李大創(chuàng)，曹卓良

（合肥師范學(xué)院 物理與電子工程系，安徽 合肥 230601）

海森堡模型中的量子糾纏

李大創(chuàng)，曹卓良

（合肥師范學(xué)院 物理與電子工程系，安徽 合肥 230601）

量子糾纏是量子信息處理的重要資源，海森堡模型是一種簡單的能夠在固態(tài)系統(tǒng)中實現(xiàn)的模型，研究海森堡模型中的糾纏將極大地推動固態(tài)量子計算機的發(fā)展。本文簡單介紹了海森堡模型，外磁場和Dzyaloshinskii-Moriya(DM)相互作用參量對系統(tǒng)糾纏的影響，以及現(xiàn)階段的研究進展。此外，文章還進一步提出了在該領(lǐng)域的研究中需要解決的一些問題。

海森堡模型；量子糾纏；外磁場；DM相互作用

1 引言

量子信息科學(xué)[1]包括量子通1信和量子計算兩個方面。在量子信息理論中，量子糾纏扮演著非常重要的角色，是進行量子通信和量子計算的重要資源。量子糾纏現(xiàn)象是量子力學(xué)不同于經(jīng)典物理的最為奇特、最不可思議的特性，在量子系統(tǒng)中表現(xiàn)了奇特的非局域關(guān)聯(lián)。研究發(fā)現(xiàn)的量子信息不同于經(jīng)典信息的新功能，幾乎都可以歸結(jié)為糾纏現(xiàn)象的應(yīng)用，例如：量子隱形傳態(tài)[2]，量子稠密編碼[3]，量子密鑰分配[4]，量子克隆[5]和量子計算[6-7]等。近年來，量子糾纏的發(fā)展在理論上和實驗上都取得了不少成果[8-11]。

量子信息科學(xué)的一個重要目標(biāo)就是實現(xiàn)量子計算機。利用量子相干性和糾纏性等基本量子特性，量子計算機可以實現(xiàn)大規(guī)模的并行計算和超大容量存儲，產(chǎn)生經(jīng)典計算機無法比擬的信息處理功能和有效模擬量子行為的能力。量子計算機的實現(xiàn)必須既滿足量子比特能很好的保持相干性，實現(xiàn)與外界良好的隔離，又滿足能精確有效地控制整個系統(tǒng)的演化。因而，尋找合適的能構(gòu)造量子計算機的物理系統(tǒng)至關(guān)重要。由于物理世界本身的要求，要實現(xiàn)大規(guī)模的量子計算，就要求構(gòu)造量子計算機的物理系統(tǒng)必須具有良好的可擴展性和集成性。國內(nèi)外科學(xué)家的廣泛研究表明，固態(tài)量子系統(tǒng)是最有可能實現(xiàn)量子計算機的物理系統(tǒng)，特別是超導(dǎo)量子比特系統(tǒng)、量子點系統(tǒng)和光晶格系統(tǒng)等。海森堡模型由于是一種簡單的能夠在固態(tài)系統(tǒng)中實現(xiàn)的模型，因而近年來吸引了國內(nèi)外科學(xué)家的廣泛關(guān)注。

海森堡模型中量子糾纏的研究是一個正在形成的重要研究領(lǐng)域。作為一個簡單的并且現(xiàn)實的物理模型，海森堡模型是產(chǎn)生和控制糾纏態(tài)的理想模型。該模型已經(jīng)被用于模擬量子點[12-14]、電子自旋[15]、核自旋[16]和光晶格[17]等系統(tǒng)。

2 海森堡模型

海森堡模型不是具體的物理模型，它是一種數(shù)學(xué)架構(gòu)，可以有效地模擬各種固態(tài)系統(tǒng)的量子特性。根據(jù)自旋-自旋耦合系數(shù)的不同，一維海森堡模型可以分為Ising模型[18-19]、XX模型[20-21]、XY模型[22-23]、XXX模型[24]、XXZ模型[25-27]和XYZ模型[28-29]。

在各種海森堡模型中，各向異性XYZ模型是最為復(fù)雜的一種模型。包含個量子位的海森堡XYZ模型的Hamiltonian可以表示為：

其中σj(j=x,y,z)是Pauli矩陣，Jj(j=x,y,z)是任意兩相鄰量子位間的j方向的自旋-自旋耦合系數(shù)，Ji＞0對應(yīng)于反鐵磁性模型，Ji〈0則對應(yīng)于鐵磁性模型。

通過改變Jx，該模型可以簡化成其它種類的海森堡模型：當(dāng)Jx=Jy=J≠Jz時，該模型就簡化成了部分各向異性的海森堡XXZ模型；當(dāng)Jx=Jy=Jz=J時，該模型就稱為各向同性海森堡XXX模型；當(dāng)Jx≠Jy,Jz=0時，該模型稱為各向異性海森堡XY模型；當(dāng)Jx=Jy=J，Jz=0時，該模型稱為各向同性海森堡XX模型；當(dāng)只有某一個Jj≠0(j=x,y,z)時，該模型就化簡成了Ising模型。在研究一些較為復(fù)雜的問題時，人們常常從最簡單的Ising模型入手來探索其基本規(guī)律。

3 系統(tǒng)參量對糾纏的影響

當(dāng)考慮磁場和自旋-軌道相互作用的影響時，兩量子位海森堡XYZ模型的Hamiltonian一般表示為：

其中

當(dāng)溫度T=0時，一般認為系統(tǒng)處于基態(tài)。但在現(xiàn)實環(huán)境中，一個真實的物理系統(tǒng)總是存在于有限的溫度下，這樣人們會很自然地去考慮系統(tǒng)熱平衡時的狀態(tài)（熱態(tài)）。熱態(tài)時的系統(tǒng)處于非糾纏態(tài)和糾纏態(tài)的混合狀態(tài)，熱態(tài)時的糾纏稱為熱糾纏，熱糾纏具有不同于其它種類糾纏的穩(wěn)定性的優(yōu)點，它在制備過程中，既不需要測量也不需要相互作用的控制。自從M.C.Arnesen等人的開創(chuàng)性工作以來[30]，熱糾纏已經(jīng)在各種系統(tǒng)中被廣泛研究：

（I）帶有磁場的海森堡模型。F.Kheirandish等人分析了海森堡XYZ模型中Z軸方向的磁場和自旋-軌道耦合對糾纏的影響[31]。張國鋒研究了帶有磁場的海森堡XXZ模型中的熱糾纏，發(fā)現(xiàn)隨著非勻強磁場絕對值的增加，勻強磁場的臨界值增加，而系統(tǒng)能夠達到的最大糾纏值卻在減少[32]。另外，M.Asoudeh小組討論了海森堡XXX模型中非均勻磁場對糾纏的影響，發(fā)現(xiàn)在鐵磁性情況下非均勻磁場對糾纏有很顯著的影響，當(dāng)溫度接近零度時，施加很小的磁場就可以產(chǎn)生很大的糾纏，而在反鐵磁性情況下非均勻磁場對糾纏則沒有這種顯著影響[24]。這些工作主要研究了磁場方向沿Z軸時的情況，對于磁場沿其它不同方向時的情況卻很少有研究。最近，我們研究了不同方向的磁場對系統(tǒng)糾纏的影響，發(fā)現(xiàn)不同方向的磁場具有不同的糾纏控制效率[33-34]。在海森堡XY模型中，勻強磁場的最佳方向在具有最大自旋-自旋相互作用分量的坐標(biāo)軸上，非勻強磁場的最佳方向在具有最小自旋-自旋相互作用分量的坐標(biāo)軸上[35]。在其它參量固定的情況下，當(dāng)磁場沿其最佳方向時，系統(tǒng)具有最大的糾纏和最高的臨界溫度。

(II)帶有Dzyaloshinski-Moriya(DM)相互作用的海森堡模型。張國鋒研究了帶有DM耦合的海森堡XXX模型，發(fā)現(xiàn)引入DM相互作用可以有效提高糾纏[36]。單傳家等人研究了帶有DM相互作用的海森堡XY模型中的糾纏，發(fā)現(xiàn)鐵磁性情況下DM相互作用能夠把糾纏提高到一個較大的值，反鐵磁性情況下DM相互作用可以把糾纏提高到某一穩(wěn)定值[37]。但這些研究也只考慮了DM相互作用方向沿Z軸時的情況，我們最近研究了不同方向的DM相互作用參量對系統(tǒng)糾纏的影響，發(fā)現(xiàn)不同方向的DM耦合參量也具有不同的糾纏控制效率[38]。在海森堡XYZ模型中，最佳DM軸向矢量的方向在具有最大自旋-自旋相互作用分量的坐標(biāo)軸上，當(dāng)DM軸向矢量沿其最佳方向時，系統(tǒng)具有最大的糾纏和最高的臨界溫度[39]。另外，研究還發(fā)現(xiàn)對于任意DM矢量來說，其最佳方向也總是在具有最大自旋-自旋相互作用分量的坐標(biāo)軸上，根據(jù)這些規(guī)律我們給出了海森堡XYZ模型中熱糾纏的最佳參量組合[40]。

總的來說，對于磁場參量，調(diào)整磁場大小或磁場方向都可以提高系統(tǒng)的熱糾纏；對于DM相互作用參量，調(diào)整其大小或方向也同樣可以提高系統(tǒng)熱糾纏。

另外，許多物理學(xué)家最近還把海森堡模型中的糾纏用作量子通道來實現(xiàn)量子隱形傳態(tài)方案，發(fā)現(xiàn)通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)的參量可以控制隱形傳態(tài)的成功[41-42]，提高隱形傳態(tài)的保真度[43-44]。這些現(xiàn)象本質(zhì)上也都可以歸因于系統(tǒng)參量對海森堡模型中的糾纏的影響。

4 展望

研究海森堡模型中的糾纏具有重要的理論意義和應(yīng)用價值，在對該領(lǐng)域的研究中還有許多重要問題需要解決：

第一，在現(xiàn)實世界中，由于真實的物理系統(tǒng)不可避免地會和周圍的環(huán)境發(fā)生作用，因而量子信息處理總是會被外部環(huán)境引起的消相干所影響。消相干是一個量子現(xiàn)象，由于與環(huán)境的相互作用，量子系統(tǒng)演化時，量子相干性會自動地被破壞。因而在實際情況下，研究環(huán)境噪聲對量子系統(tǒng)的糾纏的影響就變的非常重要。目前，構(gòu)造固態(tài)量子計算機的最大難題是固態(tài)系統(tǒng)的易消相干問題。因此，人們有必要深入研究不同參量下的海森堡模型的消相干機制，以通過對參量的調(diào)控來有效地抑制系統(tǒng)的消相干。

第二，高維系統(tǒng)的糾纏性質(zhì)與二維系統(tǒng)糾纏大不相同，高維量子系統(tǒng)能夠承載比二維系統(tǒng)更多的信息，能夠提高量子密鑰分配方案所能容忍的噪聲極限，比二維系統(tǒng)具有更強的容錯功能，有助于抑制不可避免的消相干的發(fā)生，而且高維量子系統(tǒng)的最大糾纏態(tài)比二維系統(tǒng)的最大糾纏態(tài)更大程度上違背了局域?qū)嵲谡?。對高維系統(tǒng)的研究將會促進量子信息科學(xué)的發(fā)展和對量子物理本質(zhì)的理解。因此，研究各種高維海森堡模型中的量子糾纏不僅具有理論意義，還具有重要的現(xiàn)實意義。

第三，海森堡模型中的量子相變問題涉及量子力學(xué)和凝聚態(tài)物理的基礎(chǔ)問題，研究量子糾纏和量子相變之間的關(guān)系，將促進這兩個學(xué)科的融合和發(fā)展。

總之，通過對海森堡模型中糾纏特性的研究，可以找到有效提高系統(tǒng)糾纏和有效抑制系統(tǒng)消相干的機制，解決固態(tài)系統(tǒng)中存在的問題，從而促進固態(tài)量子計算機的實現(xiàn)。對該領(lǐng)域的研究還將極大地推動量子信息科學(xué)的發(fā)展，并且有助于人們更加深入地理解量子力學(xué)的一些基本問題。

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[責(zé)任編輯：桂傳友]

Abstract:Quantum entanglement is the important resources in quantum information processing,Heisenberg model is a simple model,and can be obtained in solid system,research on quantum entanglement in Heisenberg model will promote the development of solid quantum computer.This paper introduces the Heisenberg model, the effects of external magnetic field and DM interaction parameters on system entanglement,and the progress of the current research.In addition,some problems which need to be resolved in this field are summarized.

Key Words:Heisenberg Model;Quantum Entanglement;External Magnetic Field;DM Interaction

Quantum Entanglement in Heisenberg Model

Li Dachuang,Cao Zhuoliang
(Department of Physics and Electronic Engineering,Hefei Normal University,Hefei,Anhui,230601)

O413

A

1674-1102（2010）03-0036-04

2010-03-09

安徽省高等學(xué)校省級自然科學(xué)重大研究項目（KJ2010ZD08），安徽省高等學(xué)校省級自然科學(xué)重點研究項目（KJ2010A287）。作者簡介：李大創(chuàng)（1981-），男，安徽宿州人，合肥師范學(xué)院物理與電子工程系講師，博士，研究方向為量子信息。