胡 亮，顧 明，李 黎

(1.同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092;2.華南理工大學(xué) 亞熱帶建筑科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州 510640;3.華中科技大學(xué) 土木工程與 力學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

兩類譜表示法模擬風(fēng)場誤差對比分析

胡 亮1，2，顧 明1，李 黎3

(1.同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092;2.華南理工大學(xué) 亞熱帶建筑科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州 510640;3.華中科技大學(xué) 土木工程與 力學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

對原型和POD型譜表示法模擬多變量正態(tài)風(fēng)場時(shí)的隨機(jī)誤差進(jìn)行了對比分析。給出了原型、POD型譜表示法的風(fēng)場模擬標(biāo)準(zhǔn)算法，以及使用這套標(biāo)準(zhǔn)算法模擬風(fēng)場時(shí)所產(chǎn)生隨機(jī)誤差的解析計(jì)算公式?；诖私馕鼋?，以總體隨機(jī)誤差和根方差相對隨機(jī)誤差為標(biāo)準(zhǔn)，比較了兩類譜表示法在模擬一個(gè)64點(diǎn)簡單風(fēng)場時(shí)的隨機(jī)誤差。數(shù)值分析結(jié)果表明:相對于原型譜表示法，POD型譜表示法的模擬隨機(jī)誤差較小而且空間分布更加均勻，模擬時(shí)應(yīng)優(yōu)先選用。此外，還研究了頻率采樣點(diǎn)數(shù)對誤差的影響;給出了控制模擬隨機(jī)誤差的方法。

譜表示法;風(fēng)場模擬;誤差;對比分析

在橋梁抖振時(shí)域分析時(shí)，一般把脈動(dòng)風(fēng)速場視作一維多變量、平穩(wěn)、正態(tài)隨機(jī)過程，用譜表示法或ARMA方法來模擬［1］。ARMA方法參數(shù)確定不易、系統(tǒng)穩(wěn)定性差［2］，相比之下，譜表示法無條件穩(wěn)定、易于實(shí)現(xiàn)、精度較高，在現(xiàn)有條件下計(jì)算效率可以接受［3］，因而得到了更廣泛的應(yīng)用。

譜表示法起源于Rice在1945年的著名論文［4］。針對一維多變量風(fēng)場模擬，早期的譜表示法基于多變量過程功率譜密度矩陣的Cholesky分解，稱為原型譜表示法［5，6］;近年來則出現(xiàn)了一類基于譜矩陣特征值分解的譜表示法，稱為本征正交分解(proper orthogonal decomposition，POD)型譜表示法［7，8］。POD 型譜表示法的優(yōu)點(diǎn)在于:風(fēng)場的POD特征向量能描述風(fēng)場分布這一物理特征且是一組最優(yōu)化基底，故可進(jìn)行有效的模態(tài)截?cái)?但其中所包含矩陣特征值分解所耗費(fèi)的運(yùn)算量要大于原型譜表示法中的Cholesky分解。兩類譜表示法各有優(yōu)劣，在工程中如何選用至今尚無定論。

譜表示法模擬風(fēng)場的一大癥結(jié)在于模擬結(jié)果的各態(tài)歷經(jīng)性。對于一維單變量過程或多維單變量過程，這一問題早已得到圓滿解決［6］;但橋梁抖振時(shí)域分析所需脈動(dòng)風(fēng)場是一維多變量過程，雖然 Deodatis［9］和Ding［10］、胡亮［11］等分別基于原型譜表示法和 POD 型譜表示法提出了各態(tài)歷經(jīng)模擬算法，但模擬結(jié)果時(shí)間序列過長，且其時(shí)域估計(jì)相關(guān)函數(shù)仍未能滿足各態(tài)歷經(jīng)性。因此，工程應(yīng)用中較好的辦法仍是將模擬結(jié)果的隨機(jī)誤差控制在一界限內(nèi)，而無法完全實(shí)現(xiàn)各態(tài)歷經(jīng)性以使得隨機(jī)誤差為0。

目前只有很少的研究涉及風(fēng)場模擬的誤差。Novak［12］曾研究了AR方法模擬多變量風(fēng)場的誤差，但其對風(fēng)場的AR系統(tǒng)建模不準(zhǔn)確;Grigoriu［13］則對譜表示法的模擬誤差有一些粗略的數(shù)值分析;胡亮推導(dǎo)了原型［14］和POD型譜表示法［15］模擬風(fēng)場的偏度和隨機(jī)誤差的解析解?；诖四M誤差的解析解，本文將以一個(gè)典型簡單風(fēng)場模擬作為算例，對兩類譜表示法模擬風(fēng)場的隨機(jī)誤差進(jìn)行對比分析，以期深入了解模擬誤差的特性并作為控制誤差的基礎(chǔ)，同時(shí)兩類方法在模擬誤差方面的表現(xiàn)也可為實(shí)際應(yīng)用時(shí)的選擇提供參考。

1 譜表示法標(biāo)準(zhǔn)模擬公式

風(fēng)場可簡化為一個(gè)一維N變量的平穩(wěn)正態(tài)過程V(t)=［v1(t)，v2(t)，…，vN(t)］T，設(shè)其理論功率譜密度矩陣為S0

VV(ω)(單邊譜)，則原型譜表示法的模擬公式為［14，15］:

式(1)－式(2)中，Δω=(ωu－ω0)/M 為頻率步長，ωl=(l－1)Δω 為頻率采樣點(diǎn)序列，l=1，…，M，M 為頻率采樣點(diǎn)數(shù)，θkl為在［0，2π］之間均勻分布的獨(dú)立隨機(jī)相位角;Hjk為S0

VV作Cholesky分解所得下三角矩陣元素;φjk和 ηk分別為S0VV的第k階特征向量中元素和特征值，Ns為POD模態(tài)截?cái)鄶?shù)?？蓪⑹?1)－式(2)寫為統(tǒng)一形式:

式中，Δt=2π/(NTΔω)為時(shí)間步長，NT≥2M 為變換點(diǎn)數(shù)。模擬結(jié)果具有周期T=2π/Δω。

2 模擬隨機(jī)誤差的解析解

作者分別研究了原型和本征正交分解(POD)型譜表示法模擬多變量風(fēng)場的誤差，得到了模擬樣本時(shí)程時(shí)間長度為周期T時(shí)，前二階矩樣本時(shí)域估計(jì)值的隨機(jī)誤差的解析表達(dá)式［15］:

(1)兩類譜表示法模擬結(jié)果都是均值各態(tài)歷經(jīng)的，即時(shí)域統(tǒng)計(jì)均值的隨機(jī)誤差為0;

(2)設(shè)N≥i≥j≥1，則原型譜表示法模擬結(jié)果功率譜密度函數(shù)時(shí)域估計(jì)值的隨機(jī)誤差為:

且模擬第1點(diǎn)的風(fēng)速隨機(jī)誤差恒為0;POD型譜表示法的隨機(jī)誤差則為:

(3)兩類譜表示法模擬結(jié)果相關(guān)函數(shù)時(shí)域估計(jì)值的隨機(jī)誤差均可由譜密度函數(shù)的隨機(jī)誤差導(dǎo)出:

可用FFT作快速計(jì)算。

(4)兩類譜表示法模擬結(jié)果根方差時(shí)域估計(jì)值的隨機(jī)誤差可由相關(guān)函數(shù)的隨機(jī)誤差近似計(jì)算:

應(yīng)當(dāng)注意到，式(5)－式(7)所得誤差的項(xiàng)數(shù)巨大，在分析風(fēng)場模擬誤差的分布特征時(shí)甚為不便，而式(8)則比較簡潔。為使誤差分析更加清晰，參照式(8)，定義總體隨機(jī)誤差為:

式(11)系將式(7)代入式(8)并推廣至p≠q的情況所得。當(dāng)i=p=q時(shí)，式(9)是自譜函數(shù)的總體誤差，即主要表征i點(diǎn)風(fēng)速自身包含能量的模擬誤差，亦稱為根方差相對隨機(jī)誤差;p≠q時(shí)，則是互譜函數(shù)的總體誤差，相應(yīng)表征p、q點(diǎn)風(fēng)速間相關(guān)程度的模擬隨機(jī)誤差。總體相對隨機(jī)誤差意義明確且便于表述，故它將是以下誤差分析時(shí)的所用到的主要指標(biāo)。

3 典型簡單風(fēng)場模擬誤差對比分析

圖1所示為一個(gè)由N=64點(diǎn)組成的簡單線狀風(fēng)場，系由某橋面風(fēng)場簡化而來，離地高度為160 m。風(fēng)場模擬的目標(biāo)譜為Kaimal譜［9］和Davenport相干函數(shù)，II類場地，冪函數(shù)風(fēng)剖面，10 m高度平均風(fēng)速 為21.17 m/s，譜頻率區(qū)間為 ω∈［0，2π］。

圖1 簡單風(fēng)場點(diǎn)分布Fig.1 Overview of the simplified wind field

3.1 總體相對隨機(jī)誤差

分別計(jì)算頻率采樣點(diǎn)數(shù) M=256、512、1 024、2 048四種情況下原型和POD型譜表示法模擬此簡單風(fēng)場時(shí)的總體隨機(jī)誤差epq(p=1…64，q=1…p)，所得結(jié)果示于圖2(a)－圖2(d)中。圖中，深藍(lán)色斜線下方為原型譜表示法，上方為POD型譜表示法。首先從圖2(a)分析誤差的分布特征，容易看出:

(1)左下半?yún)^(qū)的顏色顯著深于上半?yún)^(qū)，藍(lán)色部分較右上半?yún)^(qū)少，紅色部分則較多，即從整體來說，POD型譜表示法的隨機(jī)誤差要小于原型譜表示法。

(2)在此圖右上部分，POD型譜表示法的誤差基本沿著主對角線的平行方向向右上角點(diǎn)擴(kuò)散，因此它的誤差分布比較均勻;而在左下部分，原型譜表示法的誤差有沿著自上而下的方向擴(kuò)散的趨勢，編號(hào)越大的點(diǎn)誤差也越大。在用原型譜表示法進(jìn)行風(fēng)場模擬時(shí)，常能觀察到點(diǎn)號(hào)越靠后則模擬所得的時(shí)域估計(jì)自譜曲線波動(dòng)愈加劇烈，正是出于隨機(jī)誤差分布不均這一原因。

以上的三條觀察結(jié)論可從圖2(b)－圖2(d)中得到印證。在從圖2(a)到圖2(d)的四個(gè)圖中，雖然顏色深度所代表的數(shù)值隨頻率采樣點(diǎn)數(shù)M增加而減小，但顏色分布的規(guī)律卻沒有什么變化，可見增加M值雖會(huì)使得隨機(jī)誤差降低，對誤差的空間分布特征卻幾乎沒有影響。表1是圖2中上下半?yún)^(qū)總體隨機(jī)誤差的總和及兩類譜表示法誤差對應(yīng)的比值，可看出原型譜表示法的誤差總和總是大于POD型譜表示法，是后者的1.5倍左右，且隨M值增加此倍數(shù)比值也有小幅增加，這支持了上述第(1)條觀察結(jié)論。

圖2 兩類譜表示法模擬簡單風(fēng)場的總體隨機(jī)誤差Fig.2 Global relative stochastic errors of the simplified wind field simulated by both OSRM and PSRM

3.2 根方差相對隨機(jī)誤差

圖3給出了不同頻率采樣點(diǎn)數(shù)M值下的根方差相對隨機(jī)誤差，圖中OSRM和PSRM分別表示原型/本征正交分解型譜表示法。可以看出:(1)在M值相同時(shí)，POD型譜表示法的曲線大部分位于原型譜表示法之下，表示POD型譜表示法誤差較小;(2)原型譜表示法的誤差從1點(diǎn)到64點(diǎn)有一種漸變遞增的趨勢，而POD型譜表示的誤差曲線平滑下凹，誤差隨點(diǎn)號(hào)分布均勻。表2是圖3中根方差相對隨機(jī)誤差的總和，原型譜表示法的誤差總和是POD型譜表示法的1.2倍以上。以上觀察結(jié)論均與總體隨機(jī)誤差的觀察結(jié)論一致。

圖4(a)和圖4(b)分別是原型和POD型譜表示法不同M值下根方差相對隨機(jī)誤差的比值。圖中所給出的均是頻率點(diǎn)數(shù) M值的比值為1∶2時(shí)(256/512、512/1 024、1 024/2 048)的誤差比值，兩類方法誤差比值數(shù)值上差別不大，都在1.4～1.5之間;M值越大，該比值隨空間分布越均勻。比值的大小可約略估計(jì)如下。在式(9)中計(jì)入頻率步長Δω=(ωu－ω0)/M，根方差隨機(jī)誤差可寫為:

故當(dāng)M變?yōu)樵档?倍時(shí)，根方差隨機(jī)誤差的比值:

根據(jù)式(5)和式(6)，譜密度的隨機(jī)誤差是對應(yīng)頻率點(diǎn)處譜分解矩陣的某些元素之和;故式(13)中，根號(hào)內(nèi)分子和分母都可視為與譜函數(shù)有近似線性關(guān)系，且分母部分相當(dāng)于是對分子部分的加密采樣。當(dāng)采樣值M很大時(shí)，分子的采樣已很密集，譜函數(shù)可視為分段線性，

表1 兩類譜表示法的總體相對誤差總和Tab.1 Sums of global relative stochastic errors produced by both OSRM and PSRM

表2 兩類譜表示法的根方差相對誤差總和Tab.2 Sums of relative stochastic errors of standard deviations produced by both OSRM and PSRM

4 結(jié)論

基于譜表示法模擬風(fēng)場隨機(jī)誤差的解析解，以一個(gè)典型簡單風(fēng)場模擬為算例，對原型和本征正交分解(POD)型兩類譜表示法的模擬誤差進(jìn)行了詳細(xì)的對比分析，得到如下結(jié)論:

(1)POD型譜表示法的總體相對隨機(jī)誤差和根方差相對隨機(jī)誤差均小于原型譜表示法，算例中后者的總體和根方差相對誤差總和分別是前者的1.5和1.2倍左右，這是POD型譜表示法的一個(gè)重大優(yōu)點(diǎn)。

(2)POD型譜表示法的相對隨機(jī)誤差在空間分布是均勻的，而原型譜表示法有隨點(diǎn)號(hào)遞增的趨勢，即排序靠后的點(diǎn)誤差有大的額外增加;因此前者誤差分布優(yōu)于后者。

(3)增加頻率點(diǎn)數(shù)M可以有效的降低隨機(jī)誤差;當(dāng)M值以倍數(shù)2增加時(shí)，總體相對隨機(jī)誤差以接近1.414的倍數(shù)遞減。

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Comparison between errors produced in simulating a wind field with original spectral representation method and POD-based one respectively

HU Liang1，2，GU Ming1，LI Li3

(1.State Key Lab for Disaster Reduction in Civil Eng.，Tongji Univ.，Shanghai 200092，China;2.State Key Lab of Subtropical Building Sci.，South China Univ.of Tech.，Guangzhou 510640，China;3.School of Civil Eng.and Mech.，Huazhong Univ.of Sci.and Tech.，Wuhan 430074，China)

Errors produced in simulating a stationary Gaussian multi－ variate wind process，with the original spectral representation method(OSRM)and the proper orthogonal decomposition－based one(PSRM)were assessed.To begin with，a set of formulas describing the two types of SRM and the closed－form stochastic errors produced with them were presented in a standard form.Accordingly，the errors produced in simulating a 64－point simplified wind field using PSRM and OSRM respectively were computed and then compared in terms of the global spectral stochastic errors and the relative ones of standard deviations.It was concluded from the numerical example that the errors produced with PSRM are not only less in total but also distributed more uniformly to every point than those with OSRM;thus PSRM should be preferred to.In addition，the influence of the point number of frequency sampling on the errors was discussed in detail.Some approaches for relieving the errors were also suggested.

spectral representation method(SRM);wind field simulation;error;comparison

TU973.31;U448.23+1

A

國家自然科學(xué)基金重大研究計(jì)劃(90715040);國家自然科學(xué)基金創(chuàng)新群體項(xiàng)目(50621062);國家科技支撐計(jì)劃(2006BAJ06B05);華南理工大學(xué)亞熱帶建筑科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金(200822)

2009－12－15 修改稿收到日期:2010－01－19

胡 亮 男，博士后，1981年生

顧 明 男，教授，博士生導(dǎo)師，1957年生