林紹忠，明崢嶸（．長(zhǎng)江科學(xué)院非連續(xù)變形分析實(shí)驗(yàn)室，武漢 43000；．北京博奇電力科技有限公司武漢分公司，武漢 43007）

適用于數(shù)值流形法分析的混凝土徐變遞推公式

林紹忠1，明崢嶸2
（1．長(zhǎng)江科學(xué)院非連續(xù)變形分析實(shí)驗(yàn)室，武漢 430010；2．北京博奇電力科技有限公司武漢分公司，武漢 430071）

目前大體積混凝土結(jié)構(gòu)溫度應(yīng)力仿真計(jì)算主要采用有限元法。對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，有限元法仿真計(jì)算存在計(jì)算規(guī)模大、前處理難度大等問(wèn)題。數(shù)值流形法具有網(wǎng)格剖分和自適應(yīng)分析方便等優(yōu)點(diǎn)，可為溫度應(yīng)力仿真計(jì)算提供有力的分析手段。混凝土徐變可以松馳溫度應(yīng)力，在溫度應(yīng)力仿真計(jì)算中一般都要考慮徐變的影響。有限元法中采用的徐變遞推公式是基于數(shù)值積分點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，但數(shù)值流形法的單元應(yīng)力呈多項(xiàng)式函數(shù)分布，這種遞推公式已不適用。為此，推導(dǎo)了適合于數(shù)值流形法的徐變遞推公式及等效荷載計(jì)算公式，并編制了數(shù)值流形法仿真計(jì)算程序，通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證了公式的正確性。

數(shù)值流形法；混凝土結(jié)構(gòu)；徐變遞推公式；溫度應(yīng)力；仿真計(jì)算

1 概 述

數(shù)值流形法［1］（簡(jiǎn)稱流形法）是石根華博士提出的一種新的數(shù)值計(jì)算方法。該方法采用2套相互獨(dú)立的網(wǎng)格——反映數(shù)值解精度的數(shù)學(xué)網(wǎng)格和反映幾何邊界和材料分區(qū)的物理網(wǎng)格，將研究區(qū)域劃分成有限個(gè)相互重疊的集合（稱為物理覆蓋），在各個(gè)覆蓋上獨(dú)立定義局部覆蓋函數(shù)，通過(guò)權(quán)函數(shù)加權(quán)平均得到整個(gè)求解域上的總體函數(shù)。由于數(shù)學(xué)網(wǎng)格和物理網(wǎng)格的相互獨(dú)立性，可以采用規(guī)則的數(shù)學(xué)網(wǎng)格對(duì)物理區(qū)域進(jìn)行切分形成流形元，這種切分過(guò)程只涉及相對(duì)簡(jiǎn)單的幾何運(yùn)算，速度比較快。覆蓋函數(shù)可以是多項(xiàng)式或級(jí)數(shù)形式，隨著階數(shù)的提高或級(jí)數(shù)項(xiàng)的增加，精度得以提高，自適應(yīng)分析方便。和有限元一樣，流形元是基本的計(jì)算單元，但可具有更復(fù)雜的形狀。鑒于流形法所具有的優(yōu)點(diǎn)，文獻(xiàn)［2］將其應(yīng)用于大體積混凝土結(jié)構(gòu)的溫度場(chǎng)及溫度應(yīng)力仿真計(jì)算，但沒(méi)有考慮混凝土徐變的影響?；炷潦切熳凅w，考慮徐變后，溫度應(yīng)力得到松弛，因此在溫度應(yīng)力仿真計(jì)算中一般都要考慮混凝土徐變的影響。但目前有限元法中采用的徐變遞推公式是基于數(shù)值積分點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，而流形法多采用單純形積分進(jìn)行精確積分，其單元應(yīng)力呈多項(xiàng)式函數(shù)分布，這種遞推公式已不再適用，需要重新推導(dǎo)。

2 流形元位移函數(shù)和溫度函數(shù)

2．1 覆蓋函數(shù)

目前，流形法一般采用有限元網(wǎng)格作為數(shù)學(xué)網(wǎng)格。覆蓋函數(shù)定義在數(shù)學(xué)網(wǎng)格的結(jié)點(diǎn)上，類似于有限元的結(jié)點(diǎn)位移，但可以是常數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)或其它形式級(jí)數(shù)。覆蓋函數(shù)與物理邊界無(wú)關(guān)，如果物體只占數(shù)學(xué)網(wǎng)格的一部分，覆蓋函數(shù)仍然是相同的。設(shè)定義在物理覆蓋上的覆蓋函數(shù)為多項(xiàng)式函數(shù)，

式中：Dij＝｛uij，vij，wij｝T為覆蓋函數(shù)的系數(shù)（廣義位移）；tcj（x，y，z）是多項(xiàng)式基底，如1，x，y，z等。對(duì)于完全N階覆蓋函數(shù)，項(xiàng)數(shù)m＝（N＋1）（N＋2）（N＋3）／6。傳統(tǒng)有限元法中，結(jié)點(diǎn)位移ui，vi，wi是常量，即采用0階覆蓋函數(shù)。

2．2 單元位移函數(shù)

設(shè)流形元e是n個(gè)物理覆蓋的交集，則該單元的位移函數(shù)為

以上公式中，Wi為權(quán)函數(shù)，F(xiàn)i是其系數(shù)列陣，Tw是多項(xiàng)式基底集。采用有限元網(wǎng)格作為數(shù)學(xué)網(wǎng)格時(shí)，Wi即是有限元的形函數(shù)，n為有限元的結(jié)點(diǎn)數(shù)。流形法中數(shù)學(xué)網(wǎng)格與物理網(wǎng)格不要求重合，因此可以采用形態(tài)簡(jiǎn)單的有限元來(lái)構(gòu)造顯式權(quán)函數(shù)，如平面的三角形單元、矩形單元和三維的四面體單元和長(zhǎng)方體單元。

2．3 單元溫度函數(shù)

與位移函數(shù)的定義一樣，在物理覆蓋Ci上的溫度覆蓋函數(shù)為多項(xiàng)式函數(shù)，

式中：tij為待定系數(shù)；珋tcj（x，y，z）為多項(xiàng)式基底集；mt為溫度場(chǎng)覆蓋函數(shù)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)。在計(jì)算溫度應(yīng)力時(shí)，可采用相同的數(shù)學(xué)網(wǎng)格，位移場(chǎng)和溫度場(chǎng)覆蓋函數(shù)階數(shù)可不一樣，但位移場(chǎng)覆蓋函數(shù)的階數(shù)必須不低于溫度場(chǎng)的階數(shù)。

同理，單元內(nèi)的溫度場(chǎng)可表示為

3 混凝土徐變遞推公式

3．1 混凝土增量應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

3．2 徐變遞推公式

混凝土徐變度可表示為

4 溫度和徐變等效荷載

文獻(xiàn)［2］給出了溫度等效荷載公式，文獻(xiàn)［3］給出了初應(yīng)變等效荷載的一般公式。這里給出同時(shí)考慮溫度和徐變的等效荷載公式。初應(yīng)變表達(dá)式為

Kijkl為流形元?jiǎng)偠染仃嚨淖訅K，見(jiàn)文［3］；

式（20）中的被積函數(shù)為多項(xiàng)式基底的乘積，可以直接用單純形積分法［4］進(jìn)行精確積分。

5 算 例

如圖1，混凝土塊體平面尺寸為20 m×20 m，底面基巖約束。分兩層澆筑，每層厚0．5 m，間隙期7 d，頂面為氣溫邊界，其他邊界為絕熱邊界。在混凝土水化熱溫升和環(huán)境溫度作用下，同時(shí)考慮徐變影響，計(jì)算溫度應(yīng)力。每個(gè)澆筑層為一流形元，見(jiàn)圖2。作為比較，用有限元法進(jìn)行計(jì)算，每個(gè)澆筑塊劃分為5層單元，見(jiàn)圖3。A，B 2點(diǎn)（見(jiàn)圖1）應(yīng)力計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1?？梢钥闯?，在較粗的數(shù)學(xué)網(wǎng)格情況下，流形法通過(guò)提高覆蓋函數(shù)的階數(shù)可獲得迅速逼近細(xì)網(wǎng)格的有限元解，在1階時(shí)已取得了較好的精度。

圖1 混凝土塊Fig．1 A concrete block in the test

圖2 流形元網(wǎng)格Fig．2 Manifold elementmesh

圖3 有限元網(wǎng)格Fig．3 Finite elementmesh

表1 A，B點(diǎn)應(yīng)力σyTable 1 Stressσyat point A and B MPa

6 結(jié) 語(yǔ)

流形法具有網(wǎng)格剖分和自適應(yīng)分析方便等優(yōu)點(diǎn)，為大體積混凝土結(jié)構(gòu)溫度應(yīng)力仿真計(jì)算提供了有力的分析手段。為考慮徐變影響，本文推導(dǎo)了適用于流形法分析的徐變遞推公式及等效荷載公式。算例驗(yàn)證了這些公式的正確性。至此，筆者開(kāi)發(fā)的高階流形法計(jì)算程序已可用于大體積混凝土結(jié)構(gòu)溫度場(chǎng)和溫度應(yīng)力仿真計(jì)算，其中可以考慮常規(guī)荷載作用和混凝土徐變的影響。

［1］ 石根華．?dāng)?shù)值流形方法與非連續(xù)變形分析［M］．裴覺(jué)民，譯．北京：清華大學(xué)出版社，1997．（SHIGenhua．Numerical Manifold Method and Discontinuous DeformationAnalysis［M］．Translated by Pei Juemin．Beijing：Tsinghua University Press，1997．（in Chinese））

［2］ 林紹忠，明崢嶸，祁勇峰．用數(shù)值流形法分析溫度場(chǎng)及溫度應(yīng)力［J］．長(zhǎng)江科學(xué)院院報(bào)，2007，24（5）：72－75．（LIN Shaozhong，MING Zhengrong，QI Yongfeng．Thermal field and thermal stress analysis based on numericalmanifold Method［J］．Journal of Yangtze River Scientific Research institute，2007，24（5）：72－75．（in Chinese））

［3］ 林紹忠，祁勇峰，蘇海東．基于矩陣特殊運(yùn)算的高階流形元單元分析［J］．長(zhǎng)江科學(xué)院院報(bào)，2006，23（3）：36－39．

（LIN Shaozhong，QI Yongfeng，SU Haidong．Element analysis of highorder numericalmanifold method based on specialmatrix operations［J］．Journal of Yangtze River Scientific Research Institute，2006，23（3）：36－39．（in Chinese））

［4］ 林紹忠．單純形積分的遞推公式［J］．長(zhǎng)江科學(xué)院院報(bào)．2005，22（3）：32－34．（LIN Shaozhong．Recursive formula for simplex integration［J］．Journal of Yangtze River Scientific Research Institute，2005，22（3）：32－34．（in Chinese） ）

（編輯：周曉雁）

Recursive Formulae of Concrete Creep Suitable for Numerical M anifold M ethod Analysis

LIN Shaozhong1，MING Zhengrong2
（1．DDA Center，Yangtze River Scientific Research Institute，Wuhan 430010，China；2．Wuhan Branch of Beijing Bootes Electric Power Science＆Technology CO．，LTD．，Wuhan 430071，China）

Currently，the thermal stress analysis simulating the construction process ofmass concrete structures primarily adopts the finite elementmethod（FEM）．Butmuch computation is required and difficulties inmesh generation are encountered in conducting FEM analysis of complicated structures．For convenience in adaptive analysis and mesh division，the numericalmanifoldmethod（NMM）provides a new effective approach for the thermal stress analysis．The effects of the concrete creep should be generally considered in the thermal stress analysis as the concrete creep can reduce thermal stresses．The recursive formulae of the concrete creep widely used in FEM，which were derived based on the stresses at numerically integrated points of finite elements，are not suitable for NMM analysis due to the stresses of manifold elements are expressed in the polynomial form，especially in highorder NMM．According to the recursive formulae of concrete creep used in FEM，recursive formulae of concrete creep and formulae of corresponding equivalent loads suitable for NMM analysis are deduced．On the basis of the derived formulae，a program of highorder NMM for the thermal field and the thermal stress analysis is developed and verified by an example．

NMM；mass concrete structure；recursive formulae of creep；thermal stress；simulation analysis

TV315；O242

A

1001－5485（2010）07－0056－04

20090915

林紹忠（1960），男，福建福安人，教授級(jí)高級(jí)工程師，工學(xué)博士，主要從事水工結(jié)構(gòu)數(shù)值分析研究，（電話）02782820007（電子信箱）Linsz＠m(xù)ail．crsri．cn。