐標(biāo)的函數(shù)，然后利用直線與圓相切、直線與拋物線相交、聯(lián)立方程組等知識(shí)加以解決．

相關(guān)鏈接:

已知點(diǎn)A(0，2)和拋物線y2=x+4上2個(gè)點(diǎn)B，C，使得AB⊥BC，求點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍．

(2002年全國數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題)