殷 建,殷 業(yè)

(1.無錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)課教學(xué)部,江蘇 無錫 214121; 2.上海師范大學(xué)信息與機(jī)電工程學(xué)院,上海 200234)

相對論中的質(zhì)空積守恒

殷 建1,殷 業(yè)2

(1.無錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)課教學(xué)部,江蘇 無錫 214121; 2.上海師范大學(xué)信息與機(jī)電工程學(xué)院,上海 200234)

相對論中不同的參照系有不同的時(shí)空度量和質(zhì)量度量,當(dāng)測量從相對物體靜止的參照系變到相對物體運(yùn)動(dòng)的參照系時(shí)對物體度量的體積會變小,質(zhì)量會增加,在物體的體積變小和質(zhì)量增加之間是否存在數(shù)量上的內(nèi)在聯(lián)系,文章研究了該問題,并在相對論中證明了它們之間的關(guān)系遵循:質(zhì)空積守恒,同時(shí)證明質(zhì)空積不但對慣性系守恒而且對平移非慣性系也守恒。文中還分析了質(zhì)空積守恒和能量守恒的關(guān)系,發(fā)現(xiàn)質(zhì)空積守恒是能量守恒的更高級形式。

相對論;質(zhì)空積;質(zhì)空積守恒;真空能;能量守恒

相對論中不同的參照系有不同的時(shí)空度量和質(zhì)量度量,愛因斯坦在第一篇關(guān)于相對論的論文中就指出一個(gè)相對地面高速運(yùn)動(dòng)的球從地面觀察是一個(gè)橢球[1]。也即從與球一起運(yùn)動(dòng)的參照系測量變到地面參照系測量,球的體積會縮小,但質(zhì)量會增大,那么在體積縮小和質(zhì)量增大之間存不存在數(shù)量上的內(nèi)在聯(lián)系?本文研究了該問題,并在相對論中證明了它們之間的關(guān)系遵循:質(zhì)空積守恒,同時(shí)證明質(zhì)空積不但對慣性系守恒而且對平移非慣性系也守恒。根據(jù)愛因斯坦的質(zhì)能關(guān)系公式 ,質(zhì)量是一種儲能形式,當(dāng)質(zhì)量變化時(shí)必伴隨著能量的變化,本文分析了質(zhì)空積守恒和能量守恒的關(guān)系,發(fā)現(xiàn)質(zhì)空積守恒是能量守恒的更高級形式。

1 相對論中不同參照系對物體體積和質(zhì)量的度量

愛因斯坦在“論動(dòng)體的電動(dòng)力學(xué)”[1]中指出,經(jīng)典物理學(xué)在解釋運(yùn)動(dòng)物體的電磁現(xiàn)象時(shí)會表現(xiàn)出不對稱,為了解決這一矛盾,愛因斯坦選擇了洛倫茲變換,因?yàn)槁鍌惼澴儞Q對麥克斯韋方程組是協(xié)變的,這樣就解決了電動(dòng)力學(xué)中的所有不對稱現(xiàn)象。

洛倫茲變換為:

其中 K系為 (O xyzt)和 K′系為 (O′x′y′z′t′), K′相對 K沿 x軸正向勻速運(yùn)動(dòng)。

至此狹義相對論的建立只剩一個(gè)問題,如何導(dǎo)出洛倫茲變換?洛倫茲得到洛倫茲變換是為了使他的電子論可以解釋新的實(shí)驗(yàn)事實(shí)[2],特別是邁克爾遜 -莫雷實(shí)驗(yàn)。也就是洛倫茲變換的獲得并不是為了滿足方程的坐標(biāo)系協(xié)變性。愛因斯坦為了得到洛倫茲變換,進(jìn)行了革命性的思考:1)絕對的運(yùn)動(dòng)不存在,只存在相當(dāng)運(yùn)動(dòng);2)寧可犧牲同時(shí)性,也要保證規(guī)律的協(xié)變性;3)歐幾里得:“公理 +邏輯 =理論”的方法可以用來建構(gòu)新力學(xué),這種方法愛因斯坦稱為“原理理論”[3]?；谶@樣的哲學(xué)思考愛因斯坦建立了兩條公設(shè):1)光速不變原理。2)狹義相對性原理。并從這兩條公設(shè)出發(fā),通過簡單的邏輯推理得到了洛倫茲變換[4],至此愛因斯坦建立了狹義相對論。

下面我們討論運(yùn)動(dòng)尺變短和運(yùn)動(dòng)物體體積變小的問題。

從洛侖茲變換(1)可得在 K和 K′中度量尺的長度,有長度縮短的相對論效應(yīng)。其公式如下:

其中:l為 K系中測量的長度,l0為 K′系中測量的長度,考慮一與運(yùn)動(dòng)方向垂直的長方形面 S,與 K′一起運(yùn)動(dòng),則從 K看 K′中的面 S,面積不變, V=lS構(gòu)成一封閉的長方體運(yùn)動(dòng)空間。從(2)式可得:lS=βl.S,即:

從(3)式可知從相對做勻速運(yùn)動(dòng)的不同慣性坐標(biāo)系中測量一個(gè)固定在運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中的長方體物體的體積時(shí),會發(fā)生運(yùn)動(dòng)物體體積縮小的相對論效應(yīng),體積縮小的倍數(shù)即為β。以上討論中物體的形狀是規(guī)則的長方體,那么對于任意形狀的物體(3)式是否成立?可以證明任意形狀物體,靜體積V0和動(dòng)體積V之間仍有關(guān)系:V=βV0。

證明:

圖 1 靜體積和動(dòng)體積的關(guān)系示意圖Fig.1 Sketch m ap to reveal the relationship betw een static volum e and dynam ic volum e

如圖 1,在 K系中,沿運(yùn)動(dòng)方向 x取封閉空間中的一微柱體 lds,ds垂直 x軸,則封閉空間的動(dòng)體積為:

同理在 K′系中,靜體積為:

所以有:V=βV0,證畢。

公式(3)是在慣性坐標(biāo)系中得到的,如果放寬條件讓物體以任意速度平動(dòng),則靜體積和動(dòng)體積之間仍然有關(guān)系 (3)。因?yàn)槲覀兛梢钥疾?(dx,dt)內(nèi)的坐標(biāo)系,在此瞬間內(nèi)坐標(biāo)系可以看成是勻速的,因?yàn)槭瞧絼?dòng),所以 K和 K′之間的長度縮短倍數(shù)β在垂直于 x軸的整個(gè)平面內(nèi)是一樣的,故仍有關(guān)系(3)式。

洛倫茲變換雖然保證了電動(dòng)力學(xué)方程在 K和K′之間變換時(shí)形式不變,但牛頓力學(xué)對洛倫茲變換是不協(xié)變的,為了使牛頓力學(xué)方程對洛倫茲變換也協(xié)變,我們必須修正牛頓力學(xué)的形式[4]。這一修正導(dǎo)致了另外的相對論效應(yīng):1)運(yùn)動(dòng)物體質(zhì)量增加;2)質(zhì)量是一種能量的儲存形式,即得愛因斯坦質(zhì)能方程:E=m c2,本質(zhì)上質(zhì)能方程是運(yùn)動(dòng)物體質(zhì)量增加效應(yīng)的必然結(jié)果,設(shè)想外界不斷地將能量加給物體,使物體運(yùn)動(dòng)速度加快,但相對論中光速是所有物體運(yùn)動(dòng)的極限速度,所以外界加到物體上的能量,不可能通過速度無限體現(xiàn),只能通過增加質(zhì)量無限制地將能量存儲到質(zhì)量中去。

為了使牛頓運(yùn)動(dòng)方程對洛倫茲變換協(xié)變,同時(shí)考慮到相對論時(shí)空觀中,空間和時(shí)間的相關(guān)性,閔可夫斯基提出了統(tǒng)一的四維時(shí)空概念[5,6],令時(shí)間維為:x4=ict,并稱四維時(shí)空為世界,在四維空間中距離公式和笛卡爾的三維空間中的距離公式形式上完全一樣[7]:

這樣洛倫茲變換的必要條件就可表示成:

當(dāng) ds2=0時(shí),(5)就是光速不變原理,顯然洛倫茲變換是必須滿足的。

在此基礎(chǔ)上將所有的牛頓力學(xué)中的三維量改造成四維量,如速度、加速度、動(dòng)量、力等,并將力學(xué)方程改造成張量方程,因?yàn)閺埩糠匠炭梢宰龅綄ψ鴺?biāo)變換是協(xié)變的。

經(jīng)改造后的力學(xué)動(dòng)力學(xué)方程為:

其分量方程為:

其中:μ=1,2,3,4。

(7)就是改造后的對洛倫茲變換協(xié)變的力學(xué)動(dòng)力學(xué)方程,在得到(7)的過程中必須定義新的質(zhì)量為:

其中m0為靜質(zhì)量,m為動(dòng)質(zhì)量。公式 (8)雖然是推理中得到的,但已為粒子加速器實(shí)驗(yàn)所證實(shí),(8)表明運(yùn)動(dòng)物體的質(zhì)量會增加。(8)對做平動(dòng)的變速坐標(biāo)系在瞬時(shí)中也成立。

2 質(zhì)空積守恒

這一節(jié)我們討論當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)時(shí),質(zhì)量增加和體積縮小之間的數(shù)量關(guān)系。(3)和 (8)分別給出了在K系和 K′系中度量物體體積和質(zhì)量的關(guān)系公式。

定義:運(yùn)動(dòng)物體的體積與它質(zhì)量的乘積稱為運(yùn)動(dòng)物體的質(zhì)空積。

前面我們已經(jīng)證明了對相對做勻速運(yùn)動(dòng)的慣性坐標(biāo)系和對慣性坐標(biāo)系做平動(dòng)的坐標(biāo)系 (3)和(8)均成立。將 (3)式乘以 (8)式,可得:

(9)式說明,相對于靜系靜止的物體的質(zhì)空積等于相對于靜系運(yùn)動(dòng)的物體的質(zhì)空積,并且與運(yùn)動(dòng)速度無關(guān),即有:

1、2、3…分別表示以不同的速度運(yùn)動(dòng)的同一物體,(10)式表明運(yùn)動(dòng)的物體的體積與它的質(zhì)量成反比,體積減小,質(zhì)量增大。當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)速度接近光速時(shí),體積無限小,質(zhì)量無限大,但乘積保持不變,與速度無關(guān)。(10)可寫成以下守恒形式。

(11)式表明:質(zhì)空積守恒。至此我們就得到了運(yùn)動(dòng)物體質(zhì)量和體積之間的數(shù)量關(guān)系,并證明了:質(zhì)空積守恒對慣性參照系和平動(dòng)非慣性參照系成立。

質(zhì)空積守恒是在狹義相對論中證明的,在廣義相對論中 (11)式需在一定假設(shè)條件下才能成立。處于引力場中的局域總能找到一個(gè)坐標(biāo)系用慣性力場抵消引力場得到滿足狹義相對論的條件,也即質(zhì)空積守恒成立。但從一個(gè)統(tǒng)一的坐標(biāo)系去考察非均勻的引力場空間中各點(diǎn)時(shí),dm變化引起 dV的變化,dV內(nèi)的空間能量密度可能不同,所以不能相加,無法積分,故質(zhì)空積不守恒,但能量守恒仍成立,所以根據(jù)宇宙學(xué)原理假設(shè):空間能量密度處處相等,并在空間膨脹過程中保持等密度膨脹 (此假設(shè)在宇觀范圍內(nèi)近似滿足)。

將(11)式兩邊乘以平均的宇觀空間能量密度ρ0,得:

E0表示空間中蘊(yùn)含的能量,(12)式雖然和(11)式是等價(jià)的,但 (12)式顯式地反映了質(zhì)量與真空能的關(guān)系。

3 質(zhì)空積守恒與能量守恒的關(guān)系

我們考察一個(gè)含有物質(zhì)的有限封閉空間V,其中有質(zhì)量m,如下圖:

我們不去對這個(gè)封閉空間做任何改變,僅僅用不同的兩個(gè)參考系考察它,A參考系相對于封閉空間靜止,B參考系以速度 V′運(yùn)動(dòng)。封閉空間相對于A參考系的質(zhì)量為mA,體積VA;相對于B參考系的質(zhì)量為 mB,體積 VB,根據(jù)相對論,mAVB,當(dāng)從B參照系變到A參照系,質(zhì)量減少,體積增加,根據(jù)愛因斯坦質(zhì)能公式 E=m c2,質(zhì)量減少意味著能量減少,由于封閉空間只有體積變化,能量又不可能消失,所以只能是能量轉(zhuǎn)化到增加的空間體積中去了。從這里我們看到空間也是儲存能量的一種形式,物質(zhì)和空間能可以相互轉(zhuǎn)化,所以說質(zhì)空積守恒本質(zhì)上是能量守恒的更高級形式。

圖 2 質(zhì)量和真空能之間的關(guān)系示意圖Fig.2 Sketch m ap revealing the relationship betw een m ass and vacuum energy

能量守恒定律的適用范圍,在歷史上有過多次擴(kuò)展[8]。人類首先發(fā)現(xiàn)動(dòng)能和勢能可以相互轉(zhuǎn)化,遵循機(jī)械能守恒定律;后來發(fā)現(xiàn)了內(nèi)能和機(jī)械能可以相互轉(zhuǎn)化,遵循熱力學(xué)第一定律;后來愛因斯坦又發(fā)現(xiàn)質(zhì)量和能量可以相互轉(zhuǎn)化,遵循質(zhì) -能守恒定律;這里我們發(fā)現(xiàn)質(zhì)量和真空空間能可以相互轉(zhuǎn)化,遵循質(zhì)空積守恒,這樣將能量守恒定律的適用范圍擴(kuò)展到了包含真空空間能。

以上的推導(dǎo)和分析均屬于經(jīng)典相對論的邏輯范疇,但如果假設(shè) (12)式能定性地適用于整個(gè)大爆炸后的宇宙,我們就可以從能量守恒和轉(zhuǎn)化的角度去分析宇宙膨脹問題。從 (12)式看引力質(zhì)量和蘊(yùn)含在空間中的暗能量之間可以發(fā)生轉(zhuǎn)化,但需遵循能量守恒定律,如果將宇宙膨脹的原因歸結(jié)為暗能量的斥力引起的,那么宇宙中必存在引力質(zhì)量不斷轉(zhuǎn)化為空間暗能量的機(jī)制,即宇宙膨脹是有代價(jià)的,可以設(shè)想當(dāng)所有引力質(zhì)量全部轉(zhuǎn)化為空間能量,并忽略非能量轉(zhuǎn)化引起的宇宙膨脹,則宇宙就不可能再膨脹了。當(dāng)然(12)式是否真的能定性地適用于整個(gè)宇宙需要考證。

在用牛頓力學(xué)解決力學(xué)問題時(shí),通常有兩種方法[9]:1)直接從動(dòng)力學(xué)方程牛頓第二定律出發(fā)分析解決問題;2)從能量、動(dòng)量、角動(dòng)量等守恒定律出發(fā)分析解決問題。在現(xiàn)在的宇宙學(xué)中,研究宇宙的膨脹問題,我們一般是用愛因斯坦引力場方程及其解的模型分析解答問題的[10-12],我們還從來沒有從能量守恒的角度分析過整個(gè)宇宙的膨脹問題,質(zhì)空積守恒給我們提供了這種可能。

4 總 結(jié)

愛因斯坦的質(zhì)能公式使質(zhì)量成為儲能的一種形式,質(zhì)空積守恒定律使真空空間也成為儲能的一種形式,真空能[13]的增加或減少,必然伴隨著其他形式能量的變化。真空空間收縮則質(zhì)量增加,能量從存儲在空間中,轉(zhuǎn)移到存儲在質(zhì)量中;真空空間膨脹則質(zhì)量減少,能量從存儲在質(zhì)量中轉(zhuǎn)移到存儲在空間中,質(zhì)空積守恒本質(zhì)上是能量守恒的更高級形式。

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Conversation ofMass2Space Product in Relativity

YIN J ian1,YIN Ye2
(1.D epartm ent of Foundation Courses,W uxi Institute of Technology,W uxi 214121,China; 2.College of Inform ation,M echanical and Electrical Engineering, Shanghai N orm al U niversity,Shanghai 200234,China)

D ifferent reference fram es in Relativity have different space m easurem ent and m ass m easure2 m ent.Cubage of an object decreases and its m ass increases w hen relative object′s rest reference fram e changes into m oving reference fram e.Is there any num erical internal relationship betw een the decrease of cubage and increase of m ass of the object?The paper explored the answ er to this question,and proved that their relationship follow s Conversation of M ass-Space Product,and also proved thatM ass-space Product keeps conservation not only to inertial reference fram e but also to translation non-inertial refer2 ence.B y analyzing the relationship betw een Conservation of M ass-space Product and Conservation of Energy,the paper com es to the conclusion that in object conservation ofM ass-space Product represents the higher level of conservation of energy.

relativity;M ass2space Product;Conversation of M ass2Space Product;W acuum Energy;Con2 versation of Energy

O412

A

1671-7880(2010)04-0052-04

2010-06-05

國家科技支撐計(jì)劃課題(2007BAK27B02)

殷 建(1963— ),男,江蘇無錫人,副教授。