鎖要紅， 張仲華

(1.西安科技大學(xué)理學(xué)院，西安710054;2.西安交通大學(xué)航天航空學(xué)院，西安710049; 3.陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安710062)

近幾十年來，傳染病動力學(xué)的研究進(jìn)展迅速，并且大量的數(shù)學(xué)模型被用于分析各種各樣的傳染病問題［1-2］.一般的傳染病模型總是假設(shè)所有的染病者在整個患病期內(nèi)具有相同的傳染率，顯然這個假設(shè)在研究流感或性傳播疾病(如淋病)等傳染病時(shí)是合理的.但對于染病期較長的傳染病，變化的傳染率才能更準(zhǔn)確地刻畫傳染病的傳播規(guī)律及預(yù)測傳染病在人群中的傳播趨勢.

近年來，染病年齡結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模型正越來越多地被關(guān)注.Thieme等［3］假設(shè)傳染率及潛伏期依賴于染病年齡和飽和接觸率，建立了一類HIV病毒在同性人群中傳播的SIA模型.Kim等［4］建立了一類具有隔離和變化傳染率的SIR模型，討論了非負(fù)解的存在性及唯一性.Kim［5］討論了平衡點(diǎn)的存在性及漸近穩(wěn)定性.Kribs-Zaleta等［6］建立了一類具有急性和慢性傳染階段、變化傳染率及變化恢復(fù)率的染病年齡結(jié)構(gòu)模型，研究了平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，并得到了后向分歧的存在條件.Inaba等［7］建立了一類查更斯疾病傳播規(guī)律的染病年齡結(jié)構(gòu)模型，證明了平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.李佳等［8］建立了一類在宿主中病原體能夠變異產(chǎn)生一個二次感染病毒株的染病年齡結(jié)構(gòu)模型，討論了平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，并得到了Hopf分歧的存在條件.徐文雄等［9］考慮宣傳教育對疾病控制的意義，建立了一類具有雙線性傳染率的染病年齡結(jié)構(gòu)模型.張仲華等［10］研究了具有一般非線性接觸率SIRS傳染病模型全局非負(fù)解的存在唯一性以及平衡點(diǎn)的漸近穩(wěn)定性.從生物意義上講，感染者在染病期內(nèi)的傳染力依賴于其染病年齡，這將更符合一些染病期較長的傳染病的情況.從數(shù)學(xué)意義上看，這類模型不同于以往的單純的常微分方程模型，而是由常微分方程和偏微分方程組成的模型，這類模型的研究方法也有別于常微分方程模型.

由醫(yī)學(xué)衛(wèi)生知識可知，一些疾病如艾滋病等具有較長的潛伏期(指從病原體侵入人體起到出現(xiàn)臨床癥狀的時(shí)間段)，且在潛伏期內(nèi)，疾病的傳播起重要作用.又由于社會經(jīng)濟(jì)的高度發(fā)展及國際間的往來日趨頻繁，很難用一個具有很好性質(zhì)的函數(shù)去刻畫人與人之間相互接觸的復(fù)雜關(guān)系.基于此，本研究在文獻(xiàn)［10-11］的基礎(chǔ)上，考慮具有一般非線性接觸率及潛伏年齡結(jié)構(gòu)的SEIS傳染病模型的平衡點(diǎn)的存在性及漸近穩(wěn)定性，得到一個地方病平衡點(diǎn)指數(shù)穩(wěn)定的一般性條件.

1 模型的建立

張仲華等［11］將研究對象分成易感者、潛伏者及染病者類，考慮常數(shù)輸入和因病死亡等因素，并假設(shè)疾病僅在感染期內(nèi)傳染，建立了具有 Michaelis-Menten接觸率的SEIS模型，即

式中，N(t)=S(t)+E(t)+I(t)為t時(shí)刻的種群規(guī)模.綜上，模型(1)可轉(zhuǎn)化為如下具有潛伏年齡結(jié)構(gòu)的SEIS傳染病模型：

2 平衡點(diǎn)的存在性及無病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

為方便起見，記

式中，B(t)的生物意義為t時(shí)刻各個年齡階段的潛伏者新感染的人數(shù).設(shè)(S，e(·)，I)為系統(tǒng)(2)的穩(wěn)態(tài)解，則穩(wěn)態(tài)解存在的充分必要條件是其滿足下述方程組：

由式(4)可知，S，E，I為B的連續(xù)函數(shù).定義

3 地方病平衡點(diǎn)的指數(shù)穩(wěn)定性

將式(6)中的第二個方程沿特征線t=τ積分，得

將式(7)代入(6)，且將所得方程從0到t積分，得

式中，

式中，不難證明，存在正常數(shù)D，使得

‖K(t)‖，‖K'(t)‖，‖K″(t)‖≤De-μt. (10)

為討論地方病平衡點(diǎn)的漸近穩(wěn)定性，與文獻(xiàn)［5，10］類似，作如下假設(shè)：

定理2 在假設(shè)P1下，如果det(A+(s))的所有根都具有負(fù)實(shí)部，則存在正常數(shù)a，b，δ，使得當(dāng)初值S0，η(τ)，I0滿足|S0|+|I0|+‖η(τ)‖1＜δ時(shí)，系統(tǒng)(2)的解具有下述性質(zhì)：

顯然有

其中

類似于前面的討論，可得

式中，D9=D1D7，D10=|A-1|D7.顯然有

由式(7)，(12)和(18)，可得

4 結(jié)束語

本研究基于文獻(xiàn)［11-12］，建立了一類具有一般非線性接觸率及潛伏年齡結(jié)構(gòu)的SEIS傳染病模型，討論了地方病平衡點(diǎn)的存在性、無病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性及地方病平衡點(diǎn)的指數(shù)穩(wěn)定性，得到了地方病平衡點(diǎn)指數(shù)穩(wěn)定的一般性條件.

［1］ 陸征一，周義倉.數(shù)學(xué)生物學(xué)進(jìn)展［M］.北京：科學(xué)出版社，2006：30-93.

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