張計(jì)光， 胡超榮， 唐有綺， 孟瀝原

(1.上海大學(xué)上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海200072;2.日照職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山東日照276826; 3.同濟(jì)大學(xué)物理系，上海200092)

軸向運(yùn)動(dòng)連續(xù)體模型廣泛存在于軍事、航空航天以及機(jī)械電子工程等的研究、制造及生產(chǎn)領(lǐng)域，比如空中纜車索道、紙帶、升降機(jī)纜繩、帶鋸等.軸向運(yùn)動(dòng)梁橫向振動(dòng)及其控制的研究有著重要的應(yīng)用價(jià)值和實(shí)際價(jià)值.

Euler梁模型是一種簡(jiǎn)化的、有效的經(jīng)典模型.許多研究人員分別對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)Euler梁的振動(dòng)問題進(jìn)行了一系列的研究［1-5］，但是對(duì)于細(xì)長(zhǎng)的、比較大的梁，Euler梁模型的計(jì)算結(jié)果遠(yuǎn)沒有Timoshenko模型精確.楊曉東等［6］利用復(fù)模態(tài)分析方法和Galerkin方法求解軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁的固有頻率，分析復(fù)模態(tài)分析方法、二階Galerkin截?cái)嗪退碾AGalerkin截?cái)喾椒▽?duì)固有頻率結(jié)果精確度的影響.Ghayesh等［10］通過半解析半數(shù)值方法研究了固定邊界的軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁模型的橫向振動(dòng)固有頻率.李彪等［8］通過半解析半數(shù)值方法求解了兩端非對(duì)稱混雜邊界的軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁的固有頻率.Tang等［9］通過復(fù)模態(tài)分析方法系統(tǒng)地研究了各種邊界的軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁的固有頻率.丁虎等［10］通過有限差分方法研究了簡(jiǎn)支條件下的軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性梁的振動(dòng)問題.本研究利用Galerkin截?cái)喾椒ê臀⒎智蠓e法研究?jī)啥斯讨н吔绲妮S向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁的固有頻率，并將數(shù)值結(jié)果和復(fù)模態(tài)分析方法［9］的結(jié)果進(jìn)行比較.

1 控制方程

軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁橫向振動(dòng)無量綱形式的控制方程［9］為

式中，y為運(yùn)動(dòng)梁的橫向位移，x為梁軸向坐標(biāo)，t為時(shí)間，v為橫向速度，k1和k2表征剪切模量的大小，k3表征轉(zhuǎn)角的大小，k4表征抗彎剛度的大小.

兩端固支軸向運(yùn)動(dòng) Timoshenko梁的邊界條件為

2 數(shù)值方法

下面采用Galerkin截?cái)喾椒ê臀⒎智蠓e法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行求解.

2.1 Galerkin方法

利用 Galerkin方法離散，取兩端固支的靜止Euler梁的模態(tài)函數(shù)

式中，ψi滿足cos ψicosh ψi-1=0.

對(duì)式(1)運(yùn)用Galerkin離散化方法，設(shè)橫向位移的解為 y(x，t)=ΦTq，其中 q=［q1(t)q2(t)…qN(t)］T，Φ=［Φ1(t)Φ2(t)…ΦN(t)］T.將其代入式(1)，然后，等式兩端乘以Φ，并在區(qū)間［0，1］上對(duì)x積分，得

式中，

把式(4)寫成如下矩陣形式：

其中0和I分別表示N×N的零矩陣和單位矩陣，A為陀螺矩陣，它的全部特征值為成對(duì)的虛數(shù)，而且存在矩陣T使得如下變換成立：

2.2 微分求積法

假設(shè)方程(1)的解的形式為

式中，ψ(x)為模態(tài)函數(shù)，λ為復(fù)特征值.

將式(9)代入式(1)和(2)，分別得到

利用δ-technique處理固支邊界條件(2)，即采用如下網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)：

根據(jù)微分求積規(guī)則：

其中的權(quán)系數(shù)可以由下式確定，即

并且當(dāng)r=2，3，…，N-1時(shí)，有

高階導(dǎo)數(shù)的權(quán)系數(shù)矩陣可以根據(jù)表達(dá)式 A(r)= A(1)A(r-1)［11］來依次確定.

將式(14)代入式(10)和(11)，可得

將式(17)和(18)轉(zhuǎn)化為矩陣形式，即

式中，H，F(xiàn)，M，G，K均為N階矩陣，而ψ為N階列向量.

方程(19)即為廣義特征值求解問題.在本研究的計(jì)算中選取11個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，即N=11.

3 計(jì)算結(jié)果及分析

應(yīng)用Galerkin方法，由式(11)可以得到軸向運(yùn)動(dòng)梁的第n階固有頻率，由式(19)可以用微分求積法得到軸向運(yùn)動(dòng)梁的第n階固有頻率.復(fù)模態(tài)分析法(differential quadrature method，DQM)的解在不考慮計(jì)算誤差時(shí)可以看作精確解;而Galerkin方法因?yàn)槭褂媒財(cái)啾厝粚?dǎo)致誤差的存在.圖1(Galerkin方法)和圖2(DQM)分別給出了在兩端固支的邊界條件下Timoshenko模型運(yùn)動(dòng)梁在不同剛度時(shí)前兩階固有頻率隨運(yùn)動(dòng)梁軸向運(yùn)動(dòng)速度的變化情況，其中Timoshenko梁物理參數(shù)分別為P=107N，A=9.0× 10-3m2，E=1.69×1011Pa，k=5/6，l=0.3 m，G= 6.6×1010Pa;相應(yīng)無量化參數(shù)k1=9.0×10-3，k2= 5.90×10-5，k3=4.2×10-3，k4=0.64.

圖1 隨軸向速度、剛度系數(shù)變化的固有頻率(Galerkin方法)Fig.1 Natural frequencies changing with axial speed and constraint stiffness(Galerkin method)

圖2 隨軸向速度、剛度系數(shù)變化的固有頻率(DQM)Fig.2 Natural frequencies changing with axial speed and constraint stiffness(DQM)

可以看出，利用Galerkin方法和DQM得到的系統(tǒng)的前兩階固有頻率，在軸向速度相同時(shí)，隨著剛度系數(shù)的增大而增大;在剛度系數(shù)相同時(shí)，隨著軸向速度的增大而減小.

圖3給出應(yīng)用Galerkin方法、DQM和復(fù)模態(tài)分析法［9］所得的固有頻率的比較.可以看出，用DQM和復(fù)模態(tài)分析方法得到的結(jié)果吻合得很好;用Galerkin四階截?cái)喾ǖ玫降慕Y(jié)果與用DQM和復(fù)模態(tài)分析這兩種方法得到的結(jié)果存在一定的差別.在剛度系數(shù)較小的時(shí)候，3種結(jié)果比較接近;但隨著剛度系數(shù)和速度的增大，Galerkin方法的結(jié)果和另外2種方法的結(jié)果的差別也增大，這種差別應(yīng)該是由截?cái)嗟脑嚭瘮?shù)引起的.在兩端簡(jiǎn)支邊界條件下，通過利用Galerkin方法和復(fù)模態(tài)分析法計(jì)算出的Timoshenko軸向運(yùn)動(dòng)梁的固有頻率［6］發(fā)現(xiàn)，對(duì)第1階固有頻率，用Galerkin方法和復(fù)模態(tài)分析法計(jì)算出的結(jié)果幾乎重合;對(duì)第2階固有頻率，二者雖有差別，但四階Galerkin截?cái)啾榷AGalerkin截?cái)嗟玫降墓逃蓄l率誤差要小.

圖3 Galerkin方法，DQM，復(fù)模態(tài)分析法所得固有頻率的比較Fig.3 Comparison for the naturalfrequencies of Galerkin method，DQM，complex mode methods

4 結(jié)束語

本工作研究了兩端固支邊界條件下Timoshenko軸向運(yùn)動(dòng)梁的橫向振動(dòng)問題，分別利用Galerkin方法和DQM計(jì)算了系統(tǒng)的前兩階固有頻率隨著剛度系數(shù)和軸向速度的變化情況，并將這2種方法得到的結(jié)果與復(fù)模態(tài)分析法得到的結(jié)果［9］進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)用DQM和復(fù)模態(tài)分析方法得到的結(jié)果吻合得很好.而用四階Galerkin截?cái)喾ǖ玫降慕Y(jié)果與用DQM以及復(fù)模態(tài)分析法得到的結(jié)果有著相同的變化趨勢(shì)，但是存在一定的差別.

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