田社平,陳洪亮

(上海交通大學(xué)電子信息學(xué)院,上海 200240）

密勒定理及其應(yīng)用

田社平,陳洪亮

(上海交通大學(xué)電子信息學(xué)院,上海 200240）

密勒定理在電路分析和設(shè)計(jì)中具有較廣泛的應(yīng)用。本文結(jié)合當(dāng)前電路教學(xué)實(shí)踐,就密勒定理表述、證明及其應(yīng)用作進(jìn)一步的討論。通過舉例說明了密勒定理的應(yīng)用,給出了密勒定理的教學(xué)建議。作為電路規(guī)律的一種總結(jié),利用密勒定理分析電路時(shí)具有事半功倍的作用,可加深學(xué)生對(duì)電路本質(zhì)的理解。本文的討論可供從事電路教學(xué)的教師參考。

密勒定理;電路教學(xué);電路分析

0 引言

電路定理是電路規(guī)律的總結(jié)。利用電路定理可簡(jiǎn)化對(duì)電路的分析,起到事半功倍的作用。因此,電路定理是電路教學(xué)中的重要教學(xué)內(nèi)容。在所有的電路教材中,都有常用電路定理的介紹,如疊加定理、戴維寧定理等,但也有一些電路定理在電路后續(xù)課程如“模擬電子技術(shù)”課程中常常用到,而在“電路理論”或“電路分析”課程中并未加以介紹。密勒定理就是其中之一。筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn),在電子電路類課程中往往直接利用密勒定理對(duì)電路進(jìn)行分析或設(shè)計(jì)[1],而沒有對(duì)其進(jìn)行表述或證明,而且應(yīng)用密勒定理分析電路也有欠嚴(yán)密之處。這樣就出現(xiàn)了“電路理論”或“電路分析”課程中密勒定理不是教學(xué)內(nèi)容,而在電路后續(xù)課程中又必須用到密勒定理的情況。

本文根據(jù)筆者的教學(xué)實(shí)踐,就密勒定理及其應(yīng)用作進(jìn)一步的討論,以供大家參考。

1 密勒定理的表述及其證明

密勒定理由M.Miller于1920年在研究真空電子三極管輸入阻抗時(shí)提出的,也稱為密勒效應(yīng),在電路教材具有多種表述形式[1-4]。其較為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋硎鲂问綖槿鐖D1(a)所示任一具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路。設(shè)節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)2的電壓分別為u n1和u n2,如已知un2/un1=A,則圖1(b)電路與圖1(a)電路等效,其中R1=R/(1-A),R2=R/(1-1/A)。

圖1 密勒定理

文獻(xiàn)[5]給出了密勒定理的一種證明,本文將給出另外一種證明。將如圖1(a)所示電路等效為圖2所示電路,且使其中節(jié)點(diǎn)電壓u n(n+1)=0,則有

圖2 密勒定理的證明

而圖2所示電路與圖1(b)所示電路等效,由此定理得證。

從密勒定理的表述中可以看出,對(duì)于具有支路連接的兩個(gè)節(jié)點(diǎn),如知道該兩節(jié)點(diǎn)的電壓,則利用密勒定理可消除兩節(jié)點(diǎn)的支路連接關(guān)系,從而使得電路的分析過程得到簡(jiǎn)化。如果將圖1(a)中的節(jié)點(diǎn)1看作輸入節(jié)點(diǎn),節(jié)點(diǎn)2看作輸出節(jié)點(diǎn),則利用密勒定理可簡(jiǎn)化輸入、輸出電阻的計(jì)算。

和其他電路定理類似,密勒定理在相量域或拉普拉斯變換域中都有相應(yīng)的表現(xiàn)形式。

2 密勒定理的應(yīng)用

密勒定理在電路分析中具有廣泛的應(yīng)用,下面通過例子加以說明。

[例1]如圖3(a)所示電路,試求電壓u。

圖3 例1電路與等效電路

解本例可采用T-Π等效變換法或節(jié)點(diǎn)法或回路法求解,這里采用密勒定理求解。取電壓源的負(fù)極為參考節(jié)點(diǎn),由密勒定理,u n1=1V,u n2=u,A=u,從而可得到圖3(b)所示等效電路,由KCL可得

將式(5)、式(6)代入式(7),可解得u=8V/17,與采用其他方法得到的結(jié)果相同。

由例1可見,即使節(jié)點(diǎn)電壓未知,也可采用密勒定理對(duì)電路進(jìn)行分析。

[例2]試求圖4(a)所示電路的電壓比 H=u o/u S,設(shè)運(yùn)算放大器的開環(huán)增益為 A,輸入電阻為無窮大,輸出電阻為零[6]。

圖4 例2電路與等效電路

解首先畫出圖4(a)所示電路的等效電路如圖4(b)所示,再由密勒定理可得圖4(c)所示等效電路。由圖4(c)可得

用其他方法分析例2電路都不如采用密勒定理來得簡(jiǎn)潔。

[例3]圖5(a)所示為一電容倍增電路。試求輸入端口的等效電路。

圖5 例3電路與等效電路

解由圖5(a)電路可知,電容兩端的電壓相量之比為A=﹒U2/﹒U1=1×(-Rf/R)=-Rf/R。再由密勒定理可知,電容支路等效于在輸入端跨接一個(gè)(1+R f/R)C的電容,在輸出端跨接(1+R f/R)C的電容。利用理想運(yùn)算放大器的“虛斷”特性,可得出輸入端的等效電路如圖5(b)所示。

3 結(jié)語

密勒定理在電路分析和設(shè)計(jì)中具有較廣泛的應(yīng)用,鑒于該定理在當(dāng)前電路教學(xué)中的實(shí)際和筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐認(rèn)為,可在電路教學(xué)中適當(dāng)介紹密勒定理及其應(yīng)用。其理由在于:①密勒定理的內(nèi)容十分簡(jiǎn)潔,在理解上十分方便,作為電路教學(xué)內(nèi)容不會(huì)占用過多學(xué)時(shí);②存在相當(dāng)多的電路問題可借助密勒定理來加以分析,其應(yīng)用范圍較為廣泛;③作為電路規(guī)律的一種總結(jié),利用密勒定理分析電路時(shí)具有事半功倍的作用,可加深學(xué)生對(duì)電路本質(zhì)的理解,同時(shí)也可提高學(xué)生學(xué)習(xí)電路課程的興趣。

本文通過舉例說明了密勒定理在電路分析中的應(yīng)用。其實(shí),密勒定理在電路分析中還有更廣泛的應(yīng)用,如在理想微分電路、電容補(bǔ)償、電阻補(bǔ)償和濾波器電路等方面,由于篇幅所限,不再贅述。筆者相信,隨著對(duì)密勒定理的進(jìn)一步深入研究,肯定會(huì)挖掘出密勒定理在電路中的更有意義的價(jià)值。

[1] John M.M iller.Dependenceof the input impedan ce of a threeelectrode vacuum tube upon the load in the platecircuit.Scientific Papers of the Bu reau of Standards.1920,15(351):367-385

[2] 童詩白,華成英.模擬電子技術(shù)基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社.2001

[3] 李瀚蓀.簡(jiǎn)明電路分析基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社.2002

[4] 李剛,林凌.電路學(xué)習(xí)與分析實(shí)例解析[M].北京:電子工業(yè)出版社.2008

[5] 李瀚蓀,吳錫龍.簡(jiǎn)明電路分析基礎(chǔ)教學(xué)指導(dǎo)書[M].北京:高等教育出版社.2003

[6] 陳洪亮,張峰,田社平.電路基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社.2007

Miller Theorem and Its Application

TIAN She-ping,CHEN Hong-liang

(Schoolo f E lectrica l and E lectronic Eng.,Shanghai Jiao Tong Univ.,Shangha i 200240,China)

Miller theorem has extensive app lication on circuit analysis and design.In consideration of present circuit teaching,the descrip tion and proo f of M iller theorem are discussed and app lication examp les about M iller theorem are introduced.Teaching suggestions are also given.M iller theorem has summ arized the circuits'law and can be app lied to analyzed circuits effectively.It is helpful for deepening students'understanding of circuits,enhancing ability of research and interests of learning.The discussion is helpfu l for the teaching of circuit.

miller theorem;circuit teaching;circuit analysis

TM 13

A

1008-0686(2011)02-0029-03

2010-09-04;

2010-11-30

田社平(1967-),男,博士,副教授,主要從事電路理論和動(dòng)態(tài)檢測(cè)技術(shù)的教學(xué)和科研工作,E-mail:sptian@sjtu.edu.cn