梅建東，李紅春，徐麗仙

(1.揚(yáng)州職業(yè)大學(xué)，江蘇揚(yáng)州225002;2.江海職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇揚(yáng)州225101)

近年來(lái)，帶死區(qū)的不確定非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)控制已成為控制理論研究的熱點(diǎn)之一，并取得了一些研究結(jié)果[1－8]。其主要思想是利用模糊系統(tǒng)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等逼近系統(tǒng)的不確定性，基于李亞普諾夫方法確定模糊系統(tǒng)或神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中可調(diào)參數(shù)的自適應(yīng)律，結(jié)合魯棒控制、滑模控制及后推設(shè)計(jì)方法來(lái)保證控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。本文針對(duì)一類帶有死區(qū)模型且具有攝動(dòng)的嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)，基于后推設(shè)計(jì)方法，運(yùn)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近能力，提出了一種魯棒自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器設(shè)計(jì)方案。該方案保證跟蹤誤差收斂到零的一個(gè)小區(qū)域內(nèi)，而且跟蹤精度可以通過(guò)設(shè)計(jì)參數(shù)來(lái)調(diào)節(jié)。對(duì)于系統(tǒng)中的死區(qū)模型，通過(guò)劃分區(qū)間的方法，取消了死區(qū)模型的傾斜度相等的條件，并通過(guò)自適應(yīng)控制項(xiàng)的作用取消了死區(qū)模型參數(shù)的上下界必須已知的條件，使死區(qū)模型能夠化為簡(jiǎn)化形式。通過(guò)引入Nussbaum函數(shù)的性質(zhì)，使該方案中系統(tǒng)的虛擬控制增益可以完全未知。利用李亞普諾夫方法，證明閉環(huán)系統(tǒng)是半全局一致終結(jié)有界。

1 問(wèn)題的描述及基本假設(shè)

考慮下面一類嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng):

控制目標(biāo)要求系統(tǒng)輸出y盡可能去跟蹤一個(gè)指定的期望軌跡yd。因此，問(wèn)題是設(shè)計(jì)直接自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)半全局終結(jié)有界，跟蹤誤差收斂到一個(gè)小的殘差集內(nèi)。定義跟蹤誤差z1=y－yd=x1－yd。

假設(shè)1:存在正常數(shù)gi0，gi1使得0＜gi0≤|gi()|≤gi1，?∈Ri，i=1，2，…，n且gi()，?t≥0可微。

假設(shè)2:期望的軌跡向量xid是連續(xù)的，且xid∈Ωid?Ri，i=1，2，…，n，其中xid=(yd，，…，)T，xid是已知的有界閉集。

2 死區(qū)模型描述及Nussbaum函數(shù)的性質(zhì)

輸入為v(t)，輸出為w(t)的死區(qū)模型描述為:

假使死區(qū)模型具有如下基本性質(zhì):

(1)死區(qū)輸出w(t)是不可測(cè)量的;

(2)死區(qū)參數(shù)br，bl，mr，ml是未知的有界常數(shù)，但它們的符號(hào)是已知的，br＞0，bl＜0，mr＞0，ml＞0。

定義N=(xr，xl)，m=(mr，ml)T，其中

根據(jù)上述死區(qū)的基本性質(zhì)，重新定義死區(qū)模型為:

且|d(v(t))|≤ρ*，ρ*是未知的正常數(shù)。

下面描述Nussbaum函數(shù)的性質(zhì):

引理1[7]:已知V(·)，ζ(·)都是[0，tf)上的光滑函數(shù)，且V(t)≥0，?t∈[0，tf)，N(·)是Nussbaum函數(shù)，如果下列不等式成立:

其中常數(shù)c1＞0，g(t)是在未知閉區(qū)間I:=[l－1，l+1]，0?I取值的時(shí)變參量，c0是合適的常數(shù)，那么V(t)，ζ(t)t和一定在[0，tf)上有界。

3 自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器的設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析

定義有界緊集Ωz，設(shè)hn(z，W，V)是三層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在Ωz上對(duì)h(z)的一個(gè)逼近，即

其中z=(z，…，z)T=(zT，1)T，V=(v，…，

1n1vl)∈R(p+1)×l，W=(w1，…，wl)T∈Rl，V，W分別是MNN的第1層到第2層，第2層到第3層的連結(jié)權(quán);p=n，l＞1是NN的隱層結(jié)點(diǎn)數(shù)，常數(shù)γ＞0;同時(shí)，變換函數(shù)s(zα)=1/(1+e－γzα)。令

其中W*，V*是MNN的理想連結(jié)權(quán)，ε(z)是NN的逼近誤差。由于h(z)，h(z，W*，V*)是在有界區(qū)域Ωz上的連續(xù)函數(shù)，所以?ε＞0，使得

‖·‖F(xiàn)，‖·‖，‖·‖1分別表示Frobenius范數(shù)，2范數(shù)，1范數(shù)。

由(11)到(13)得

引入下列誤差坐標(biāo)變換:

其中α0=yd，α1，…，αn－1為待確定函數(shù)。

采用后推方法設(shè)計(jì)自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器。

定義積分型李亞普諾夫函數(shù)

根據(jù)假設(shè)1及積分第一中值定理可知，?λ1∈(0，1)，使得Vz1=/2|g1(λ1z1+yd)|。因?yàn)?＜g10≤|g1()|≤g11，?∈R，所以，故Vz1是關(guān)于變量z1的非負(fù)函數(shù)。利用對(duì)稱性可知。于是將Vz1對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則及分部積分法，得

設(shè)h1(，W1，V1)是三層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在Ωˉz1={(x1，yd，)T|x1d∈Ω1d}上對(duì)h1()的一個(gè)逼近，，是MNN的理想連結(jié)權(quán)，(t)，(t)分別為，在t時(shí)刻的估計(jì)，(t)=(t)－，(t)=(t)－，則h1()=h1(，，)+ε1()，

根據(jù)假設(shè)3，得

取虛擬控制:

取自適應(yīng)律:

其中Γw1，Γv1是正定常矩陣，σ11，σ12＞0均為設(shè)計(jì)常數(shù)。

考慮如下李亞普諾夫函數(shù):將V1關(guān)于時(shí)間t求導(dǎo)，利用控制律(19)、(20)和自適應(yīng)律(21)、(22)，整理得

將上式兩邊在區(qū)間[0，t]求積分:

第i步(2≤i≤n－1):

定義積分型李亞普諾夫函數(shù)

取虛擬控制:

取自適應(yīng)律:

考慮如下李亞普諾夫函數(shù):

將Vi關(guān)于時(shí)間t求導(dǎo)，利用(26)－(30)得

將上式兩邊在區(qū)間[0，t]求積分:

定義積分型李亞普諾夫函數(shù)

取控制律:

取自適應(yīng)律:

考慮如下李亞普諾夫函數(shù):

將Vn關(guān)于時(shí)間t求導(dǎo)，利用(34)－(37)得

將上式兩邊在區(qū)間[0，t]求積分得:

由引理1可以得出:

Vn(t)在[0，tf)上是有界的。同樣結(jié)論對(duì)tf=+∞也成立。令Cζ表示在[0，+∞2)上的一個(gè)上界Vn(0)+Cζ，則從而zn是有界的。同樣有‖‖2≤。進(jìn)一步得到第n－1步中的也是有界的，這樣向前依次類推，易知Vi(t)，ζi，在[0，+∞)上是有界的，i=1，2…，n－1。

提出如下穩(wěn)定性定理:

定理考慮嚴(yán)格反饋系統(tǒng)(1)，其控制律由式(34)，(35)確定，自適應(yīng)律由式(36)，(37)確定，并滿足假設(shè)1－3，則對(duì)任意有界初始條件，有:

(1)閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)都是半全局一致終結(jié)有界;

n，其中μi是可通過(guò)調(diào)節(jié)設(shè)計(jì)參數(shù)來(lái)改變大小。

4 結(jié)論

本文針對(duì)一類帶有死區(qū)模型且具有攝動(dòng)的嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)，利用后推設(shè)計(jì)方法及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近能力，提出了一種直接自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制策略。理論分析證明了跟蹤誤差可以收斂到一個(gè)小的殘差集內(nèi)，而且跟蹤精度可以通過(guò)設(shè)計(jì)參數(shù)來(lái)調(diào)節(jié)。

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