張新峰范士林賈鳳東薛平許祥源3)鐘志萍?

1)(教育部原子分子納米重點實驗室，清華大學物理系，北京100084)

2)(中國科學院研究生院物理科學學院，北京100049)

3)(首都師范大學物理系，北京100037)

(2009年6月15日收到;2009年12月16日收到修改稿)

鈧原子的自電離里德伯能級3d4s(1D2)nf2D3/2，3d4s(1D2)nf2F5/2和3d4s(1D2)np2D3/2的理論研究*

張新峰1)范士林2)賈鳳東2)薛平1)許祥源1)3)鐘志萍2)?

1)(教育部原子分子納米重點實驗室，清華大學物理系，北京100084)

2)(中國科學院研究生院物理科學學院，北京100049)

3)(首都師范大學物理系，北京100037)

(2009年6月15日收到;2009年12月16日收到修改稿)

在多通道量子虧損理論框架下，利用相對論多通道理論，分別在凍結實近似和考慮偶極極化下計算鈧原子的Jπ=(3/2)－，(5/2)－的三個收斂于［Ar］3d4s(1D2)的自電離里德伯系列的能級.對3d4s(1D2)np2D3/2和3d4s (1D2)nf2F5/2這兩個系列，計算結果表明，考慮偶極極化效應后，理論計算和實驗測量的量子數(shù)虧損之差普遍小于0.01.而對3d4s(1D2)nf2D3/2系列，考慮偶極極化效應后的結果和僅考慮凍結實的結果比較接近，理論計算和實驗測量的量子數(shù)虧損之差普遍在0.04左右.

相對論多通道理論，多通道量子虧損理論，電子-電子關聯(lián)，自電離里德伯系列

PACC:3120A，3120T，3280D

1. 引言

鈧原子Sc的核電荷數(shù)為21，基態(tài)電子排布式為［Ar］3d4s22Do5/2，有三個價電子.Sc原子是最簡單的具有未填滿的子殼層的元素.由于4s軌道和3d軌道的近簡并，Sc前13個電離閾的的總間隔僅為1.7 eV(14000cm－1)［1］，收斂到這些閾值的里德伯系列或自電離里德伯系列的譜線密集，光譜很復雜［2］.這些里德伯系列或自電離里德伯系列之間的相互作用可以展示豐富的電子-電子關聯(lián)作用.因此Sc原子價電子躍遷光譜是研究電子關聯(lián)效應和復雜能級結構的理想對象.同時，由于其他過渡元素和Sc類似，價電子層都含有s和d軌道［3，4］，外層處于激發(fā)態(tài)的電子都具有p或者f電子，因此我們在Sc原子能級結構計算的經(jīng)驗也可以應用到這些元素.Sc原子在高壓下還表現(xiàn)出超導的性質［5］，能促進碳納米結構的儲氫能力［6］.

在實驗方面，Sc原子價電子躍遷光譜數(shù)據(jù)已經(jīng)由Ralchenk.等［7］很好地總結了.關于鈧的自電離里德伯能級，Garton等［8］利用拍照的方法，實驗測量了鈧原子處于1200—3200之間的單光子吸收譜，并識別出了八個自電離里德伯系列.Robicheaux等［3，4，9］利用脈沖染料激光激發(fā)Sc原子束探測熒光的辦法，測量了能級躍遷處于4600—6000的能級躍遷，識別出更多的里德伯系列.理論方面，Robicheaux等［3，4，9］利用本征通道R-矩陣的方法計算了Garton等測量的吸收光譜，由此對Garton等［8］測量的大部分自電離系列能級重新進行了標識，其計算的能級所對應的量子數(shù)虧損和實驗測量值之間的差值大部分在0.03左右.但是他們的計算方法只是近乎從頭計算，即對18個核電子用帶偶極偏振的屏蔽庫侖勢的贗勢代替，通過Ls-jj表象轉換引入自旋-軌道相互作用［10，11］.Robicheaux等［3，4，9］在計算中共考慮了收斂于30個閾值的相關通道，大量通道的引入在取得帶來較高精度的同時，也帶來了巨大的計算量，對計算條件有較高要求.此外，Robicheaux等［3，4，9］的計算對大部分能級沒有具體分析哪些通道對電子-電子關聯(lián)效應起重要作用.最近，Jia等［12］在多通道量子虧損理論框架下，從第一性原理出發(fā)，利用相對論多通道理論對Sc原子自電離里德伯原子系列4s2nf2Fo7/2(n=4—23)作了不同層次的計算:凍結實近似，考慮偶極極化效應，考慮高階極化效應等，從而確定哪些效應對電子-電子關聯(lián)效應起主要的作用.他的計算表明，偶極極化效應非常重要.在考慮了偶極極化效應后，除n=20，22，23，計算的能級位置所對應的量子數(shù)虧損與實驗測量之差為0.01—0.03.

本工作是在Jia等［12］的基礎上，利用相對論多通道理論，分別在凍結實近似，以及考慮偶極極化近似的兩個層次下計算了Jπ=(3/2)－，(5/2)－的三個實驗數(shù)據(jù)較為完整的鈧原子的自電離里德伯能級，即3d4s(1D2)nf2D3/2，3d4s(1D2)np2D3/2和3d4s(1D2)nf2F5/2三個自電離里德伯系列.

2. 理論方法

在多通道量子虧損理論(MQDT)［10，11，13—15］框架下，可以用一組物理的MQDT參數(shù)(本征量子數(shù)虧損μα、轉換矩陣Uiα)，對無限個里德伯態(tài)和與之相應的連續(xù)態(tài)以及自電離態(tài)做統(tǒng)一描述.相對論多通道量子數(shù)虧損理論(RMCT)是傳統(tǒng)組態(tài)相互作用理論的發(fā)展，這一理論是全相對論性的和非微擾的.傳統(tǒng)的組態(tài)相互作用方法，僅包含有限束縛組態(tài)的相互作用，因此也只能計算有限束縛態(tài)的能級和波函數(shù).相對論性多通道理論不僅考慮了有限束縛類組態(tài)的相互作用，同時考慮了無限多的里德伯態(tài)和相應的連續(xù)態(tài)的相互作用［16—21］.在此理論框架下可以計算有限束縛態(tài)的能級和波函數(shù)，束縛能域和連續(xù)能域的多通道量子虧損理論的物理參數(shù)(本征量子數(shù)虧損μα、轉換矩陣Uiα).然后在MQDT理論框架下計算原子的能級位置、朗道g因子以及耦合方式.

下邊我們簡單介紹一下相對論多通道量子數(shù)虧損理論.

根據(jù)量子電動力學，在庫侖規(guī)范下，忽略Breit相互作用和其他高階QED［22—24］修正，可得到原子中電子所滿足的狄拉克方程.為了求解多電子原子體系的狄拉克方程，可以把哈密頓量H分成兩部分，即(沒有特別說明，均為原子單位)

其中

為相對論性自洽場原子哈密頓量;

定義它為殘余相互作用［23，24］.

根據(jù)Dirac-Slater自洽場方法(局域交換近似)，可以得到原子的相對論性自洽勢VSCF.在此基礎上可求出所有束縛和連續(xù)的單電子波函數(shù)a，其中a對于束縛和連續(xù)波函數(shù)分別代表量子數(shù)nk和εk.以這組單電子正交完備基函數(shù)a，在一定的電子排布下，經(jīng)過反對稱化以及適當?shù)慕莿恿狂詈?，就可構造出組態(tài)波函數(shù)Φn及Φjε，形成N電子體系的正交完備基函數(shù).它們滿足下式:

任意一個能量本征態(tài)波函數(shù)Ψ(E，i)可表示成

下標j表示各電離通道，所謂電離通道是指由一系列的組態(tài)波函數(shù)，具有特定的總角動量和宇稱以及角動量耦合方式，其原子實處于特定狀態(tài)，而激發(fā)電子軌道能量不同.能量下限c是該通道的里德伯態(tài)與作為通道處理的連續(xù)化高里德伯態(tài)的分界能量;能量積分可在適當?shù)哪芰扛顸c上進行.上式中第一項是對較低激發(fā)態(tài)的展開，第二項是對各電離通道的求和及通道內連續(xù)化高里德伯態(tài)和連續(xù)態(tài)求積分.

這樣Dirac方程可以寫為Lippmann-Schwinger積分方程

這里Vab=〈Φa|V|Φb〉，其中a，b分別代表任意兩個不同的本征態(tài).其中，微擾勢Vv，v′，V，V分別代表分立-分立態(tài)，分立-連續(xù)態(tài)和連續(xù)-連續(xù)態(tài)相互作用矩陣元.

通過解積分方程，并利用對角化能殼K矩陣的方法，直接得到相對論多通道理論的物理參數(shù)(量子數(shù)虧損μα，轉換矩陣Uiα).從它們出發(fā)，就可對高里德伯態(tài)，自電離態(tài)及連續(xù)態(tài)作統(tǒng)一處理，從而計算電子的能級結構.激發(fā)態(tài)的能量i與本征通道量子數(shù)虧損和有效量子數(shù)具有以下關系:

在自電離能域，μα和Uiα具有如下的關系:

其中Dα是激發(fā)通道的偶極矩陣元，Dcc，ρ是核激發(fā)的矩陣元.Aρα是函數(shù)μα和Uiα的混合系數(shù).

如果光譜遠離核激發(fā)能區(qū)(我們所研究的能區(qū)就是遠離核激發(fā))，這時從初態(tài)到第ρ個自電離通道的約化偶極矩陣元近似為

散射截面部分可以寫成

其中df/dε是振子強度密度，α是精細結構常數(shù)，ω是原子單位下的光子能量.

計算中，我們關注的是哪些組態(tài)對研究能級的電子-電子關聯(lián)效應起主要的作用.我們計算分為了兩個層次:凍結實近似和考慮偶極極化效應.所謂凍結實近似是指忽略了由于離子實的變化而導致的電子-電子關聯(lián)效應，例如對鈧原子，對收斂于［Ar］3d4s1D的里德伯系列，凍結實近似認為離子實3d4s1D不受激發(fā)電子的影響，計算中只考慮收斂到3d4s1D的有關組態(tài).實際上，必須考慮激發(fā)電子對離子實的影響，比較重要的有動態(tài)極化效應［17，18］.動態(tài)極化效應是指激發(fā)電子繞核運動產(chǎn)生的電場使得離子實極化，導致離子實角動量變化同時為保持原子總角動量和宇稱不變，激發(fā)電子狀態(tài)發(fā)生相應變化.其中有|Δl|=1，2，…，這里l是離子實的角動量量子數(shù)，|Δl|=1稱為偶極極化，|Δl|= 2成為四極極化，依次類推.一般來說偶極極化作用會比較大.對鈧原子，離子實|Ar|3d4s，|Δl|=1對應的離子實有3d4p，3d5p，…，|Δl|=2對應3d2，4s2，….表1列出了能級［Ar］3d4s1D附近的Sc+能級結構實驗值.注意從表1可以看到，對3d4s(1D2) nl能級，偶極極化效應對應的3d4p n′l′通道的能級比3d4s(1D2)nl的能級高，甚至比高階極化效應|Δl|=2對應3d2n″l″，4s2nl通道能級都高.但我們計算4s2nf的經(jīng)驗表明［8］，即使偶極極化效應對應的能級遠遠高于高階極化效應對應的能級，但偶極極化效應對電子-電子關聯(lián)作用貢獻更大.因此本文只考慮了凍結實近似和考慮偶極極化效應兩個層次的計算.

對于自電離譜峰的標識，在理論上是確定哪個本征通道對該自電離譜峰起主要作用.一般地，如果感興趣的自電離譜所跨的能區(qū)比較小，我們可以認為偶極躍遷矩陣元是常數(shù).可以令Dα′=δαα′，從而計算出特定的本征通道譜，如圖1所示.通過對比實驗譜和計算得到的本征通道譜，可以確定自電離峰的標識.具體說如果實驗譜峰和計算的本征通道譜的峰的位置比較接近，就可以把實驗峰標識為屬于這個本征通道.但是本征通道譜不能準確的反映某個自電離峰的峰形，尤其是對于那些被強烈干擾的共振態(tài).事實上，準確描述自電離譜峰的峰形可以用只考慮一個共振態(tài)和一個連續(xù)通道相互作用的Fano線形［22—24］，或反映多個共振態(tài)和多個連續(xù)通道相互作用的Shore參數(shù)描述［25，26］.但在通常情況下，我們這樣的標識方法可以滿足標識自電離譜峰的目的［27—29］.注意由于組態(tài)相互作用，一個本征通道譜中可能出現(xiàn)兩個或多個自電離里德伯系列，見圖1(a)和(b).將強的里德伯系列即展開系數(shù)比較大的系列歸屬為該本征通道.

圖1 計算得本征通道譜(a)本征通道譜3d4s(1D2)nf2D3/2; (b)本征通道譜3d4s(1D2)np2D3/2

關于自電離峰的峰值的確定，眾所周知，在共振態(tài)能級附近，碰撞本征相移πτρ會突然改變π相位.一般在相位跳變最大處對應的躍遷截面最大，對應為該共振態(tài)的峰值，當然這只是一種粗略確定峰位的辦法.

表1 Sc+能級結構實驗值

3. 結果和討論

在多通道量子虧損理論框架下，利用相對論多通道理論，分別在凍結實近似和考慮偶極極化效應下，計算了實驗數(shù)據(jù)較為完整，Jπ=(3/2)－，(5/ 2)－的三個收斂于3d4s(1D2)的自電離里德伯系列(分別稱為為系列1，2和3).表2至表4分別給出了鈧原子自電離里德伯能級3d4s(1D2)np2D3/2，3d4s(1D2)nf2D3/2，3d4s(1D2)nf2F5/2，的計算結果以及與實驗值的比較.如前所述，Robicheaux等［3，4，7］對Garton等測量的大部分自電離系列能級重新進行了整理和標識，由于他們計算的量子數(shù)虧損和實驗能級量子數(shù)虧損之差大多在0.03以下，而且計算的譜形和實驗所得到的譜形比較符合.因此我們采用Robicheaux等［3，4，7］整理后的實驗能級系列，但組態(tài)的標識可能不同，主要是因為計算中包含的組態(tài)數(shù)不同.注意Robicheaux等［3，4，7］計算是通過LS-jj表象轉換引入自旋-軌道相互作用法，給出的能級標識是LS耦合的，而我們是相對論性的計算，給出的是jj耦合的標識.

關于三個系列的標識，系列1，2我們給出的組態(tài)的標識和Robicheaux等［3，4，7］正好對調.對于系列1(表2)的實驗能級，Robicheaux等［3，4，7］的標識是3d4s(1D2)nf2D3/2，我們把這個系列標識為3d4s (1D2)np2D3/2.對系列2(表3)Robincheaux等［3，4，7］標識為3d4s(1D2)np2D3/2，而我們的標識是3d4s (1D2)nf2D3/2.這個差異的原因可見圖1.圖1(a)和(b)是計算的3d4s(1D2)nf2D3/2和3d4s(1D2)np2D3/2兩個本征通道譜.可以看出，這兩個本征通道譜都出現(xiàn)了3d4s(1D2)nf2D3/2和3d4s(1D2)np2D3/2這兩個自電離里德伯系列，這是由于組態(tài)相互作用引起.這兩個里德伯系列正是表2，3研究的能級.它們出現(xiàn)在在一個同本征通道譜中，說明這兩個里德伯系列相互作用比較強.同時由于計算中采用的組態(tài)數(shù)不同等原因，展開系數(shù)可能有差別，因此我們和Robincheaux等［3，4，7］標識不同，這是可以理解的.對系列3，我們的和Robicheaux等［3，4，7］是相同的，都是3d4s(1D2)nf2F5/2.

表2 系列1的理論和數(shù)據(jù)比較.我們的標識為3d4s(1D2)np2D3/2，Robicheaux等［3，4，8］標識為3d4s(1D2)nf2D3/2

表3 系列2的理論和數(shù)據(jù)比較.我們的標識為3d4s(1D2)nf2D3/2，Robicheaux等［3，4，8］標識為3d4s(1D2)np2D3/2

下面我們討論計算的量子數(shù)虧損與實驗的差異原因.我們先分析表2和表4的結果，它們的規(guī)律比較類似:從表2(系列1，3d4s(1D2)np2D3/2)可以看出，凍結實近似的計算與實驗得到的量子數(shù)虧損之差均為負，在0.06左右.對表4(系列3，3d4s (1D2)nf2F5/2)在凍結實近似下的量子數(shù)虧損之差也均為負，在0.06—0.07之間.即計算能級能量比實驗值高，這個物理原因可以用二級微擾修正的圖像說明:有能級較高的組態(tài)與研究能級相互作用未考慮，如果考慮進來，則將使能級低的能級降低，能級高的能級增加.事實上，在考慮偶極極化效應后，對表2(系列1，3d4s(1D2)np2D3/2)除n=7，8外，其余能級對應量子數(shù)虧損差值有正有負，在0.002—0.01之間.對表4(系列3，3d4s(1D2)nf2F5/2)也從原來的全為負值，改善到有正有負，在0.01左右.這說明對于系列1(3d4s(1D2)np2D3/2)和系列3(3d4s (1D2)nf2F5/2)，偶極極化效應比較重要.且只要考慮偶極極化效應，計算的精度已經(jīng)很高，與該系列能級較為接近的高階極化效應通道對該系列能級影響可以忽略.

表4 系列3的理論和數(shù)據(jù)比較.我們的標識為3d4s(1D2)nf2F5/2，同Robicheaux等［3，4，8］的相同

而從表3(系列2，3d4s(1D2)nf2D3/2)的結果，可以看到，理論計算的量子數(shù)虧損和實驗得到的量子數(shù)虧損之差，對凍結實和考慮偶極極化效應的基本一樣.除n=17外，這個差值均在0.02—0.07之間.而n=17的能級，理論和實驗的量子數(shù)虧損之差高達0.2，這有可能是由于與n=17鄰近的與高階極化效應有關的能級與之相互作用導致的.這個系列考慮偶極極化效應后，計算結果并沒有如表2和表4所示的兩個系列那樣有明顯改善，原因可能是:雖然鈧原子有三個價電子，且前13個電離閾密集，使得其在第一電離閾值附近的光譜非常復雜，但是我們組以前的工作［8］和本文的結果均表明:僅考慮凍結實近似，理論計算的量子數(shù)虧損和實驗值得到的量子數(shù)虧損之差一般已經(jīng)小于0.1，足以滿足對實驗譜峰的標識.而文獻［27］沒有考慮偶極極化效應，只考慮凍結實近似和高階極化效應，重構了52625—54046cm－1的復雜光譜，和實驗譜符合較好，計算的量子數(shù)虧損和實驗值之差也普遍小于0.1.雖然一般而言偶極極化效應比高階極化效應重要，這一點，文獻［8］的結果就是一個典型的例子.但是，若與所研究的能級鄰近的是與高階極化效應有關的能級，而與偶極極化效應有關的能級遠離所研究能級，根據(jù)微擾理論，對這所研究的能級，高階極化效應可能比偶極極化效應更重要.事實上，本文研究的能區(qū)，與偶極極化效應有關的能級位置遠遠高于我們研究的能區(qū)，而與高階極化效應有關的能級卻鑲嵌在我們所研究的能區(qū)中.一旦與高階極化效應有關的能級位置接近我們所研究的能級，如表3系列2 3d4s(1D2)nf2D3/2n=17，則它們之間的組態(tài)相互作用會比較顯著，高階極化效應可能比偶極極化效應更顯著.這樣對不同的系列，偶極極化效應和高階極化效應的重要性可能不同.如本文研究的系列1 3d4s(1D2)np2D3/2和系列3 3d4s(1D2) nf2F5/2，考慮偶極極化效應后，計算精度大為提高，理論計算的量子數(shù)虧損和實驗得到的量子數(shù)虧損之差普遍小于0.01;而系列2 3d4s(1D2)nf2D3/2考慮偶極極化效應的結果和凍結實近似結果比較接近，理論計算的量子數(shù)虧損和實驗得到的量子數(shù)虧損之差普遍在0.02—0.07之間.對該系列，應該進一步考慮高階極化效應，并標示與n=17有強組態(tài)相互作用的能級，這是我們下一步工作.

4. 結論

在多通道量子虧損理論框架下，利用相對論多通道理論，分別在了凍結實近似和考慮偶極極化效應下計算了鈧原子的Jπ=(3/2)－，(5/2)－的三個收斂于［Ar］3d4s(1D2)的自電離里德伯系列的能級.對于3d4s(1D2)np2D3/2和3d4s(1D2)nf2F5/2這兩個系列，偶極極化效應明顯.其中系列1 3d4s (1D2)np2D3/2(見表2)，考慮偶極極化效應的理論計算的量子數(shù)虧損和實驗得到的量子數(shù)虧損之差從凍結實的0.03改善到0.01左右.系列3 3d4s (1D2)nf2F5/2(見表4)，從凍結實近似的0.07改善到0.01.但系列2 3d4s(1D2)nf2D3/2(見表3)，考慮偶極極化效應的結果和凍結實結果比較接近.理論計算的量子數(shù)虧損和實驗得到的量子數(shù)虧損之差普遍在0.04左右，偶極極化效應不明顯.這可能是由于與高階極化效應有關的能級與該系列n=17的能級接近，必須考慮高階極化效應.

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［30］Shore B W 1968 Phys.Rev.171 43

［31］Mies F H 1968 Phys.Rev.175 164

［32］Wang J Y，Zhong Z P，Jia F D，Qu Y Z，Zhong Y P 2008 J. Phys.B 11 085002

［33］Jia F D，Zhong Z P，Sun W，Xue P，Xu X Y 2009 Phys.Rev. A 79 032505

PACC:3120A，3120T，3280D

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.10574162 and 10676014).

?Corresponding author.E-mail:zpzhong@gucas.ac.cn

Theoretical study of autoionization Rydberg series 3d4s(1D2)nf2D3/2，3d4s(1D2)nf2F5/2and 3d4s(1D2)np2D3/2of Sc*

Zhang Xin-Feng1)Fan Shi-Lin2)Jia Feng-Dong2)Xue Ping1)Xu Xiang-Yuan1)3)Zhong Zhi-Ping2)?
1)(Department of Physics，The Key Laboratory of Atomic and Molecular Nanosciences of the Ministry of Education，Tsinghua University，Beijing100084，China)
2)(Collage of Physics，Graduate University of Chinese Academy of Sciences，Beijing100049，China)
3)(Department of Physics，Capital Normal University，Beijing100037，China)
(Received 15 June 2009;revised manuscript received 16 December 2009)

In the frame work of multi-channel quantum defect theory，the energy levels of three autoionization Rydberg series converging to Sc+［Ar］3d4s(1D2)with Jπ=(3/2)－，(5/2)－are calculated from first principles by relativistic multichannel theory at two levels of approximation，i.e.，frozen core approximation and that with consideration of dipole polarization.Considering dipole polarization effect，the difference between calculated and experimental quantum defects for the 3d4s(1D2)np2D3/2and 3d4s(1D2)nf2F5/2series are smaller than 0.01，thus the dipole polarization effects are important for the two autoionization Rydberg series.While for 3d4s(1D2)nf2D3/2series，the calculated data by frozen core approximation are close to those by considering dipole polarization effects，and the difference between calculated and experimental quantum defects are generally about 0.04.

relativisticmultichanneltheory，multichannelquantumdefecttheory，electron-electroncorrelations，autoionization Rdberg series

book=590,ebook=590

*國家自然科學基金(批準號:10574162，10676014)資助的課題.

?通訊聯(lián)系人.E-mail:zpzhong@gucas.ac.cn