●郜青林 (溫嶺市第九中學(xué) 浙江溫嶺 317520)

在活動(dòng)中感悟數(shù)學(xué):以多邊形內(nèi)角和的教學(xué)為例

●郜青林 (溫嶺市第九中學(xué) 浙江溫嶺 317520)

《義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(修訂稿)》強(qiáng)調(diào):學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程．除接受學(xué)習(xí)外，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流同樣是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式．學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程．在這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，讓學(xué)生經(jīng)歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，掌握分析問題和解決問題的一些基本方法．并在與他人合作和交流過程中，更好地理解他人的思考方法和結(jié)論．下面筆者結(jié)合《多邊形內(nèi)角和》的教學(xué)設(shè)計(jì)，例談如何組織開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．

1 基于學(xué)生的知識基礎(chǔ)，提出活動(dòng)問題

重視研究學(xué)生原有的知識基礎(chǔ)．任何新知識都是舊知識的延伸發(fā)展，因此教師要認(rèn)真深入研究學(xué)生學(xué)習(xí)新知識所必備的知識基礎(chǔ)及舊知識的掌握狀況．即已經(jīng)知道什么，哪些知識掌握得較扎實(shí)，哪些知識掌握得較模糊等，從而確定教學(xué)的途徑、方法．因?yàn)閷W(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)初步掌握了三角形的內(nèi)角和及正方形和長方形的內(nèi)角和等知識，所以筆者在“多邊形內(nèi)角和”的教學(xué)導(dǎo)入是這樣設(shè)計(jì)的:

師:大家還記得三角形的內(nèi)角和是多少度?

生:180°．

師:正方形、長方形的內(nèi)角和呢?

生:360°．

師:任意一個(gè)四邊形的內(nèi)角和是否也是360°?

生:……(給學(xué)生1分鐘左右的時(shí)間思考)．

設(shè)計(jì)意圖從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，開門見山地談到了本節(jié)課需要的知識基礎(chǔ)“三角形的內(nèi)角和”，同時(shí)也給學(xué)生留下了思維的空間．既重視全體學(xué)生的學(xué)情，又重視個(gè)別學(xué)生的學(xué)情，有利于因材施教．

2 利用學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，探究新知識

孔子曾說過:“不憤不啟，不徘不發(fā)”．教師作為一個(gè)啟發(fā)者、引導(dǎo)者，應(yīng)為學(xué)生根據(jù)所學(xué)知識巧妙設(shè)計(jì)問題，使學(xué)生產(chǎn)生“心欲求而未得，口欲言而不能”的積極進(jìn)取狀態(tài)，讓學(xué)生達(dá)到“憤悱狀態(tài)”．激發(fā)學(xué)生的求知欲，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極主動(dòng)地探索、分析、解決問題．可采用多種方式引導(dǎo)探索，讓學(xué)生先通過嘗試、探索思考，然后講解引導(dǎo)獲得新知識;或先猜后證，即學(xué)生先通過大膽猜想發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后教師引導(dǎo)證明;亦或?qū)W生先動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，進(jìn)行觀察、分析從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后教師引導(dǎo)尋求結(jié)論．在此過程中，教師要適時(shí)點(diǎn)撥充分發(fā)揮主導(dǎo)作用．在拋出問題“任意一個(gè)四邊形的內(nèi)角和是否也是360°”后，可以進(jìn)行如下引導(dǎo):

師:(點(diǎn)撥)大家能利用三角形內(nèi)角和去研究四邊形的內(nèi)角和等于360°嗎?

生:……(給學(xué)生1分鐘左右的時(shí)間思考)．

師:(點(diǎn)撥)用三角形的知識去證明四邊形的知識，關(guān)鍵是什么?

生:只要將四邊形分成幾個(gè)三角形即可．

師:請同學(xué)自己動(dòng)手試試，分好后再簡易推理四邊形的內(nèi)角和是不是360°．

(分小組，放手由學(xué)生自己去實(shí)踐，教師掌握各組的進(jìn)程，并作指導(dǎo)．)

展示學(xué)生的幾種方案如下:

生1:連結(jié)一條對角線，如圖1所示．把四邊形分成2個(gè)三角形，四邊形 ABCD的內(nèi)角和等于△ABD的內(nèi)角和與△BCD的內(nèi)角和之和，即180°+180°=360°．

圖1

圖2

生2:連結(jié)2條對角線，如圖2所示．把四邊形分成4個(gè)三角形，則四邊形ABCD的內(nèi)角和等于△ABO，△BCO，△DCO，△ADO的內(nèi)角和之和減去360°，即180°+180°+180°+180°－360°=360°．

(教師提出:若點(diǎn)O不是對角線的交點(diǎn)，則可以嗎?點(diǎn)O在邊上或在四邊形的外部，又如何推理呢?如圖3，推理過程此處略．)

圖3

圖4

生3:不考慮交點(diǎn)的位置也可以證明．如圖4所示，四邊形ABCD的內(nèi)角和=△AEG的內(nèi)角和+△EBF的內(nèi)角和+△EFG的內(nèi)角和+△FDG的內(nèi)角和+△FCD的內(nèi)角和－180°－180°－180°=180°+180°+180°+180°+180°－180°－180°－180°=360°．

設(shè)計(jì)意圖該設(shè)計(jì)注重培養(yǎng)學(xué)生的能力，同時(shí)也體現(xiàn)了教師的主導(dǎo)作用．以學(xué)生為本，把課堂還給了學(xué)生．只有這樣，學(xué)生的頭腦才真正動(dòng)起來，才能真正地參與到知識的發(fā)現(xiàn)過程中來，我們的教學(xué)才能真正做到注重過程而不是結(jié)論．

3 引導(dǎo)學(xué)生歸納活動(dòng)過程，拓展知識

通過對任意四邊形內(nèi)角和的探究，學(xué)生已經(jīng)找到了研究多邊形內(nèi)角和的最簡單辦法．教師應(yīng)該趁熱打鐵，幫助學(xué)生總結(jié)方法并加以拓展，可以作如下設(shè)計(jì):

師:大家分得很好，這說明用三角形的知識去研究四邊形的方向是正確的，也足以說明任何四邊形的內(nèi)角和都是360°．大家回顧一下剛才的作圖，哪種分法及推理更簡潔呢?

生:生1的分法更簡潔．

師:生1的作法就是從一個(gè)頂點(diǎn)引對角線，從而分成了2個(gè)三角形．那么大家考慮:從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引幾條對角線?它們將五邊形分為幾個(gè)三角形?五邊形的內(nèi)角和等于180°乘以幾?

同時(shí)，在屏幕上打出從五邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引＿＿條對角線，它們將五邊形分為＿＿個(gè)三角形，五邊形的內(nèi)角和等于180°×＿＿ ．．

生:2條對角線，3個(gè)三角形，乘以3．

師:請大家完成屏幕上的表格，如表1所示．

表1 對角線數(shù)、三角形數(shù)與內(nèi)角和

師:從表格上你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?

生:從一個(gè)頂點(diǎn)畫的對角線的條數(shù)比邊數(shù)少3，分成三角形的個(gè)數(shù)比邊數(shù)少2．

師:為什么會(huì)這樣呢，是不是任意多邊形都有這個(gè)規(guī)律，能推理嗎?

生:在畫對角線時(shí)，不能往點(diǎn)的自身及和它相鄰的2個(gè)點(diǎn)引，故此比邊數(shù)少3;而除與這個(gè)頂點(diǎn)相鄰的2個(gè)邊外的邊都對應(yīng)一個(gè)由對角線分這個(gè)頂點(diǎn)而成的角，剛好有邊數(shù)少2個(gè)三角形．

師:你觀察得很仔細(xì)，那么大家可以說出100邊形的相應(yīng)數(shù)值嗎?

生:97條，98個(gè)三角形，內(nèi)角和為98乘以180°．

師:那n邊形呢?

生:(n－3)條，(n－2)個(gè)三角形，內(nèi)角和為(n－2) ×180°．

師:大家通過學(xué)習(xí)得到了多邊形的內(nèi)角和為(n－2)×180°，其中n表示的是什么?

生:邊數(shù)．

師:對，n表示多邊形的邊的條數(shù)．在研究一個(gè)復(fù)雜問題時(shí)，通常可以轉(zhuǎn)化為從簡單問題入手來研究，去尋求規(guī)律，從而使復(fù)雜問題得以解決．

設(shè)計(jì)意圖通過由一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引多邊形的對角線是分割多邊形為三角形，探求多邊形內(nèi)角和的最簡單方法入手，是研究問題的一般規(guī)律，也是探求復(fù)雜問題結(jié)論的一種方法，潛移默化地培養(yǎng)了學(xué)生解決問題的能力．

從三角形的內(nèi)角和到多邊形的內(nèi)角和，在教學(xué)中通過分圖活動(dòng)以及師生的共同探究，讓學(xué)生感受一種研究問題的一般方法，從特殊到一般的經(jīng)歷，體會(huì)數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想．因此，在教學(xué)時(shí)，教師一定要掌握知識發(fā)生的淵源，盡可能地給學(xué)生創(chuàng)造數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，培養(yǎng)他們探究的習(xí)慣．其實(shí)，只要我們在教學(xué)活動(dòng)上多花點(diǎn)功夫，經(jīng)常反思活動(dòng)成效，讓學(xué)生在課堂上體驗(yàn)做數(shù)學(xué)的樂趣，品嘗做數(shù)學(xué)的快樂，課堂教學(xué)就一定能高效率地開展起來，也能得到更好的教學(xué)效果，從而實(shí)現(xiàn)輕負(fù)高質(zhì)的愿望．