◆楊桂春

(江蘇鹽城高等師范學(xué)校)

數(shù)學(xué)問題解決的教育功能探析

◆楊桂春

(江蘇鹽城高等師范學(xué)校)

問題解決是數(shù)學(xué)教育的中心環(huán)節(jié)和目的所在,重視問題解決能力是數(shù)學(xué)教育改革和發(fā)展的方向,問題解決教學(xué)具有重要的教育功能,能激發(fā)對數(shù)學(xué)的情感,促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣,形成正確的數(shù)學(xué)觀。

數(shù)學(xué)問題 問題解決教學(xué) 教育功能

20世紀(jì) 80年代以來,問題解決已成為國際數(shù)學(xué)教育的一種潮流。什么是數(shù)學(xué)問題解決呢?美國數(shù)學(xué)教師全國委員會 1980年出版的用以指導(dǎo)80年代學(xué)校數(shù)學(xué)教育的綱領(lǐng)性文件《行動的議程》指出:“問題解決包括數(shù)學(xué)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界,包括現(xiàn)時(shí)和將來出現(xiàn)的科學(xué)理論與實(shí)際服務(wù),也包括解決拓廣數(shù)學(xué)科學(xué)本身前沿的問題;問題解決從本質(zhì)上說是一種創(chuàng)造性的活動,問題解決能力的發(fā)展,其基礎(chǔ)是虛心,是好奇和探索的態(tài)度,是進(jìn)行試驗(yàn)和猜測的意向”。同時(shí),明確提出了應(yīng)當(dāng)以“問題解決作為學(xué)校數(shù)學(xué)教育的中心”,這與波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中的觀點(diǎn)是完全一致的。波利亞指出“關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo),我有一種老式的想法,即首先和主要的是必須教會那些年青人去思考……”教會思考“意味著數(shù)學(xué)教師不僅僅應(yīng)該傳授知識,而且也應(yīng)當(dāng)去發(fā)展學(xué)生運(yùn)用所傳授的知識的能力:他應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)由實(shí)踐而來的能力,有益地思考方式及應(yīng)有的思想習(xí)慣?！?/p>

1988年,發(fā)表的美國《21世紀(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》更是明確提出“數(shù)學(xué)問題解決是把前面學(xué)到的知識用到新的和不熟悉的情景中的過程,而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的在于問題解決?！?/p>

一、數(shù)學(xué)問題與數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)

1.數(shù)學(xué)問題

張奠宙教授認(rèn)為,“數(shù)學(xué)問題”解決中的問題大致可分為以下三類:

一是可以構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的非常規(guī)的實(shí)際問題。非常規(guī)的問題往往不是純數(shù)學(xué)化的問題模式,而是一種情境,一種實(shí)際需求,只是為了克服實(shí)際碰到的困難。數(shù)學(xué)模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象,數(shù)學(xué)問題要能夠給學(xué)生提供嘗試建立數(shù)學(xué)模型的機(jī)會。所謂建立數(shù)學(xué)模型,即把研究對象用數(shù)學(xué)語言和方法表述為具有一定結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)體系,讓學(xué)生根據(jù)觀察和實(shí)驗(yàn)的結(jié)果嘗試運(yùn)數(shù)學(xué)思想以及歸納、類比的方法得出猜想,然后再進(jìn)行證明。最后,將經(jīng)證明正確的結(jié)論再回歸到實(shí)際情境中去。

二是探究性問題。所謂探究性問題是指通過一定的探索、研究去深入了解和認(rèn)識數(shù)學(xué)對象的性質(zhì),發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律和真理的問題。這里對于對象之間的數(shù)量關(guān)系、圖形性質(zhì)及其變化規(guī)律、數(shù)學(xué)公式、法則、命題、定理等的探索和發(fā)現(xiàn),雖然只是對前人工作的一種重復(fù)和再現(xiàn),但知識形成、發(fā)展過程的意義則被學(xué)習(xí)者重新建構(gòu)。

三是開放性問題。開放性問題旨在培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、發(fā)散性,因而也有利培養(yǎng)學(xué)的創(chuàng)新精神、創(chuàng)新意識。

數(shù)學(xué)問題來源于人類的生產(chǎn)、生活實(shí)踐,來源于人們了解自然、認(rèn)識自然的科技活動。數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)“問題解決”是數(shù)學(xué)活動的核心所在,希爾伯特說:“某類問題對于一般數(shù)學(xué)進(jìn)展的深遠(yuǎn)意義以及它們在研究者個人的工作中所起的作用是不可否認(rèn)的。只要一門科學(xué)分支能提出大量問題,它就充滿著活力;而問題缺乏則預(yù)示著獨(dú)立發(fā)展的衰亡或終止。正如人類每項(xiàng)事業(yè)都追求著確定的目標(biāo)一樣,數(shù)學(xué)研究也需要自己的問題。正是通過這些問題的解決,研究者鍛煉其鋼鐵意志,發(fā)現(xiàn)新方法和新觀點(diǎn),達(dá)到更為廣闊和自由的境界?！?/p>

2.數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)

數(shù)學(xué)問題解決一般方法是通過對所給問題的分析,理解問題背景的意義,從中找出它們認(rèn)識結(jié)構(gòu)中已有數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系,在此基礎(chǔ)上構(gòu)建相關(guān)數(shù)學(xué)模型,使非常規(guī)問題變成常規(guī)問題,然后運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法及數(shù)學(xué)知識對建立的數(shù)學(xué)模型求解,最后再將求解結(jié)果返回到實(shí)際問題中去進(jìn)行檢驗(yàn)。

建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的一般過程可用框圖表述如下:

數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)是通過創(chuàng)設(shè)情境,激發(fā)求知欲望,使學(xué)生親身感受和體驗(yàn)分析問題解決問題的全過程。它強(qiáng)調(diào)使用數(shù)學(xué)的意識,培訓(xùn)學(xué)生的探索精神,合作意識和實(shí)際操作能力。通過問題解決教學(xué)能使學(xué)生對數(shù)學(xué)知識形成深刻的、結(jié)構(gòu)化的理解,形成自己的、可以遷移的問題解決策略,從而產(chǎn)生更為濃厚的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、形成認(rèn)真求知的科學(xué)態(tài)度和勇于進(jìn)取的堅(jiān)定信念。

關(guān)于數(shù)學(xué)問題解決教學(xué),鄭毓信教授認(rèn)為:“問題解決”應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)教育的中心環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)教育應(yīng)以幫助學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)地思維作為主要目標(biāo),并以“問題解決”促進(jìn)具體數(shù)學(xué)知識和技能的學(xué)習(xí)。對大多數(shù)學(xué)生來說,解決問題的能力不會“自然而然”地形成,需要長期的、充分的實(shí)踐和適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)。

二、問題解決教學(xué)的教育功能

1.激發(fā)對數(shù)學(xué)的情感,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和品質(zhì)。

在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中,常常有學(xué)生會問:“為什么要學(xué)數(shù)學(xué),學(xué)了數(shù)學(xué)有什么用?”認(rèn)為“學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)除了應(yīng)付考試以外沒有任何價(jià)值”,許多教師往往會教育學(xué)生數(shù)學(xué)知識很重要,數(shù)學(xué)方法很有用,但到底有什么用又說不清楚,導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)缺少情感,對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺乏興趣。

數(shù)學(xué)問題具有非常規(guī)性、探究性及開放性特征。非常規(guī)性的問題往往不是純數(shù)學(xué)化的問題模式,而是一種情境,一種實(shí)際需求,只是為了克服實(shí)際碰到的實(shí)際困難。學(xué)習(xí)者親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程,在獲得對數(shù)學(xué)理解的同時(shí),學(xué)習(xí)者在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等方面也將會有進(jìn)一步的發(fā)展。

數(shù)學(xué)問題的探究性特征,決定了學(xué)習(xí)者對于對象間的數(shù)量關(guān)系、圖形性質(zhì)及其變化規(guī)律、數(shù)學(xué)公式、法則、命題、定理等的探索和發(fā)現(xiàn),雖然只是對前人工作的重復(fù)和再現(xiàn),但知識的形成、發(fā)展過程被學(xué)習(xí)者有意義的重新構(gòu)建?！皵?shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程充滿著觀察、實(shí)驗(yàn)、模擬、推斷等探索性和挑戰(zhàn)性活動。教師要改變以例題、示范、講解為主的教學(xué)方式,引導(dǎo)學(xué)生投入到探索交流的學(xué)習(xí)之中?！?/p>

通過探究,不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、科學(xué)探索精神,而且可以使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中獲得成功的體驗(yàn),從而建立自信心,這對于培育學(xué)生形成完整獨(dú)立的人格具有重要的作用。

《課程標(biāo)準(zhǔn)》建議教材可以“提供一些開放性 (在問題條件、結(jié)論、解題策略或應(yīng)用等方面具有一定的開放程度)的問題,使學(xué)生在探索過程中進(jìn)一步理解所學(xué)知識”,許多開放性問題的探討與解決過程會綜合運(yùn)用許多不同學(xué)科的不思想方法,表現(xiàn)出思維的多向性、靈活性和創(chuàng)造性,有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神、創(chuàng)新意識,從而養(yǎng)成思維的靈活性、發(fā)散性。

2.促進(jìn)正確數(shù)學(xué)觀的建立和形成

所謂數(shù)學(xué)觀即關(guān)于“數(shù)學(xué)是什么”的問題的具體分析。我們應(yīng)當(dāng)樹立這樣的觀念:應(yīng)把數(shù)學(xué)看成是人類的一種創(chuàng)造性活動,而不應(yīng)把數(shù)它看成是某些凝固的、僵化的“知識”(包括概念、命題、算法、解題技巧等)的簡單匯集。

就數(shù)學(xué)活動的具體內(nèi)容而言,其直接表現(xiàn)形式即可說是“問題解決”。但是,如果從更深的層次去分析,我們則又應(yīng)當(dāng)明確強(qiáng)調(diào)“模式”的概念在數(shù)學(xué)中的核心地位。這就是說,在數(shù)學(xué)中,我們是通過相對獨(dú)立的量化模式的建構(gòu),并以此為直接對象從事客觀世界量性規(guī)律的研究——從而,在這樣的意義上,我也可以說,數(shù)學(xué)即是“模式的科學(xué)”。

另外,數(shù)學(xué)一向以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[思維、慎密的邏輯推理將知識和方法展現(xiàn)給世界。課本中演繹性的表述掩蓋了數(shù)學(xué)知識發(fā)生和發(fā)展的過程。荷蘭著名數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾說:“沒有一種數(shù)學(xué)的思想以它被發(fā)現(xiàn)時(shí)的那個樣子公開發(fā)表。一個問題被解決后,相應(yīng)地發(fā)展成為一種形式化的技巧,結(jié)果是把求解過程丟在一邊,使火熱的發(fā)明變成冰冷的美麗?！睌?shù)學(xué)知識發(fā)生和發(fā)展的過程充滿著實(shí)踐和不斷的反復(fù),在建立一個成熟的結(jié)構(gòu)和理論之前,實(shí)踐和歸納起著決定性的作用。數(shù)學(xué)知識既有演繹的一面,又有實(shí)踐的一面,數(shù)學(xué)的實(shí)踐性決定了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。數(shù)學(xué)以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S為手段的研究方式充分發(fā)揮了人的心智的功能,使數(shù)學(xué)具備了理性價(jià)值。

在問題解決過程中,把數(shù)學(xué)的形式化的邏輯鏈條恢復(fù)為當(dāng)初數(shù)學(xué)發(fā)明創(chuàng)造的火熱思考,展現(xiàn)數(shù)學(xué)家的思維過程,讓學(xué)生體會到創(chuàng)造過程活的思維,認(rèn)識到數(shù)學(xué)正是在猜想、證明、錯誤中發(fā)展進(jìn)化的,數(shù)學(xué)的進(jìn)步對傳統(tǒng)觀念的革新,從而激發(fā)學(xué)生的非常規(guī)思維,使他們感受到抓住恰當(dāng)?shù)摹⒂袃r(jià)值的問題將是激動人心的事情,而問題解決的過程正是上班述過程的縮影或延續(xù),使學(xué)生全面理解、正確認(rèn)識數(shù)學(xué)。

三、“問題解決”背景下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)

一種普遍認(rèn)同的觀點(diǎn),在數(shù)學(xué)教學(xué)中,學(xué)生處于主體地位,教師發(fā)揮主導(dǎo)作用。問題是如何理解學(xué)生的“主體地位”、教師在教學(xué)中如何發(fā)揮“主導(dǎo)作用”?

傳統(tǒng)的教學(xué)是這樣的:先由教師給出問題,學(xué)生則被要求去求出解答。學(xué)生在從事解題活動時(shí),可以作出如下假設(shè):這一問題具有唯一的、確定的解答,而且這一解答可以用新學(xué)過的算法去求得。他們并認(rèn)定教師將按照他們在表面是否努力工作及在表面上是否成功對他們作出評價(jià)。他們還可以認(rèn)定教師早已知道了答案,而自己則可以通過提問由教師處獲得關(guān)于解答的提示;他們可由教師的表情和態(tài)度等知道自己是否正沿著正確的道路前進(jìn)。

與此相對照,美國數(shù)學(xué)家舍弗爾德給出“解決問題”背景下數(shù)學(xué)教學(xué)的描述是這樣的。教學(xué)主要由“全班性的討論”和“分組工作”組成,教師在此則主要是從啟發(fā)法和“調(diào)節(jié)”的高度進(jìn)行指導(dǎo)的幫助。

具體地說,當(dāng)全班一起進(jìn)行工作時(shí),教師的作用就如一個樂隊(duì)指揮,即是如何對學(xué)生的建議進(jìn)行協(xié)調(diào),而并非是要把學(xué)生引向某個事先確定的解法。對于那些學(xué)生已經(jīng)具備了足夠的數(shù)學(xué)背景的問題,教師的責(zé)任主要就在“調(diào)節(jié)的方面作出示范。”通過啟發(fā)引導(dǎo),使學(xué)生認(rèn)識到:在冒然地投入到解題活動之前,應(yīng)當(dāng)首先,弄清題意。另外,在學(xué)生關(guān)于解題的最初建議確定可行的情況下,教師也應(yīng)要求學(xué)生提出更多的可能的解法。如有三四種不同的建議,這時(shí)教師就可以組織學(xué)生對應(yīng)作怎樣的選擇和為什么作這樣的選擇進(jìn)行討論,并建議學(xué)生思考“現(xiàn)在看來這條路是否行得通?我們是否應(yīng)當(dāng)試一試其它的途徑?”最后,一旦取得了結(jié)果,全班則又應(yīng)當(dāng)進(jìn)行進(jìn)一步的討論:先是對所已進(jìn)行的工作進(jìn)行總結(jié),并指明可以改進(jìn)的地方;另外,如果在此是采用某一建議而獲得成功,全班則又應(yīng)當(dāng)考慮其它建議能否提供不同的解法。另外,在采取“分組工作”的形式時(shí),教師的作用就像是一個“解題教練”。具體地說,在此所涉及的既有啟發(fā)法方面的問題,也有“調(diào)節(jié)”方面的問題。就前者而言,應(yīng)當(dāng)注意的是,如果學(xué)生有足夠的理由去作某件事,那么無論這是否與啟發(fā)性原則相一致,都應(yīng)讓他們按自己的選擇去作業(yè);而如果缺乏這種充足的理由,教師則可應(yīng)用啟發(fā)法去幫助他們進(jìn)行選擇。另外,與啟發(fā)法相比,“調(diào)節(jié)”方面的問題應(yīng)當(dāng)說是更為復(fù)雜的,因?yàn)閷W(xué)生的調(diào)節(jié)行為常常是不明顯的、并且沒有能夠得到足夠的重視。這時(shí),教師應(yīng)當(dāng)經(jīng)常向?qū)W生提出以下三個問題:你現(xiàn)在在干什么?你為什么要這樣做?它事實(shí)上起到了什么樣的作用?通常在開始時(shí),學(xué)生并不能對這些問題做出明確的解答,然而通過一段時(shí)間的堅(jiān)持,學(xué)生即能逐步回答這些問題,直到最后逐漸形成向自己提出這些問題的好習(xí)慣。

[1]張奠宙,戴再平.中學(xué)數(shù)學(xué)問題集.上海:華東師范大學(xué)出版社.

[2]劉云章,馬復(fù).數(shù)學(xué)直覺與發(fā)現(xiàn).江蘇教育出版社.

[3]鄭毓信.問題解決與數(shù)學(xué)教育.江蘇教育出版社.