楊秋偉，孫斌祥

(紹興文理學(xué)院 土木工程系，紹興 312000)

結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別的改進(jìn)柔度靈敏度方法研究

楊秋偉，孫斌祥

(紹興文理學(xué)院 土木工程系，紹興 312000)

提出一種改進(jìn)的柔度靈敏度方法用于工程結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別。通過(guò)在迭代算法中引入一個(gè)“加速”公式來(lái)迅速獲得足夠精確的識(shí)別結(jié)果，避免了多次迭代，可以大大減少計(jì)算花費(fèi)。用兩個(gè)數(shù)值算例對(duì)所提方法進(jìn)行了驗(yàn)證，并把結(jié)果和原柔度靈敏度方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。結(jié)果表明:采用改進(jìn)的算法一般只需經(jīng)過(guò)一次計(jì)算即可獲得很高精度的識(shí)別結(jié)果，而采用原方法必須經(jīng)過(guò)多次迭代才能獲得相同精度的識(shí)別結(jié)果。改進(jìn)的方法比原方法大大減少了迭代次數(shù)，顯著減少了計(jì)算花費(fèi)，顯示了改進(jìn)方法的突出優(yōu)越性。

損傷識(shí)別;柔度靈敏度;“加速”公式

近年來(lái)，利用振動(dòng)數(shù)據(jù)的改變來(lái)檢測(cè)結(jié)構(gòu)損傷的方法已引起土木、機(jī)械、航空和海洋等眾多工程界的重視［1］。在已提出來(lái)的各類(lèi)方法中，柔度方法有著較好的應(yīng)用前景，因?yàn)槿岫瓤捎傻碗A的頻率和振型便可以很精確的獲得，且它比頻率和振型對(duì)損傷更為敏感。Pandey 和 Biswas［2，3］利用結(jié)構(gòu)柔度矩陣的改變來(lái)檢測(cè)梁結(jié)構(gòu)的損傷情況。Zhao和DeWolf［4］的研究表明結(jié)構(gòu)柔度對(duì)損傷很敏感。Bernal［5］從柔度矩陣的改變量中分解出一系列的損傷定位向量來(lái)判斷結(jié)構(gòu)的損傷位置。Jaishi和Ren［6］根據(jù)模態(tài)柔度殘余量來(lái)進(jìn)行模型修正以識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷情況。Perara等［7，8］把柔度作為多目標(biāo)函數(shù)之一，采用遺傳算法來(lái)計(jì)算損傷參數(shù)。Yang［9］利用Neumann級(jí)數(shù)展開(kāi)推導(dǎo)了結(jié)構(gòu)柔度靈敏度的計(jì)算公式并提出了一種混合靈敏度方法，結(jié)合頻率靈敏度和柔度靈敏度一起進(jìn)行損傷識(shí)別。Yang和Liu［10］又研究了柔度改變量的特征值分解，據(jù)此提出一種判斷損傷單元數(shù)目，確定損傷位置和求解損傷程度的新方法。

現(xiàn)有的關(guān)于柔度靈敏度方法的研究中均只考慮了柔度的一階靈敏度，這對(duì)于小損傷的情況是適用的。對(duì)于結(jié)構(gòu)發(fā)生大損傷的情況，則必須考慮二階以上的靈敏度才能獲得足夠精確的計(jì)算結(jié)果，但這將顯著增加計(jì)算花費(fèi)。尤其是對(duì)于大規(guī)模的工程結(jié)構(gòu)而言，過(guò)大的計(jì)算量是難以承受的。因此，一些學(xué)者使用迭代算法［11］來(lái)識(shí)別大損傷情況以減少計(jì)算量。然而，迭代算法的計(jì)算量仍然是比較大的，且隨著損傷程度的增大，需要的迭代次數(shù)迅速增多，計(jì)算量將以幾何級(jí)數(shù)增長(zhǎng)。所以，尋求好的方法來(lái)進(jìn)一步減少計(jì)算花費(fèi)是很有意義的。本文基于這一點(diǎn)展開(kāi)研究，提出一種改進(jìn)的柔度靈敏度方法。通過(guò)在迭代算法的過(guò)程中引入一個(gè)加速公式來(lái)迅速獲得足夠精確的計(jì)算結(jié)果，避免了多次迭代。用兩個(gè)數(shù)值算例對(duì)所提方法進(jìn)行了驗(yàn)證。算例結(jié)果表明，無(wú)論損傷程度大小如何，采用本文方法，一般只需一次計(jì)算即可獲得足夠精確的識(shí)別結(jié)果，大大減少了計(jì)算量，顯示了本文方法突出的優(yōu)越性。

1 柔度靈敏度方法

本節(jié)對(duì)文獻(xiàn)［9］中的柔度靈敏度方法作簡(jiǎn)單回顧，不失一般性，考慮一個(gè)n自由度的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，假設(shè)只有第i個(gè)單元體損傷，則損傷后結(jié)構(gòu)的剛度矩陣Kd為:

其中K是完好結(jié)構(gòu)的剛度矩陣，αi和Ki是第i個(gè)單元體的損傷參數(shù)和剛度矩陣，K和Ki均為n×n維方陣。則損傷前后柔度改變量ΔF為:

方程(1)代入(2)可得:

方程(3)可用Neumann級(jí)數(shù)展開(kāi)為:

忽略方程(4)中的高階項(xiàng)，那么結(jié)構(gòu)柔度的一階靈敏度為:

其中F(F=K－1)是完好結(jié)構(gòu)的柔度矩陣。由方程(5)可見(jiàn)，柔度靈敏度的計(jì)算是非常簡(jiǎn)單的因?yàn)樗恍枰旰媒Y(jié)構(gòu)的柔度矩陣F單元?jiǎng)偠染仃嘖i。根據(jù)線(xiàn)性疊加原理，若 N個(gè)單元體發(fā)生損傷，則 ΔF的一階近似為:

另一方面，ΔF可以由損傷前后結(jié)構(gòu)振動(dòng)的前幾階模態(tài)獲得:

其中m是測(cè)量的模態(tài)數(shù)目，F(xiàn)和Fd分別為損傷前后結(jié)構(gòu)的柔度矩陣，λj和φj是未損傷結(jié)構(gòu)的第j個(gè)特征值和振型，λdj和φdj為損傷結(jié)構(gòu)的第 j個(gè)特征值和振型。由方程(6)和(7)可計(jì)算出未知的損傷參數(shù)αi(i=1～N)，其方法是把矩陣方程(6)通過(guò)拉直運(yùn)算轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性方程組，做法如下:

方程(8)中的上標(biāo)橫線(xiàn)“—”表示矩陣?yán)?，即將矩陣的各行元素按順序排列形成一個(gè)列向量，即:

2 改進(jìn)的柔度靈敏度方法

對(duì)于大損傷情況(一般指損傷程度超過(guò)15%時(shí))，由方程(14)計(jì)算所得的各單元損傷參數(shù)值{α}將和真實(shí)值存在很大的誤差。造成誤差的原因在于方程(4)中只考慮了一階項(xiàng)，忽略了所有的高階項(xiàng)。為了提高計(jì)算精度，可以采用迭代的算法，步驟如下:

(1)由方程(14)得到損傷參數(shù)第一次計(jì)算值{α}，我們用{α}1來(lái)表示，上標(biāo)“1”表示第一次計(jì)算。一般而言，如果{α}1中各元素α1i均不超過(guò)15%時(shí)，意味著這是小損傷情況，此時(shí)可不再進(jìn)行后續(xù)的迭代步驟，{α}1可作為最終結(jié)果，由{α}1中各 α1i數(shù)值可以判定損傷單元位置和程度。但當(dāng){α}1中出現(xiàn)大于15%的參數(shù)時(shí)，意味著這是大損傷情況，應(yīng)當(dāng)進(jìn)行后續(xù)的迭代計(jì)算以提高求解精度;

(2)更新結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣K，并把更新后矩陣作為新的“未損傷”剛度矩陣。為區(qū)別起見(jiàn)，我們用K1表示原未損傷剛度矩陣，用K2表示第一次更新后所得剛度矩陣，更新公式如下:

(3)再次使用方程(14)計(jì)算得到一組參數(shù)，這組參數(shù)我們稱(chēng)為相對(duì)損傷參數(shù)(因其是相對(duì)于步驟(2)中所假設(shè)的“未損傷”情況而言的)，我們用{Δα}來(lái)表示，則經(jīng)過(guò)第二次迭代計(jì)算后所得的各單元損傷程度計(jì)算值為:

考察{Δα}，如果其中所有數(shù)值均小于某個(gè)規(guī)定的閥值(比如0.05)，則迭代終止，所得{α}2即為最終計(jì)算結(jié)果，否則應(yīng)轉(zhuǎn)入第(2)步進(jìn)行下一次迭代直至滿(mǎn)足要求為止。

綜上所述，迭代算法的計(jì)算量仍然是很大的，因?yàn)樵诓襟E(2)中需要對(duì)新的剛度矩陣K2求逆，在步驟(3)中需要對(duì)新的柔度靈敏度矩陣求廣義逆。因此，必須考慮新的方法來(lái)盡可能的減少迭代次數(shù)，降低計(jì)算量。本文提出如下的“加速”方法:

在每次由方程(14)計(jì)算得到損傷參數(shù)(或相對(duì)損傷參數(shù))之后，對(duì)所得結(jié)果再進(jìn)行一次“加速”運(yùn)算，“加速”公式如下:

關(guān)于“加速”運(yùn)算公式的數(shù)學(xué)依據(jù)推導(dǎo)如下:

根據(jù)單元?jiǎng)偠染仃嚨奶卣髦捣纸馀c組合，文獻(xiàn)［10］中已證明:損傷前后結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣K和Kd可以分解為(為了推導(dǎo)的方便，以單元?jiǎng)偠染仃嚨闹鹊扔?的結(jié)構(gòu)為例，其它各類(lèi)結(jié)構(gòu)均可相應(yīng)推導(dǎo)得出同樣結(jié)論)

其中C=［c1，c2，…，cN］，Ki=cicTi，C稱(chēng)為剛度聯(lián)系矩陣(n×N維，且為滿(mǎn)秩矩陣，n≤N)。Pd為對(duì)角矩陣，具體為:

結(jié)構(gòu)的柔度矩陣和剛度矩陣互為逆矩陣，若矩陣C為方陣時(shí)(即n=N時(shí)，如本文算例1屬于此類(lèi)情況)，由方程(18)和(19)可得結(jié)構(gòu)損傷前后柔度矩陣為:

方程(22)減去(21)可得損傷前后柔度改變量為:

方程(23)中的矩陣I表示單位矩陣。容易證明以下兩個(gè)等式成立:

將方程(24)和(25)代入(23)并展開(kāi)可得:

對(duì)于矩陣C不為方陣的情況(即n＜N時(shí)，如本文中的算例2屬于此類(lèi)情況)，我們可以將以上推導(dǎo)中(方程(21)－(25))所用到的求逆運(yùn)算(上標(biāo)“－1”)均用廣義逆運(yùn)算(上標(biāo)“+”)來(lái)近似代替，同樣可以推導(dǎo)出方程(17)中的“加速”運(yùn)算公式。

3 算例

采用兩個(gè)數(shù)值算例來(lái)驗(yàn)證本文所提方法。算例1為一個(gè)3自由度彈簧－質(zhì)量模型，算例2為一個(gè)二層的框架結(jié)構(gòu)。算例1用于驗(yàn)證本文方法在完整且無(wú)誤差模態(tài)數(shù)據(jù)下的識(shí)別結(jié)果，算例2用于驗(yàn)證本文方法在不完整且含誤差數(shù)據(jù)下的識(shí)別結(jié)果。在每個(gè)算例中均討論大損傷和小損傷兩種情況。

3.1 算例1

以圖1所示3自由度彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)為例驗(yàn)證本文方法在完整且無(wú)誤差模態(tài)數(shù)據(jù)下的識(shí)別結(jié)果。未損傷時(shí)的物理參數(shù)為ki(i=1～3)和mj=1(j=1～3)。討論3種損傷情況。情況1(單個(gè)小損傷情況):單元2剛度損傷15%;情況2:(單個(gè)大損傷情況):單元2剛度損傷80%;情況3:(多個(gè)大損傷情況):單元2和3剛度分別損傷60%和50%。3種情況下原柔度靈敏度方法和改進(jìn)柔度靈敏度方法的第一次計(jì)算結(jié)果列于表1中。

圖1 彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)(算例1)Fig.1 Spring-mass system for example 1

表1 兩種方法第一次計(jì)算結(jié)果對(duì)比(算例1)Tab.1 Results of the first calculations by the two methods

3.2 算例2

以圖2所示2層框架結(jié)構(gòu)為例驗(yàn)證所提方法。該結(jié)構(gòu)橫截面為矩形(0.14 m×0.24 m)，采用24個(gè)單元進(jìn)行有限元分析，每單元長(zhǎng)度為0.2 m，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有3個(gè)自由度(水平和豎直2個(gè)平動(dòng)自由度，1個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度)?；緟?shù)如下:橫截面面積A=0.033 6 m2;慣性矩 I=1.612 8 ×10－4m4;彈性模量 E=200 GPa;剪切彈性模量 G=1.346 1 ×1010N/m2;泊松比 v=0.3;密度 ρ=2 500kg/m3。由于實(shí)踐中的測(cè)量都是不完整的，故在本算例中我們只考慮前6階模態(tài)，且結(jié)構(gòu)中的柱只考慮其水平自由度而梁只考慮其豎直自由度，并且在每階振型中加入5%的白噪聲以模擬測(cè)量誤差。

圖2 二層的框架結(jié)構(gòu)Fig.2 Two-storey frame structure

圖3 單元6剛度損傷15%時(shí)兩種方法第一次計(jì)算的結(jié)果Fig.3 Results of the first calculations by the two methods when element 6 is damaged with 15%stiffness loss

損傷情況2用兩種方法第一次計(jì)算的結(jié)果見(jiàn)圖4所示。由圖4可見(jiàn)，兩種方法均能準(zhǔn)確識(shí)別出損傷位置，但原方法第一次計(jì)算得到的損傷程度和真實(shí)值相比誤差很大，而改進(jìn)方法僅經(jīng)一次計(jì)算即可獲得足夠精確的結(jié)果。兩種方法第一次計(jì)算所得的單元2和6的損傷參數(shù)值如下(括號(hào)內(nèi)為誤差):

上述結(jié)果顯示了改進(jìn)方法突出的優(yōu)越性。對(duì)于結(jié)構(gòu)發(fā)生大損傷的情況，采用改進(jìn)的方法，僅需通過(guò)“加速”公式簡(jiǎn)單的四則運(yùn)算，即可大幅度提高識(shí)別精度，不需要迭代只需經(jīng)過(guò)一次計(jì)算即可獲得足夠精確的識(shí)別結(jié)果，大大降低了計(jì)算花費(fèi)。而采用原方法若想獲得相同精度的識(shí)別結(jié)果必須經(jīng)過(guò)多次迭代方可，這將大大增加計(jì)算量。對(duì)于大規(guī)模的工程結(jié)構(gòu)而言，由于其自由度成千上萬(wàn)，因迭代而增加的計(jì)算花費(fèi)更是難以承受的，所以本文所提的改進(jìn)方法更加有著突出的價(jià)值。

圖4 單元2和6剛度均損傷50%時(shí)兩種方法第一次計(jì)算的結(jié)果Fig.4 Results of the first calculations by the two methods when elements 2 and 6 are damaged with 50%stiffness loss

4 結(jié)論

現(xiàn)有的靈敏度方法一般只考慮了一階靈敏度，這對(duì)于結(jié)構(gòu)發(fā)生小損傷情況是適用的，利用一階靈敏度分析即可獲得較好的識(shí)別結(jié)果。但對(duì)于結(jié)構(gòu)發(fā)生大損傷的情況，則必須考慮高階靈敏度或者采用迭代的算法才能獲得足夠精確的計(jì)算結(jié)果，但這要大量增加計(jì)算花費(fèi)。為了顯著降低計(jì)算花費(fèi)，本文提出一種改進(jìn)的柔度靈敏度方法，通過(guò)在迭代算法的過(guò)程中引入一個(gè)簡(jiǎn)單的“加速”公式，便能迅速獲得良好精度的識(shí)別結(jié)果。以?xún)蓚€(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證了所提的方法。算例結(jié)果表明:無(wú)論結(jié)構(gòu)損傷程度如何，用本文所提的改進(jìn)方法一般只需經(jīng)過(guò)一次計(jì)算即可獲得很好的識(shí)別結(jié)果。對(duì)于結(jié)構(gòu)發(fā)生小損傷的情況，改進(jìn)方法比原方法計(jì)算結(jié)果精度明顯提高;對(duì)于結(jié)構(gòu)發(fā)生大損傷的情況，原方法第一次計(jì)算結(jié)果的誤差非常大，必須經(jīng)過(guò)多次迭代才能獲得滿(mǎn)意的識(shí)別結(jié)果，而改進(jìn)方法僅經(jīng)過(guò)一次計(jì)算即可獲得足夠精度的識(shí)別結(jié)果，顯示了改進(jìn)方法突出的優(yōu)越性。

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An improved flexibility sensitivity method for structural damage detection

YANG Qiu-wei，SUN Bin-xiang

(Department of Civil Engineering，Shaoxing University，Shaoxing 312000，China)

Structural damage identification based on an improved sensitivity technique of structural flexibility was studied here.The drawback of the existing sensitivity methods was discussed firstly and then an improved technique was presented.The significant contribution of this study was to induce a simple accelerating formula in to iteration processes.With the introduction of the accelerating formula，the proposed method was able to identify damages without any high-order analysis of flexibility or multi-iteration.The effectiveness of the proposed method was illustrated using simulated data with measurement noise of two numerical examples.The results showed that the proposed procedure is economical for computation and simple to implement;regardless of damages being small or large，the proposed method can identify both locations and levels of structural damages accurately only using one iteration;the presented scheme may be useful for structural damage identification.

damage detection;flexibility sensitivity;accelerating formula

O32;TH113.1

A

浙江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(Y1110949);紹興市科技計(jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目(2010A23006);國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(40772194)

2010－01－11 修改稿收到日期:2010－03－31

楊秋偉 男，博士，副教授，1979年9月生