劉建元，張曉泳，周科朝

(中南大學(xué) 粉末冶金國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410083)

基于物質(zhì)躍遷能壘改進(jìn)正常晶粒長(zhǎng)大的Monte Carlo模擬

劉建元，張曉泳，周科朝

(中南大學(xué) 粉末冶金國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410083)

在采用改進(jìn)的Monte Carlo方法模擬正常晶粒的長(zhǎng)大過(guò)程時(shí)，考慮到實(shí)際晶粒長(zhǎng)大過(guò)程中物質(zhì)狀態(tài)躍遷需克服一定能壘，把躍遷能壘引入到狀態(tài)躍遷概率計(jì)算中，使模擬過(guò)程所含物理意義更為明確。模擬結(jié)果表明：在各種模擬條件下得到的模擬晶粒長(zhǎng)大指數(shù)為0.472～0.493，接近理論的晶粒長(zhǎng)大指數(shù)(0.5)。改變模擬溫度和能壘等模擬條件后，得到的晶粒形貌演變過(guò)程、晶界分布拓?fù)涮卣饕约熬ЯｉL(zhǎng)大速率等模擬結(jié)果也均與晶粒長(zhǎng)大動(dòng)力學(xué)相關(guān)理論和實(shí)際晶粒長(zhǎng)大規(guī)律相吻合。

Monte Carlo方法；晶粒長(zhǎng)大模擬；晶粒長(zhǎng)大指數(shù)；躍遷概率；物質(zhì)躍遷能壘

Abstract:Considering that an energy barrier should be conquered to realize the mass transition during the real grain growth process, the Monte Carlo method was modified by introducing the energy barrier for mass status transition into the evaluation of mass fransition probability to simulate the normal grain growth. The aim of modification was to improve the physical significance of simulation. The simulation results show that the simulated grain growth exponent is 0.472?0.493, which is close to the theoretical value of 0.5. With the variation of simulation temperature and energy barrier, the simulation results about the grain morphology development, the topological characteristic of grain boundary and the variation of grain growth rate are all in accordance with the theories and real rules of normal grain growth kinetics.

Key words:Monte Carlo method; simulation of grain growth; grain growth exponent; transition probability; energy barrier for mass transition

Monte Carlo方法(簡(jiǎn)稱(chēng)MC)因具有模擬實(shí)現(xiàn)方法和程序設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單、模擬速度相對(duì)較快以及能夠利用計(jì)算機(jī)圖形學(xué)直觀描述微觀結(jié)構(gòu)等諸多優(yōu)點(diǎn)，被廣泛用于晶粒長(zhǎng)大過(guò)程的模擬研究[1?6]。在MC模擬過(guò)程中，首先，建立離散化模擬對(duì)象，并賦予每個(gè)格點(diǎn)某一取向度值，由取向度值相同的相鄰格點(diǎn)組成晶粒，由每對(duì)取向度不同的相鄰格點(diǎn)組成晶界；然后，隨機(jī)選取晶界處的格點(diǎn)，并嘗試賦予其新取向度值，通過(guò)計(jì)算由此引起的晶界能變化，得到賦予被選格點(diǎn)新取向度值的概率，以此決定是否賦予被選格點(diǎn)新取向度值，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)物質(zhì)在晶界處躍遷以及晶界遷移的模擬。對(duì)所有格點(diǎn)遍歷處理一次即為一個(gè)模擬時(shí)間步(MCS)，并最終模擬出整個(gè)晶粒的長(zhǎng)大過(guò)程。

在目前大多數(shù)文獻(xiàn)所報(bào)道的MC模擬晶粒長(zhǎng)大研究中，在給定模擬溫度時(shí)，所得模擬結(jié)果與實(shí)際晶粒長(zhǎng)大過(guò)程中的微觀結(jié)構(gòu)拓?fù)溲葑冴P(guān)系較為相符，且模擬的晶粒長(zhǎng)大指數(shù)也接近理論長(zhǎng)大指數(shù)(0.5)[6?9]。但是在模擬不同溫度下的晶粒長(zhǎng)大過(guò)程時(shí)，會(huì)出現(xiàn)模擬溫度升高引起晶粒長(zhǎng)大速率減慢這一與實(shí)際現(xiàn)象不符的模擬結(jié)果[10]。為此，文獻(xiàn)[11?13]建立了如下的模擬時(shí)間—真實(shí)時(shí)間的線性和非線性對(duì)應(yīng)關(guān)系：

式中：tMCS為模擬時(shí)間；T和t分別為真實(shí)溫度和時(shí)間；A、K1和n1都為建模系數(shù)；K0為與原子振動(dòng)頻率相關(guān)的常數(shù)；Q為激活能；Z為單位晶界面積上原子的平均個(gè)數(shù)；Vm為原子體積；γ為晶界能；L0為初始平均晶粒尺寸；ΔSf為融化熵；λ為陣點(diǎn)距離；Na為阿伏伽德羅常數(shù)；R為摩爾氣體常數(shù)；h為普朗克常數(shù)。利用上述對(duì)應(yīng)關(guān)系可模擬出不同溫度和升溫速率下的正常晶粒長(zhǎng)大過(guò)程。但在其模擬處理方式中，只涉及格點(diǎn)重新賦值后需降低晶界能這一要求，并沒(méi)有考慮格點(diǎn)重新賦值要克服一定能壘以及格點(diǎn)通過(guò)能量起伏并克服能壘后有可能向高能態(tài)躍遷這兩點(diǎn)，與實(shí)際晶粒長(zhǎng)大過(guò)程中的物質(zhì)狀態(tài)躍遷在一定程度上不相符[14]。與此同時(shí)，針對(duì)原有MC模擬方法中躍遷概率計(jì)算存在的一些問(wèn)題，文獻(xiàn)[15?17]提出了新的躍遷概率計(jì)算表達(dá)式。但這些擬合公式缺乏較為真實(shí)的物理含義。如文獻(xiàn)[16]提出了如下擬合公式：

式中：ΔE為格點(diǎn)重新賦值前、后晶界能的變化；TR為材料再結(jié)晶溫度；a為擬合系數(shù)；K為波爾茲曼常數(shù)。

針對(duì)這些研究現(xiàn)狀，本文作者首先分析原有的MC模擬方法中因模擬處理方式與實(shí)際物質(zhì)躍遷過(guò)程不符而導(dǎo)致出現(xiàn)的一些問(wèn)題，然后提出相應(yīng)的改進(jìn)措施，將物質(zhì)在躍遷前需克服一定能壘這一因素在躍遷概率計(jì)算過(guò)程中直接體現(xiàn)，使模擬過(guò)程的物理含義更為明確，并用于模擬不同溫度下的晶粒長(zhǎng)大過(guò)程。

1 模擬過(guò)程

圖1給出了MC模擬晶粒長(zhǎng)大過(guò)程中用于描述微觀結(jié)構(gòu)格點(diǎn)集合的示意圖。其中如果某一格點(diǎn)周?chē)嬖谌∠蚨戎蹬c之不同的其它相鄰格點(diǎn)，則該格點(diǎn)位于晶界處，有可能被改變?nèi)∠蚨戎禒顟B(tài)，進(jìn)而引起晶粒長(zhǎng)大和晶界遷移。

圖1 MC模擬晶粒長(zhǎng)大過(guò)程中用于描述微觀結(jié)構(gòu)格點(diǎn)集合的示意圖Fig.1 Schematic of lattice integration representing microstructure in MC method to simulate grain growth

目前，大多數(shù)MC模擬晶粒長(zhǎng)大研究中的躍遷模擬示意圖如圖2所示。對(duì)于圖2中取向度值為2的中間被選格點(diǎn)i，首先賦予其周?chē)c之不同的格點(diǎn)取向度值為1，并計(jì)算取向度值改變后引起的晶界能變化ΔE：

式中：J為晶界能；Qi和Qi′分別為被選格點(diǎn)i重新賦值前、后的取向度值；n為與格點(diǎn)i相鄰的格點(diǎn)數(shù)；Qj為相鄰格點(diǎn)的取向度值；δ為Kronecker算符(Qi或Qi′ ≠Q(mào)j時(shí)δ= 0；Qi或Qi′ =Qj時(shí)δ= 1)。若 ΔE≤0，則賦予格點(diǎn)i新取向度值Qj，即引起晶界處的物質(zhì)遷移，并使總晶界能減??；若ΔE＞0，則計(jì)算格點(diǎn)i是否接受新取向度值Qj，進(jìn)而得到引發(fā)高能態(tài)躍遷的Boltzman概率(P)，然后，在(0, 1)產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)W；當(dāng)P≥W時(shí)，賦予格點(diǎn)i新取向度值Qi′，否則，仍保持原有取向度值。

式中：k為Boltzman常數(shù)；T為模擬溫度。

通過(guò)分析可以發(fā)現(xiàn)，在上述躍遷模擬處理方式中，隨著模擬溫度T的升高，式(2)中物質(zhì)向高能態(tài)躍遷的Boltzman概率相應(yīng)增加。即在相同模擬時(shí)間下，隨著kT的增大，所選格點(diǎn)被賦予新取向度值后引起晶界能增加(ΔE＞0)，晶界增多的模擬現(xiàn)象更容易發(fā)生，而發(fā)生格點(diǎn)改變?nèi)∠蚨戎岛笠鹁Ы缒芙档?ΔE≤0)這一事件的概率始終為 1，最終導(dǎo)致出現(xiàn)晶粒長(zhǎng)大速率隨模擬溫度的升高而減慢這一與實(shí)際晶粒長(zhǎng)大規(guī)律不符的模擬結(jié)果。在實(shí)際晶粒長(zhǎng)大過(guò)程中，晶界處的物質(zhì)須先克服一定能壘(G)后才能躍遷至新?tīng)顟B(tài)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)晶界遷移。但這一因素在原有晶粒長(zhǎng)大MC模擬方法中并未體現(xiàn)。為此，本研究提出如下改進(jìn)：

圖2 大多數(shù)MC模擬晶粒長(zhǎng)大過(guò)程中物質(zhì)狀態(tài)躍遷的模擬示意圖Fig.2 Schematic of mass status transition simulation used in previous MC method to simulate grain growth

1) 將模擬對(duì)象離散成n×n的四方格點(diǎn)，每個(gè)格點(diǎn)隨機(jī)賦予某一整數(shù)型取向度值 Q(1≤Q≤Qmax)，由此完成模擬對(duì)象初始化，本研究中n=200，Qmax=160。

2) 隨機(jī)選取任一處于晶界處的格點(diǎn) i(即被選格點(diǎn) i周?chē)腥∠蚨炔煌南噜徃顸c(diǎn))，其取向度值為Qi，然后將每個(gè)相鄰格點(diǎn)的取向度值Qj(Qi≠ Qj)隨機(jī)逐一嘗試賦予被選格點(diǎn) i，并根據(jù)式(4)計(jì)算相應(yīng)的晶界能變化ΔE，進(jìn)而給出引起晶界能降幅最大(ΔE≤0)的取向度值Qjj。若將每個(gè)相鄰格點(diǎn)的取向度值賦予被選格點(diǎn)i后，均引起晶界能增大(ΔE＞0)，則選取引起晶界能升幅最小的取向度值Qjj；若有多個(gè)取向度值賦予被選格點(diǎn)i后均引起晶界能降幅最大或者升幅最小，則從中隨機(jī)選取。這種“擇優(yōu)轉(zhuǎn)換”的處理方式考慮了體系能量降低的最大程度是體系狀態(tài)優(yōu)先變化的動(dòng)力，并促使晶界朝其曲率中心移動(dòng)，同時(shí)也可有效提高模擬效率[6]。

3) 根據(jù)下式給出是否賦予被選格點(diǎn)i新取向度值Qjj的概率(P)，然后在(0, 1)產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)W，當(dāng)P≥W時(shí)，賦予格點(diǎn)i新取向度值Qjj，否則，仍保持原有取向度值。式中：G為通過(guò)改變被選格點(diǎn)取向度值來(lái)模擬物質(zhì)躍遷時(shí)所需克服的激活能壘。

在式(6)給出的躍遷概率計(jì)算方法中，同時(shí)考慮了物質(zhì)躍遷需克服一定能壘以及躍遷前、后的晶界能狀態(tài)這兩種因素，并且也能夠模擬給出物質(zhì)有可能通過(guò)能量起伏向高能態(tài)躍遷的情況，因此物理意義更為明確。

對(duì)所有格點(diǎn)遍歷處理至到給定的模擬時(shí)間步后終止模擬，并給出相應(yīng)的平均晶粒尺寸隨模擬時(shí)間延長(zhǎng)的變化趨勢(shì)以及微觀結(jié)構(gòu)。

2 結(jié)果與討論

2.1 特定模擬條件下的晶粒長(zhǎng)大過(guò)程

圖3中所示為G = 1、J = 1以及kT = 1.0時(shí)，平均晶粒半徑隨模擬時(shí)間延長(zhǎng)的變化趨勢(shì)及其擬合曲線?？梢?jiàn)，隨著模擬時(shí)間的延長(zhǎng)，平均晶粒半徑呈拋物線形式逐漸變長(zhǎng)。其中，晶粒長(zhǎng)大速率在模擬初期相對(duì)較快，并隨模擬時(shí)間的延長(zhǎng)而逐漸趨于平緩，與實(shí)際晶粒長(zhǎng)大過(guò)程相符。對(duì)平均晶粒尺寸隨模擬時(shí)間延長(zhǎng)的變化趨勢(shì)進(jìn)行擬合，所得擬合曲線與平均晶粒半徑數(shù)值變化之間吻合程度良好，并可得到擬合曲線的模擬長(zhǎng)大指數(shù)為0.493，接近理論長(zhǎng)大指數(shù)(0.5)。

圖3 在G=1，J=1以及kT=1.0的條件下平均晶粒半徑隨模擬時(shí)間延長(zhǎng)的變化趨勢(shì)及擬合曲線Fig.3 Change tendency and fitted curve of average grain radius with extending simulation time under conditions of G=1,J=1, and kT=1.0

圖4所示為晶粒長(zhǎng)大微觀結(jié)構(gòu)隨模擬時(shí)間延長(zhǎng)的演變過(guò)程的模擬結(jié)果?？梢?jiàn)，隨著模擬時(shí)間的延長(zhǎng)，小晶粒逐漸變小，直至在晶界處消失，而大晶粒則通過(guò)吞噬周?chē)【ЯＶ饾u長(zhǎng)大，并具有5～7條平直晶界，最終引起晶粒總數(shù)量減少，晶粒平均尺寸增加。另外，也可以發(fā)現(xiàn)，晶界在向其曲率中心移動(dòng)的過(guò)程中逐漸趨于平直化，有效避免了采用元胞自動(dòng)機(jī)方法模擬晶粒長(zhǎng)大過(guò)程時(shí)容易形成鋸齒狀不平整晶界的問(wèn)題[18?19]。同時(shí)，三晶界交角逐漸轉(zhuǎn)變成120?，表明晶界處界面張力隨著模擬時(shí)間的延長(zhǎng)而逐漸達(dá)到平衡狀態(tài)。另外，圖5所示為鈮鎂酸鉛陶瓷在1 200 ℃退火4 h后的斷口顯微結(jié)構(gòu)，通過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，模擬得到的晶界分布拓?fù)涮卣髋c實(shí)驗(yàn)觀察結(jié)果較為一致。

圖4 在 G = 1，J = 1和 kT = 1模擬條件下歷經(jīng)不同模擬時(shí)間后得到的模擬晶粒顯微組織: (a) tMCS=120; (b) tMCS=240;(c) tMCS=360; (d) tMCS=480Fig.4 Development of simulation microstructure with extending simulation time under conditions of G = 1, J = 1 and kT = 1.0:(a) tMCS= 120; (b) tMCS=240; (c) tMCS=360; (d) tMCS=480

圖6所示為經(jīng)歷不同模擬時(shí)間后的相對(duì)晶粒尺寸的分布情況。由圖6可看出，不同模擬時(shí)間下所得到的相對(duì)晶粒尺寸均呈對(duì)數(shù)正態(tài)分布；進(jìn)一步擬合得到的相對(duì)晶粒尺寸分布曲線也基本相同，即具有時(shí)間不變性。另外，也沒(méi)有出現(xiàn)特別粗大的晶粒，最大晶粒尺寸約為平均晶粒尺寸的2.5倍。因此，可以認(rèn)為本研究采用的改進(jìn)MC方法可模擬得到較為理想的正常晶粒長(zhǎng)大過(guò)程。

圖5 鈮鎂酸鉛陶瓷在1 200 ℃退火4 h后的斷口顯微結(jié)構(gòu)Fig.5 Fracture microstructure of lead magnesium niobate after being annealed at 1 200 ℃ for 4 h

2.2 不同模擬溫度下的晶粒長(zhǎng)大過(guò)程

圖7所示為G = 1和J = 1時(shí)，平均晶粒半徑在不同kT隨模擬時(shí)間延長(zhǎng)的變化趨勢(shì)和擬合曲線。由圖7可見(jiàn)，隨著模擬溫度的升高，晶粒長(zhǎng)大速度呈加快趨勢(shì)，無(wú)需重新構(gòu)建溫度—時(shí)間對(duì)應(yīng)關(guān)系就能夠較好地修正原有MC模擬方法中出現(xiàn)晶粒長(zhǎng)大速率隨溫度升高而減慢這一與實(shí)際晶粒長(zhǎng)大規(guī)律不符的模擬現(xiàn)象。另外，在不同模擬溫度下，平均晶粒尺寸也均隨模擬時(shí)間的延長(zhǎng)而呈拋物線形式增長(zhǎng)，擬合后可得到模擬晶粒長(zhǎng)大指數(shù)分布在 0.478～0.493的范圍內(nèi)，均與理論長(zhǎng)大指數(shù)(0.5)較為接近。

圖6 G = 1，J = 1以及kT = 1.0時(shí)經(jīng)歷不同模擬時(shí)間后的相對(duì)晶粒尺寸分布情況Fig.6 Relative grain size distribution after simulation for different times under conditions of G = 1, J = 1 and kT = 1.0

圖7 G = 1，J = 1，kT = 1.0、1.5和2.0時(shí)平均晶粒半徑隨模擬時(shí)間延長(zhǎng)的變化趨勢(shì)和擬合曲線Fig.7 Change tendencies and fitted curves of average grain radius with extending simulation times under conditions of G = 1, J = 1, kT = 1.0 (a), 1.5 (b) and 2.0 (c)

圖8 G = 1，kT =1.0、1.5、2.0時(shí)不同模擬時(shí)間下的微觀結(jié)構(gòu)Fig.8 Simulation of microstructures at different extending simulation times under condition of G = 1: (a) kT =1.0, tMCS=240;(b) kT =1.0, tMCS=480; (c) kT =1.5, tMCS=240; (d) kT =1.5, tMCS=480; (e) kT =2.0, tMCS=240; (f) kT =2.0, tMCS=480

2.3 不同激活能壘狀態(tài)下的晶粒長(zhǎng)大過(guò)程

圖9所示為在J=1，kT=1時(shí)平均晶粒半徑隨模擬時(shí)間延長(zhǎng)的變化趨勢(shì)和擬合曲線。由圖9可見(jiàn)，在模擬時(shí)間相同時(shí)，平均晶粒半徑隨著激活能壘(G)的增加而逐漸減小。對(duì)平均晶粒半徑數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，可得到不同激活能壘狀態(tài)(G)下的模擬晶粒長(zhǎng)大指數(shù)在0.472～0.493的范圍內(nèi)。

圖9 平均晶粒半徑隨模擬時(shí)間延長(zhǎng)的變化趨勢(shì)和擬合曲線Fig.9 Change tendency and fitted curve of average grain radius with extending simulation times

圖10 kT = 1時(shí)不同模擬時(shí)間下的微觀結(jié)構(gòu)的模擬結(jié)果Fig.10 Simulation of microstructure at different extending simulation times under condition of kT=1: (a) G=1, tMCS=240; (b) G=1,tMCS=480; (c) G=2, tMCS=240; (d) G=2, tMCS=480

圖10所示為J=1，kT = 1時(shí)，晶粒長(zhǎng)大微觀結(jié)構(gòu)隨模擬時(shí)間延長(zhǎng)的演變過(guò)程。從10可看出，在模擬溫度和時(shí)間條件相同時(shí)，隨著激活能壘狀態(tài)(G)的增加，物質(zhì)躍遷至相鄰其他晶粒并引起晶界遷移也變得更困難，并最終導(dǎo)致晶粒長(zhǎng)大速率減慢，在模擬所得微觀結(jié)構(gòu)上表現(xiàn)為晶粒數(shù)量相應(yīng)增加，晶粒尺寸逐漸減小。

3 結(jié)論

1) 在各種模擬條件下得到的模擬晶粒長(zhǎng)大指數(shù)在 0.472～0.493的范圍內(nèi)，接近理論晶粒長(zhǎng)大指數(shù)(0.5)。在模擬所得的微觀結(jié)構(gòu)中，小晶粒隨模擬時(shí)間的延長(zhǎng)逐漸變小，直至在晶界處消失，大晶粒通過(guò)吞噬周?chē)【ЯＶ饾u長(zhǎng)大，晶界向其曲率中心移動(dòng)并趨于平直化，三晶界交角逐漸轉(zhuǎn)變成 120?。通過(guò)改進(jìn)MC方法可以模擬得到與晶粒長(zhǎng)大動(dòng)力學(xué)相關(guān)理論和實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象符合較好的晶粒形貌演變過(guò)程和晶界分布拓?fù)涮卣鳌?/p>

2) 在躍遷概率計(jì)算中引入躍遷能壘因素，可將物質(zhì)在晶界處的躍遷概率與模擬溫度直接關(guān)聯(lián)，即躍遷概率隨模擬溫度的升高而增加，進(jìn)而能夠模擬得到晶粒長(zhǎng)大速率隨模擬溫度的升高而加快的模擬結(jié)果。另外，通過(guò)增加躍遷能壘，使物質(zhì)躍遷至相鄰其他晶粒并引起晶界遷移的概率降低，因此可以給出晶粒長(zhǎng)大速率相應(yīng)減慢的模擬結(jié)果。改變模擬溫度和能壘等模擬條件后，相應(yīng)得到的晶粒長(zhǎng)大速率變化趨勢(shì)與實(shí)際晶粒長(zhǎng)大規(guī)律較為一致。

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(編輯 楊 華)

Modified Monte Carlo simulation of normal grain growth considering energy barrier for mass transition

LIU Jian-yuan, ZHANG Xiao-yong, ZHOU Ke-chao
(State Key laboratory of Powder Metallurgy, Central South University, Changsha 410083, China)

TG 111; TP 391.7

A

1004-0609(2010)05-0961-08

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃資助項(xiàng)目(2005CB623703)；中南大學(xué)博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2009年)

2009-07-15；

2009-12-17

張曉泳，博士；電話：0731-88830464；E-mail: zhangxiaoyong@mail.csu.edu.cn