張建勇，張斌武

（河海大學(xué) 常州校區(qū)數(shù)理教學(xué)部，江蘇 常州 213022）

數(shù)模思想在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的應(yīng)用探討

張建勇，張斌武

（河海大學(xué) 常州校區(qū)數(shù)理教學(xué)部，江蘇 常州 213022）

針對數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)建模的重要性，探討在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中融入數(shù)模思想的原因和原則，并說明了如何在教學(xué)過程中融入數(shù)學(xué)建模，最后列舉主干課程中較為適合的實際問題模型。

數(shù)學(xué)建模；數(shù)學(xué)教學(xué)；創(chuàng)新能力

數(shù)學(xué)與計算機技術(shù)的結(jié)合形成的數(shù)學(xué)技術(shù)［1］，使得數(shù)學(xué)廣泛被應(yīng)用到各領(lǐng)域，或與其他學(xué)科交叉產(chǎn)生新的學(xué)科，如：計量經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物數(shù)學(xué)、地質(zhì)數(shù)學(xué)等。數(shù)學(xué)成為了打開科學(xué)大門的鑰匙。曾任美國總統(tǒng)尼克松科學(xué)顧問的科學(xué)院院士David在談到數(shù)學(xué)時，稱贊“‘高科技’的本質(zhì)上就是數(shù)學(xué)技術(shù)”。數(shù)學(xué)在社會生活中的重要性不言而喻，尤其在二次世界大戰(zhàn)以后，數(shù)學(xué)與社會的關(guān)系發(fā)生了根本性的變化。美國基金委把數(shù)學(xué)科學(xué)列為2002-2006該基金委五大創(chuàng)新項目之首時，Eisenstein評價說：“該創(chuàng)新項目背后的推動力就是一切科學(xué)和工程領(lǐng)域的數(shù)學(xué)化（Mathematization）?！保?］

進(jìn)入20世紀(jì)以來，伴隨著電子計算機的出現(xiàn)與飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透，數(shù)學(xué)建模也越來越受到人們的重視，尤其是在培養(yǎng)社會所需的各種人才的高等院校，數(shù)學(xué)建模作為廣大師生學(xué)習(xí)、教學(xué)、科研和實踐的一個重要部分，其發(fā)揮的作用越來越明顯。數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)中起了舉足輕重的作用，并為理論研究和工程應(yīng)用之間架起一座橋梁，使數(shù)學(xué)與工程有機地結(jié)合在一起，使數(shù)學(xué)家和工程師可以通過建模無障礙地溝通與合作。歐幾里德幾何、萬有引力定律、微積分學(xué)等等，都是科學(xué)發(fā)展史上數(shù)學(xué)建模應(yīng)用的成功范例。

1 大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中滲透數(shù)學(xué)建模思想的目的

1.1 培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)知識的興趣，提高學(xué)生解決實際問題能力的需要

傳統(tǒng)的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)模式降低了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，從而影響了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。在教學(xué)過程中如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并提高他們學(xué)以致用的能力，這是廣大大學(xué)數(shù)學(xué)教師所面臨的一個難題，而數(shù)學(xué)建模為我們提供了一個很好的途徑。通過數(shù)模方法對一些實際問題進(jìn)行巧妙處理，讓學(xué)生體會到，數(shù)學(xué)不僅能傳播理論知識和求解一些數(shù)學(xué)問題，還可以將其應(yīng)用到實際問題中，讓學(xué)生看到一些實際模型的來龍去脈。這不僅能提高學(xué)生的積極性，還可以使學(xué)生的自覺地去查看一些相關(guān)的資料，培養(yǎng)他們的興趣。也可以結(jié)合數(shù)學(xué)建模課程和實際的數(shù)模比賽來培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)和能力。

1.2 擴(kuò)大學(xué)生的知識面，提高學(xué)生綜合能力的需要

數(shù)學(xué)建模需要多學(xué)科知識的交叉綜合運用，這要求使用者具有廣博的知識面和較強的綜合能力［3］，主要包括：豐富靈活的想象能力、抽象思維的簡化能力、發(fā)散思維的聯(lián)想能力、嫻熟的計算機操作能力、信息資料的查閱能力、科技論文的寫作能力、團(tuán)隊協(xié)作的攻關(guān)的能力等。這些也是培養(yǎng)現(xiàn)代高素質(zhì)人才所要具備的能力。大學(xué)生畢業(yè)后無論是進(jìn)入社會還是繼續(xù)深造，具有良好的綜合能力，對于他們今后的發(fā)展大有益處的。

1.3 提高大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量、豐富教學(xué)手法、教學(xué)內(nèi)容及確立個人教學(xué)風(fēng)格的需要

目前大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)方式仍然主要是教師講授，學(xué)生聽，學(xué)生很少能夠真正地參與到課堂教學(xué)當(dāng)中，學(xué)生的學(xué)習(xí)是被動的，缺乏積極性，從而導(dǎo)致課堂質(zhì)量下降。教學(xué)手段由于受課程的限制，幾乎都是老師借助黑板粉筆進(jìn)行推導(dǎo)，即便是一些科目適合使用多媒體教學(xué)，也很難產(chǎn)生教師和學(xué)生之間很好的互動式教學(xué)，從而導(dǎo)致課堂乏味，降低學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣尤其是自主學(xué)習(xí)的興趣。數(shù)學(xué)是歷史很久且發(fā)展得相對很完善的學(xué)科，因此數(shù)學(xué)知識的更新相對緩慢，那么如何使用現(xiàn)有的手段使得課堂內(nèi)容變得豐富起來呢？由于數(shù)學(xué)模型來源于實際生活中的問題，具有很好的開放性，求解方法不唯一，教師可以根據(jù)教學(xué)情況來選擇講解哪些模型。有些模型適合在課堂上講授，有的適合作為小課題留給學(xué)生，讓學(xué)生嘗試建模求解，無論做的好與不好，對學(xué)生和教師來說，都是雙贏的：學(xué)生在求解過程中利用的所學(xué)的知識，甚至是教材中涉及不到的知識，來提高他們的即學(xué)即用的能力，還可以培養(yǎng)他們的學(xué)習(xí)興趣；教師可以豐富教學(xué)手段和教學(xué)內(nèi)容，進(jìn)一步提高教學(xué)質(zhì)量。尤其年輕教師在這方面可以認(rèn)真的思考一下，由于參加教學(xué)實踐時問不長，教學(xué)經(jīng)驗相對缺乏，沒有形成自己的教學(xué)風(fēng)格，這時如果能嘗試將數(shù)學(xué)建模在課堂中有所體現(xiàn)，對于形成自己的教學(xué)風(fēng)格很有幫助，同時避免填鴨式的教學(xué)方法。

1.4 推動與深化大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的需要

以往的數(shù)學(xué)教學(xué)只注重知識的傳授、公式的推導(dǎo)和定理的證明等，盡管這種教學(xué)方式發(fā)揮了一定的作用，但事實證明它不能有效地激發(fā)廣大學(xué)生的求知欲，也不能有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。當(dāng)今社會信息高度發(fā)達(dá)，競爭日益激烈，無論是哪一方面的競爭，歸根結(jié)底都是人才的競爭。如今的人才必須具備一定的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力，否則很難適應(yīng)信息時代的要求。培養(yǎng)更多的具有真正競爭實力的人才，已成為社會各方面尤其是高等院校面臨的問題，這也是新時期對高等教育提出的新要求。事實上，如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力一直是高等學(xué)校教學(xué)改革的重點和熱點，也是高等學(xué)校教學(xué)改革研究的前沿課題，而數(shù)學(xué)建模在這方面具有獨特的優(yōu)勢。

1.5 解決實際教學(xué)與傳統(tǒng)教學(xué)學(xué)沖突的需要

傳統(tǒng)的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)在培養(yǎng)現(xiàn)代大學(xué)生方面帶來了很多弊端，這里只是簡單的闡述一下。傳統(tǒng)的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)僅僅圍繞數(shù)學(xué)進(jìn)行教學(xué)，不考慮數(shù)學(xué)的實際背景，更沒有考慮數(shù)學(xué)的實際功用，這樣使得學(xué)生只會求解數(shù)學(xué)題目，一旦在專業(yè)課中遇到相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，也不會使用了。這種情況是常見的，即便是在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》中，很多人都忘記了導(dǎo)數(shù)和積分。傳統(tǒng)的優(yōu)秀課題教學(xué)雖然在教學(xué)設(shè)計上做得絲絲入扣，但是卻嚴(yán)重束縛了教學(xué)中的靈活性和變通性；傳統(tǒng)的評課標(biāo)準(zhǔn)，往往強調(diào)教學(xué)進(jìn)程要安排合理，教學(xué)環(huán)節(jié)井井有條；教學(xué)內(nèi)容面面俱全，但忽略學(xué)生學(xué)習(xí)中的實際需要。開設(shè)大學(xué)數(shù)學(xué)的主要目的是培養(yǎng)大學(xué)生的理性思考、邏輯思維能力和學(xué)以致用的能力。其中學(xué)以致用可以理解為這樣兩點，首先是作為后繼專業(yè)課學(xué)習(xí)的重要工具，其次是應(yīng)用數(shù)學(xué)和專業(yè)課知識解決實際問題。數(shù)學(xué)建模是理論聯(lián)系實際的一個橋梁，在緩解或解決傳統(tǒng)教學(xué)帶來的沖突問題時，是有效的途徑之一。

盡管將數(shù)學(xué)建模的思想融入到大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中很有必要，但數(shù)學(xué)模型的引入不是盲目的，要根據(jù)具體情況，做出正確的分析和決策。筆者認(rèn)為應(yīng)該遵循如下幾個原則。

2 數(shù)學(xué)建模思想融入到大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的原則

2.1 源于實際，結(jié)合教材的原則

起初只要能引起學(xué)生興趣就可以，要有簡單的思路和求解方法，如用石塊和秒表來測量山崖的高度的問題，高中期間利用自由落體運動公式，不考慮空氣阻力和回聲的時間就可以求解，但是結(jié)果很粗糙。如結(jié)合高等數(shù)學(xué)中的微積分知識，考慮空氣對石塊的阻力和回聲時間，結(jié)果相對就要精確許多。

2.2 啟發(fā)性、開放性的原則

啟發(fā)性的題目可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力并能將模型進(jìn)一步的推廣和應(yīng)用。開放性的題目可以留給學(xué)生盡可能大的發(fā)揮空間，讓學(xué)生最大可能的發(fā)揮自己的想象力和創(chuàng)造力。

2.3 不拘于形式的原則

教學(xué)過程中引入的數(shù)學(xué)模型可以課堂解決，有時也可以留作課后作業(yè)，根據(jù)學(xué)生的不同情況，做不同要求，學(xué)生可以獨立完成，或者兩個人一組來完成。因材施教，因地制宜，對于不同學(xué)校、不同院系專業(yè)的學(xué)生，引入的數(shù)學(xué)模型，要適合學(xué)生的專業(yè)特點。

2.4 盡早性的原則

時間越早越好，大一下學(xué)期最好，剛剛開始大學(xué)生活的學(xué)生容易接受教師的教育和引導(dǎo)，這時候?qū)W生有一定的高等數(shù)學(xué)知識。結(jié)合容易懂的實際問題模型，由淺入深結(jié)合適當(dāng)灌輸，把一些重要的概念、思想、方法講解給學(xué)生，讓學(xué)生明白認(rèn)真學(xué)好數(shù)學(xué)的思想和方法的重要性。

2.5 教學(xué)與教學(xué)研究相結(jié)合的原則

結(jié)合教學(xué)過程中出現(xiàn)的問題，及時在課后與學(xué)生深入交流，反思教學(xué)中融入數(shù)學(xué)模型的利弊關(guān)系，分析其中的原因，認(rèn)真做出總結(jié)，并作出合理的改進(jìn)。這對年輕教師來說相當(dāng)必要，因為教學(xué)研究對于自己的成長和教學(xué)風(fēng)格的確立有極大地促進(jìn)作用。

3 數(shù)學(xué)建模思想融入到大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的方法

3.1 首先讓學(xué)生對數(shù)學(xué)建模有一個基本的了解

了解什么是數(shù)學(xué)建模，以及相關(guān)的步驟。簡單地說，數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的一種實踐。即通過抽象、簡化、假設(shè)、引進(jìn)變量等處理過程后，將實際問題的本質(zhì)用數(shù)學(xué)方式（如函數(shù)、圖形、圖標(biāo)、代數(shù)方程、微分方程、積分方程、差分方程等）描述出來，然后運用先進(jìn)的數(shù)學(xué)方法及計算機技術(shù)進(jìn)行求解。主要步驟包括：問題的分析，模型的假設(shè)，模型的建立，模型的求解，結(jié)果的分析和檢驗，論文的寫作和實際應(yīng)用。

3.2 組織相關(guān)教師編寫可以融入課堂教學(xué)的模型單元，特別是可以融入高等數(shù)學(xué)、概率論與數(shù)量統(tǒng)計、線性代數(shù)和數(shù)學(xué)實驗四門課程的教學(xué)單元

主要提供可以融入各課程的實際問題的模型教學(xué)素材，包括問題的陳述、建模過程，求解驗證，習(xí)題、小的研究課題和考題。教師在編寫融入課堂的教學(xué)數(shù)模單元時，可以在一些班級中做一些問卷調(diào)查，了解學(xué)生想在所在的課堂上聽到哪些方面的內(nèi)容。只有站在學(xué)生的角度考慮，才能體現(xiàn)課堂的主體是學(xué)生，才能讓學(xué)生更多地參與進(jìn)來，才可以使得課堂教學(xué)更符合現(xiàn)代學(xué)生的特點。

3.3 在課堂教學(xué)過程中講述一些實際問題的數(shù)學(xué)模型

根據(jù)課時與學(xué)生的接受能力，有時可以只講解建模的思路、模型的建立、模型的求解方法、驗證方法和模型的推廣中的一部分或幾個部分。比如前面測量山崖高度的問題。如果不考慮空氣阻力和回聲所用的時間，利用自由落體運動假設(shè)t=4s，g=9.8m/s2，那么山崖的高度為78.4m。當(dāng)講微分學(xué)內(nèi)容的時候，可以將這個作為一個例子，除去地球吸引力外，對石塊下落影響最大的就是空氣阻力。假設(shè)空氣阻力正比于石塊下落的速度，阻力系數(shù)K為常數(shù)，由牛頓第二定律可得：為了求得山崖的高度，需要求解v，這時需要利用微分方程的知識，由于沒有講過，只需建立這個模型就已經(jīng)足夠了。等講一階微分方程的解法時，再接著講解完全可以。解得，結(jié)合初始條件可得再次積分得到，根據(jù)初始條件h/t=0=0，得到假設(shè)4s，則可求得h≈73.6m，這顯然比78.4米精確多了。該模型還可以修改，在考慮回聲的時間，結(jié)果將更精確。從這個例子中可以看出，同一個模型可以分開來講解。進(jìn)一步考慮回聲時間的模型，可以作為一個小的課題，讓學(xué)生自由發(fā)揮。

3.4 改革傳統(tǒng)的作業(yè)與考試成績相結(jié)合的考核方式

在課堂教學(xué)中引入了數(shù)學(xué)建模后，傳統(tǒng)的教學(xué)模式中的作業(yè)仍然占主導(dǎo)作用，用以鞏固所學(xué)的知識，輔以一些小課題（簡單的實際問題）的研究，這些小課題沒有固定的方法可循，也沒有固定的答案，教師只是根據(jù)實際情況提出一些具體要求，學(xué)生課后以小組為單位合作完成，提交書面的報告或論文，也可以獨立完成，教師主要依據(jù)假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)新性、結(jié)果的合理性和表述的清晰性等原則進(jìn)行評卷，并給出學(xué)生成績，這個成績也作為學(xué)生的最終成績的一部分來考核。這種小課題的作用，學(xué)生之間可以相互的交流、討論，達(dá)到了學(xué)生相互啟發(fā)、相互學(xué)習(xí)、共同提高的目的。不僅改變了學(xué)生只會獨立思考的習(xí)慣，而且增強了學(xué)生的團(tuán)隊合作精神和集思廣益的實踐創(chuàng)新能力，這也符合現(xiàn)代科研工作群體合作、聯(lián)合攻關(guān)的特點，符合現(xiàn)代科學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)要求。

4 大學(xué)數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)模型

高等數(shù)學(xué)［4］中微分學(xué)部分常見的模型有運動模型、經(jīng)濟(jì)模型（邊際成本）；最大最小值中常見模型有拋射物體模型、最大利潤模型；積分學(xué)部分的模型有變力沿直線做功等；微分方程模型有彈簧振動、串聯(lián)電路等模型。概率論與數(shù)理統(tǒng)計：概率部分的模型有彩票中獎問題等；統(tǒng)計部分學(xué)生的成績分布統(tǒng)計等。在線性代數(shù)中，涉及向量、矩陣和線性方程的模型有魔方矩陣；特征值和特征向量中常見模型有昆蟲的繁衍問題；以及與線性規(guī)劃相結(jié)合的線性優(yōu)化模型等。與數(shù)學(xué)建模緊密相關(guān)的數(shù)學(xué)實驗［4，5］中，主要介紹一些常見軟件的使用，如MATLAB、Lindo/lingo、Mathematics、Spss等軟件，并借助這些軟件可以對教材中的重要概念、方法、定理的重新認(rèn)識。

上面提到的這些模型有的比較大，有的比較適中，能夠在一門課程中講述1-2個模型就可以了，而且不需要講述的很詳細(xì)，詳細(xì)講述應(yīng)該是放在數(shù)學(xué)建模課程中進(jìn)行的，這里講述數(shù)學(xué)模型的目的在于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和增強學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。

5 結(jié)束語

數(shù)學(xué)建模的思想和方法越來越受到社會各界的重視，如何能更有效地將數(shù)學(xué)建模思想融入大學(xué)數(shù)學(xué)教育是一個有待深入研究和實踐的工作。我們認(rèn)為以教研為工作基礎(chǔ)，在教學(xué)工作中融入數(shù)學(xué)建模思想，是提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣、且學(xué)以致用的好途徑。培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、判斷推理能力、創(chuàng)新能力和團(tuán)隊協(xié)作能力；能使學(xué)生潛移默化地接受科學(xué)研究方式的教育，使學(xué)生養(yǎng)成良好的分析問題、解決問題的習(xí)慣，為今后在工作崗位上為社會做出貢獻(xiàn)奠定良好的基礎(chǔ)。

但是，教師在講解數(shù)學(xué)建模的方法等相關(guān)內(nèi)容時，如果深入講解，必然會受到學(xué)時的限制，如何解決這一個問題？另外，數(shù)學(xué)建模要求綜合各個學(xué)科的知識，一般來講，數(shù)學(xué)教師在這方面也會出現(xiàn)了困難，那么如何培訓(xùn)教師？這些都需要進(jìn)一步探討。

［1］姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［2］Jackson， A.NSF launches major initiative in mathematics Notices of AMS［J］，2001,48(2)：190-192.

［3］韓中庚.數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用［M］.北京：高等教育出版社，2005.

［4］吳贛昌.高等數(shù)學(xué)(第三版)［M］.北京：中國人民大學(xué)出版社，2009.

［5］萬中，曾金平.數(shù)學(xué)實驗［M］.北京：科學(xué)出版社，2001.

Research on Application of Mathematical Modeling Idea in the Process of College Mathematics Teaching

ZHANG Jian-yong，ZHANG Bin-wu
(Department of Math&Physics,Changzhou Campus of Hehai University,Changzhou 213022,China)

In this paper,the causes and principles of penetrating mathematics and mathematical modeling ideas into the process of mathematics teaching are discussed,and the paper shows how to penetrate these idea into the process of mathematical teaching. Finally practical problem models are listed which can be used in the main course.

mathematical modeling;mathematical teaching;innovation

耿繼祥）

G421

A

1672-3708（2010）06-0076-05

2010-10-26；

2010-11-24

張建勇（1978- ），男，山東臨沂人，講師，主要從事大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和大學(xué)生數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)工作。