毛 宏

人身傷害賠償動態(tài)模型的研究

毛 宏

（上海第二工業(yè)大學經(jīng)濟管理學院，上海201209）

在法庭審理賠償案時，如何準確合理地確定人身傷害賠償金額是一個很重要的問題。運用隨機過程理論，通過建立預期工資折現(xiàn)方程，并運用隨機模擬來定量確定人身傷害死亡賠償金額。這一方法可以很容易地被推廣用于人身傷害致殘賠償金額的計算。

人身傷害；賠償金額；隨機過程

0 引言

在法庭審理人身傷害致死或致殘賠償案時，一個很重要的問題是如何合理地確定賠償金額。我國民法理論和實務認為，人身傷害賠償?shù)囊话阍瓌t是賠償因人身傷害而造成的財產(chǎn)損失。屈茂輝[1]認為對這一原則很有重新思考的必要，并指出對受害致殘者應采用賠償受害人收入喪失代替生活補助費和間接受害人的撫養(yǎng)費，對受害致死者應采用收入損失的補償和生命價值的補償。由于人的生命具有貨幣價值，人的生命價值理論的倡導者主張把財產(chǎn)管理的原理和做法應用到對生命價值的管理。人的生命價值在數(shù)量上可以定義為一個人的預期凈收入的資本化價值，因此，估計死者或傷殘者的生命價值需要預測其工作預期壽命中的收入。收入的大小取決于職業(yè)、年齡、教育等因素，而且死者或傷殘者的收入損失是一個動態(tài)的概念，即是隨時間的變化而變化的，必須綜合考慮利率、工資收入的動態(tài)變化因素。本文從定量分析的角度出發(fā)，通過建立人身傷害賠償?shù)膭討B(tài)模型來確定賠償金額。這里需要注意的是，分析工資率隨時間變化的規(guī)律，預測應該補償?shù)氖杖霌p失是一項很重要的工作。國外已有很多這方面的研究。Carriere 和Shand[2]提出了薪金函數(shù)的參數(shù)模型。Mincer[3]提出了log工資方程。Hosek[4]調(diào)查了自相關(guān)的收入模型Y( t)=a+bY( t?1)+et，其中，Y( t)是收入，a, b為常數(shù)，et是時刻t的隨機誤差，并指出由于很多經(jīng)濟時間序列是非穩(wěn)態(tài)的，自相關(guān)模型具有其局限性。他對若干行業(yè)工資率序列數(shù)據(jù)逐年相關(guān)改變的分析結(jié)果支持了隨機游走模型的假設(shè)。類似的研究由Horvitz[5]討論，他調(diào)查了由以下模型描述的幾何布朗運動：Y( t)=Y(0)exp[(a?b2/2)t+bz( t )]，其中z(t)～N(0,t)。在預測工資收入隨時間變化規(guī)律的基礎(chǔ)上還有一項很重要的工作是工資額折現(xiàn)的問題。本文分別假定利息率為常數(shù)和一個隨機過程，建立人身傷害死亡賠償模型。人身傷害殘疾賠償費用的計算模型可以參照本文作類似考慮。本文的探討對于人身傷害賠償提供了準確可靠的定量分析方法，為法庭審理人身傷害賠償提供了科學合理的依據(jù)。

1 一次支付型人身傷害死亡賠償模型的建立

1.1 假定利息率為一常數(shù)

假定某人在x年齡死于人身傷害，則在不考慮精神損失的前提下支付給其繼承人的賠償金額應等于死者從死亡之日起到退休時為止累積工資支付額的現(xiàn)值（即被致害人剝奪的死者的生命價值），在此期間還必須考慮他死于其他意外或生病死亡的概率。

假定工資增長率可寫成如下形式[6]

其中μW為平均工資率，σWt為工資率的標準差，zWt為標準Wiener過程，則有

t

其中W0為發(fā)生人身傷害時被害者的工資水平。

設(shè)隨機變量Tx表示x歲的受害人如果不死于人身傷害的剩余壽命期限，設(shè)px+t=P( t≤Tx＜t +1)表示x歲的人存活t年的概率。px+t可以通過查生命表獲得。這里我們還假設(shè)Tx為獨立于工資和利率的隨機變量。

假定退休年齡為m，無風險利率為r ，則用連續(xù)利率計算的折現(xiàn)因子可表示為exp(?rt)。設(shè)一次支付死亡賠償金的現(xiàn)在值記為P1，則

其中E(·)表示期望值算子。

令

其中k1為利率是常數(shù)時的一次支付型的死亡賠償因子，則

1.2 假定利息率為一隨機過程

由于死亡賠償金的累積計算年限經(jīng)常會很長，故考慮利息率的不確定性是很重要的方面，會影響賠償金的折現(xiàn)值?，F(xiàn)假定實際利息率可寫成如下形式[7]

其中dzr為標準Wiener過程，σr為利息率的變異，μr為長期均衡利率，β為實際利息率r恢復到長期均衡利率的速度。用連續(xù)利率計算的隨機折現(xiàn)因子可表示為

假定工資增長率滿足方程(3)，工資與利息率的瞬時相關(guān)系數(shù)為ρrW，其余的假定同1.1，則死亡賠付金額的現(xiàn)在值為

Vasicek[8]表明，如果隨機利率r(t)遵從式(7)給定的隨機過程，則隨機折現(xiàn)因子

其中A(t), B(t)見式（9）。

將(3)式代入(10)式得

令

其中k2稱之為利率為隨機過程時的一次支付型的死亡賠償因子，則

借助于Monte Carlo 模擬方法可以求得(6)式和(13)式的解。

2 n年內(nèi)分期等額支付型人身傷害死亡賠償模型的建立

由于一次給付的方式需責任人一次支付大量的金錢，有時很難兌現(xiàn)。一種有效的解決辦法是采用分期支付的形式。假定責任人的期初支付年齡為y,ytp+表示責任人存活t年的概率，設(shè)責任人每年初等額支付的金額為AP，則存在下列兩種情況。

2.1 利息率為一常數(shù)

根據(jù)精算原理，責任人每年初等額支付的金額應等于期初一次躉付的金額除以n年內(nèi)每年初支付一元的現(xiàn)值之和，即

令

其中k3為利率為常數(shù)時的分期等額支付型的死亡賠償因子，則

2.2 利息率為以(7)式表示的隨機過程

令

其中，k4稱之為利率是隨機過程時的分期等額支付型的死亡賠償因子，則

3 人身傷害死亡賠償金的計算

假定β=0.1,σr=0.015,σW=0.01,μr=0.035,μW=0.01,ρrW=0.2,y =50, m =60，當利率為常數(shù)時，r =0.035，當利率為隨機變量時，初始利率水平r0=0.03。x歲的人和y歲的人存活t年的概率可通過查1993年生命表獲得。表1和圖1是借助于Monte Carlo模擬和公式(5), (12), (16) , (20)計算的死亡年齡x = 45 ~ 55所對應的死亡賠償因子k1, k2, k3和k4。將死亡時的初始工資水平W0分別乘以死亡賠償因子k1, k2, k3和k4即得死亡賠償金額P1，P2，AP,1和AP,2，其中k1, k2, k3和k4的含義見表2。圖2是死亡賠償因子計算的隨機模擬過程描述。類似地，可以計算出各參數(shù)取其他不同值時，不同初始工資水平下一次支付和n年內(nèi)分期等額支付的死亡賠償金額。

表1 x取不同值時所對應的死亡賠償因子k1, k2,k3和k4的值Tab.1 The values of factors of death claim k1, k2,k3and k4when x takes different values

圖1 x取不同值時所對應的死亡賠償因子k1, k2,k3和k4的值Fig.1 The values of factors of death claim k1, k2, k3and k4when x takes different values

表2 不同假定條件下的死亡賠付因子的符號表示Tab.2 The symbols of factors of death claim under different assumption

圖2 死亡賠付因子k2的隨機模擬Fig.2 The stochastic simulation of the factor of death claim k2

4 結(jié)論

運用隨機過程理論，分別建立了期初一次躉繳和n年內(nèi)分期等額支付的人身傷害死亡賠付計算的隨機模型，并計算了不同假設(shè)前提下的死亡賠償因子k1, k2, k3和k4的值。將死亡賠償因子乘以死者初始工資水平即可計算出死亡賠償金額。以上建模和計算過程可以很容易地推廣用于人身傷害致殘賠償金額的計算。

[1] 屈茂輝. 人身傷害賠償若干問題研究[J].湖南師范大學社會科學學報, 2000, 29(3):53-58.

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Approach on Dynamic Models of Wrongful Death Payment

MAOHong
(School of Economic and Management, Shanghai Second Polytechnic University, Shanghai 201209, P. R. China)

One of most important problems is to estimate loss in wrongful death and injury in trying loss cases. In this paper, theory of stochastic processes is applied.Discounting equations of future salary are established and stochastic simulation is applied so as to determine loss of wrongful death. It can be easily extended to the wrongful injury cases.

wrongful death and injury; claim loss;stochastic processes

F840

A

1001-4543(2010)03-0178-06

2010-04-28;

2010-06-09

毛宏（1959－），女，副教授，主要研究方向為風險管理與保險，電子郵件：hmaoi@126.com