劉慶玲 羅 萍 于常娟

廊坊師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廊坊，065000

0 引言

柔性鉸鏈?zhǔn)菢?gòu)成柔性機(jī)構(gòu)的最基本柔性結(jié)構(gòu)，是影響柔性機(jī)構(gòu)整體性能的關(guān)鍵［1?2］。柔度是柔性鉸鏈最重要的性能參數(shù)，柔度矩陣能夠反映出不同方向上鉸鏈所承受載荷與對應(yīng)變形之間的解析映射關(guān)系［3?5］。依據(jù)柔性鉸鏈的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)以及傳遞運(yùn)動和能量的方向，柔性鉸鏈可分為單軸、雙軸與多軸柔性鉸鏈。雙軸、多軸柔性鉸鏈具有多個(gè)轉(zhuǎn)動自由度，可用于三維空間的運(yùn)動。根據(jù)鉸鏈切口輪廓曲線形狀的不同，柔性鉸鏈可分為柱形、圓弧形（直圓形）、導(dǎo)角形、橢圓形等不同類型，分別滿足不同運(yùn)動范圍及運(yùn)動精度的要求［6?8］。文獻(xiàn)［9?11］針對圓弧型、直圓型、橢圓型多軸柔性鉸鏈的柔度進(jìn)行了研究，得出了柔度計(jì)算式。

為了綜合利用不同類型多軸柔性鉸鏈的優(yōu)勢，本文提出一種直圓導(dǎo)角復(fù)合型多軸柔性鉸鏈，利用卡氏第二定理，導(dǎo)出其柔度計(jì)算式，同時(shí)采用有限元法對其進(jìn)行驗(yàn)證分析，并對復(fù)合型多軸柔性鉸鏈的性能進(jìn)行研究。

1 直圓導(dǎo)角復(fù)合型多軸柔性鉸鏈的柔度計(jì)算

直圓導(dǎo)角復(fù)合型多軸柔性鉸鏈?zhǔn)怯砂雮€(gè)直圓型多軸柔性鉸鏈、半個(gè)導(dǎo)角型多軸柔性鉸鏈組合而成的，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。圖1中，R為直圓半徑，r為導(dǎo)角半徑，l為鉸鏈的長度，t為鉸鏈截面最小直徑，固定端距離為x的任意截面的橫截面直徑為t（x）。

圖1 直圓導(dǎo)角復(fù)合型多軸柔性鉸鏈結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Sketch of right circular-corner filleted hybrid multiple-axis flexure hinge

設(shè)復(fù)合型多軸柔性鉸鏈右端固定，左端為自由端，考慮一般情況，自由端承受力F1x、F1y、F1z和力矩 M1x、M1y、M1z的共同作用，如圖 2 所示。鉸鏈的變形是由力和力矩共同產(chǎn)生的，以鉸鏈固定端為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立圖2所示坐標(biāo)系，圖中，1表示鉸鏈自由端，2表示鉸鏈的中心?；诳ㄊ系诙ɡ韺Χ噍S柔性鉸鏈的變形進(jìn)行分析，用鉸鏈自由端1處的變形表征其柔度。

圖2 多軸柔性鉸鏈?zhǔn)芰Ψ治鍪疽鈭DFig.2 Sketch of flexure hinge load

依據(jù)多軸柔性鉸鏈的運(yùn)動特性，由卡式第二定理可得柔性鉸鏈在自由端處的變形與載荷的關(guān)系：

式中，u1x、u1y、u1z分別為自由端處沿X、Y、Z軸的位移；θ1x、θ1y、θ1z分別為自由端處繞X、Y、Z軸的轉(zhuǎn)角；C為多軸柔性鉸鏈的柔度矩陣。

依 據(jù) 矩 陣 互 等 定 理 ，有 C1,y?Mz=C1,θz?Fy，C1,z?My=C1,θy?Fz。

對式（1）中各位移矢量應(yīng)用卡式第二定理，有

式中，U為多軸柔性鉸鏈的變形能，包括軸向拉伸變形能、彎曲變形能（包括對Z軸、Y軸的彎曲變形能）及扭轉(zhuǎn)變形能。

根據(jù)多軸柔性鉸鏈空間多自由度的運(yùn)動特性及其承受的載荷，由材料力學(xué)可得多軸柔性鉸鏈的變形能U：

式中，Uax為X方向的拉伸變形能；Uby、Ubz為相對Y軸、Z軸的彎曲變形能；Ut為扭轉(zhuǎn)變形能；E為材料的彈性模量；G為材料的剪切模量；A（x）為鉸鏈上任意位置處的橫截面積；Iy（x）、Iz（x）為鉸鏈上任意位置處相對于Y、Z軸的截面慣性矩；J（x）為鉸鏈上任意位置處的截面極慣性矩。

依據(jù)圖2中多軸柔性鉸鏈的承載特點(diǎn)，式（4）中的各力與力矩分別為

依據(jù)多軸柔性鉸鏈橫截面的對稱性（圖1）可得 Iy（x）=Iz（x）=I（x），故 有 C1,y?Fy=C1,z?Fz，C1,θy?My=C1,θz?Mz，C1,y?Mz=C1,z?My。

圖1中，直圓導(dǎo)角復(fù)合型多軸柔性鉸鏈上距固定端距離為x的任意截面的橫截面直徑為t（x），該處的橫截面積、截面慣性矩、極慣性矩分別為

將式（5）、式（6）代入式（4），再代入式（3），將所得變形能代入式（2），則由式（1）可得各柔度項(xiàng)。設(shè)定積分計(jì)算式如下：

可得直圓導(dǎo)角復(fù)合型多軸柔性鉸鏈各柔度項(xiàng)計(jì)算式：

由圖1可得直圓導(dǎo)角復(fù)合型多軸柔性鉸鏈上任意位置處橫截面的直徑t(x)：

將式（8）代入式（7）進(jìn)行積分，即可得各柔度項(xiàng)計(jì)算式。為了簡化計(jì)算，采用分段積分法，各部分的積分變量選取如下：直圓部分選取直圓圓弧的圓心角為積分變量，設(shè)為θ1，則有t1（θ1）=t+2R（1-cosθ1），積分區(qū)間為［0，π/2］；導(dǎo)角部分以導(dǎo)角圓弧的圓心角為積分變量，設(shè)為θ2，則有t2（θ2）=t+2r（1-cosθ2），積分區(qū)間為［-π/2，0］；直梁部分以x為積分變量，積分區(qū)間為［r，l/2］；設(shè)t/（2R）+1=c1，t/（2r）+1=c2［12］。

采用新的積分變量進(jìn)行積分，簡化了積分計(jì)算過程。求得直圓導(dǎo)角復(fù)合型多軸柔性鉸鏈的各柔度：

2 柔度實(shí)例計(jì)算及有限元驗(yàn)證

2.1 實(shí)例計(jì)算

直圓導(dǎo)角復(fù)合型多軸柔性鉸鏈結(jié)構(gòu)如圖1所示，材料為鈹青銅，彈性模量E=126 GPa，泊松比μ=0.35。給定幾何參數(shù)如下：鉸鏈長度l=20 mm，直圓半徑R=10 mm，導(dǎo)角半徑r=5 mm，改變最小截面直徑t的值，使其分別取1，2，3，4，5，6，7，8 mm，采用式（9）計(jì)算各柔度項(xiàng)，計(jì)算結(jié)果列于表1。

表1 柔度計(jì)算結(jié)果與有限元分析結(jié)果Tab.1 Results of compliance computation and finite element

2.2 有限元分析

采用有限元法對文中的柔度計(jì)算式進(jìn)行驗(yàn)證，ANSYS環(huán)境中選取Solid186單元類型，按照實(shí)例中給定的直圓導(dǎo)角復(fù)合型多軸柔性鉸鏈的幾何參數(shù)建立對應(yīng)的有限元模型，劃分網(wǎng)格，施加約束，t=2 mm對應(yīng)的有限元模型如圖3所示。在鉸鏈末端施加單位載荷F1x=F1y=F1z=1 N，M1x=M1y=M1z=1N·m，其自由端的變形為柔度，變形結(jié)果列于表1。

圖3 直圓導(dǎo)角復(fù)合型多軸柔性鉸鏈有限元模型（R=10 mm，r=5 mm，t=2 mm）Fig.3 Finite element model of right circular-corner filleted hybrid multiple-axis flexure hinge（R=10 mm，r=5 mm，t=2 mm）

2.3 結(jié)果分析

利用表1數(shù)據(jù)分析柔度計(jì)算結(jié)果相對于有限元仿真結(jié)果的相對誤差。定義鉸鏈的厚長比λ=t/l（鉸鏈長度l=2R）。

由表1中的數(shù)據(jù)可以看出，柔度項(xiàng)C1,x?Fx的誤差隨著厚長比λ的變化基本在7%以內(nèi)；其余柔度項(xiàng)的誤差隨著厚長比的增加呈明顯增大趨勢，柔度項(xiàng)C1,y?Fy最為顯著。厚長比λ≤0.2時(shí)，所有柔度項(xiàng)的誤差在12%以內(nèi)；厚長比λ＞0.2時(shí)，除C1,x?Fx之外的各柔度項(xiàng)誤差明顯增大，最大誤差接近30%。

上述柔度項(xiàng)的計(jì)算未考慮剪切的影響，然而隨著鉸鏈厚長比的增大，剪切對Y向線變形的影響最為顯著，影響程度與鉸鏈厚長比成正比，這是造成誤差增大的主要原因（考慮剪切影響的厚長比另文闡述）。由表1中數(shù)據(jù)可以看出，文中的柔度計(jì)算式所得結(jié)果與有限元結(jié)果具有一致的變化趨勢，在一定參數(shù)范圍內(nèi)，驗(yàn)證了文中所得柔度計(jì)算式的正確性，同時(shí)也表明，在某些參數(shù)范圍內(nèi)，剪切的影響不能忽略。

3 直圓導(dǎo)角復(fù)合型多軸柔性鉸鏈的性能分析

由直圓導(dǎo)角復(fù)合型多軸柔性鉸鏈的柔度計(jì)算式可知，各柔度項(xiàng)取決于鉸鏈的材料及其結(jié)構(gòu)參數(shù)。所有柔度項(xiàng)均與材料的彈性模量E或剪切模量G成反比，與直圓半徑R成正比。鉸鏈的導(dǎo)角半徑r、最小截面直徑t對各柔度項(xiàng)的影響具體分析如下。

3.1 鉸鏈導(dǎo)角半徑r對柔度的影響

選取一組具有不同導(dǎo)角半徑的直圓導(dǎo)角復(fù)合型多軸柔性鉸鏈，材料同前，直圓半徑R=10 mm，最小截面直徑t=2 mm，導(dǎo)角半徑r分別為2 mm、4 mm、6 mm、8 mm、10 mm。采用式（9）計(jì)算鉸鏈各柔度項(xiàng)，結(jié)果列于表2。

表2 不同導(dǎo)角半徑直的計(jì)算柔度Tab.2 Compliance computation under the different filleted radius

由表2數(shù)據(jù)可得，隨著導(dǎo)角半徑r的增大，復(fù)合型多軸柔性鉸鏈的柔度減小。導(dǎo)角半徑r=2 mm的鉸鏈的轉(zhuǎn)動能力和對軸向載荷的敏感程度近似為導(dǎo)角半徑r=10 mm的鉸鏈的2.6倍和1.4倍。當(dāng)r=10 mm時(shí)，直圓導(dǎo)角復(fù)合型多軸柔性鉸鏈變?yōu)橹眻A型多軸柔性鉸鏈，可明顯看出，直圓導(dǎo)角復(fù)合型多軸柔性鉸鏈的柔度優(yōu)于直圓型多軸柔性鉸鏈，能夠獲得更大的運(yùn)動范圍。

3.2 最小截面直徑t對柔度的影響

由表1數(shù)據(jù)可明顯看出，t=1 mm對應(yīng)的各柔度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于t=2 mm對應(yīng)的各柔度，隨著t的增大，各柔度明顯減小。柔度對參數(shù)t的變化最為敏感，故鉸鏈最小截面直徑是影響鉸鏈性能最重要的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

4 結(jié)論

（1）設(shè)計(jì)出一種新型多軸柔性鉸鏈——直圓導(dǎo)角復(fù)合型多軸柔性鉸鏈，依據(jù)卡式第二定理，建立直圓導(dǎo)角復(fù)合型多軸柔性鉸鏈的柔度矩陣。采用分段積分法，分別選擇直圓圓弧、導(dǎo)角圓弧所對應(yīng)的圓心角為積分變量，簡化了計(jì)算過程，得出直圓導(dǎo)角復(fù)合型多軸柔性鉸鏈的柔度計(jì)算式。

（2）選擇一組具有不同最小截面直徑的直圓導(dǎo)角復(fù)合型多軸柔性鉸鏈，采用文中得出的柔度計(jì)算式進(jìn)行實(shí)例計(jì)算，同時(shí)對其進(jìn)行有限元分析，在一定參數(shù)范圍內(nèi)驗(yàn)證了柔度計(jì)算式的正確性。

（3）定義鉸鏈的厚長比λ，分析了各柔度項(xiàng)的相對誤差與厚長比λ之間的關(guān)系，厚長比λ≤0.2時(shí)，所有柔度項(xiàng)的誤差在12%以內(nèi)；厚長比λ＞0.2時(shí)，除C1,x?Fx之外的各柔度項(xiàng)誤差明顯增大，最大誤差接近30%。剪切影響是造成柔度計(jì)算誤差增大的主要原因，一定參數(shù)范圍內(nèi)，不能忽略剪切的影響。

（4）利用所得的柔度計(jì)算式，通過實(shí)例計(jì)算，分析了直圓導(dǎo)角復(fù)合型多軸柔性鉸鏈的導(dǎo)角半徑r與最小截面直徑t對各柔度項(xiàng)的影響；同時(shí)指出直圓導(dǎo)角復(fù)合型多軸柔性鉸鏈的柔度以及對軸向載荷的敏感性均優(yōu)于直圓型多軸柔性鉸鏈。