諸建剛

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程就是解決一系列問題的過程，教師通過提出的問題控制學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)容和方向，保證學(xué)生學(xué)習(xí)的系統(tǒng)性、有效性，從而起到學(xué)習(xí)組織者、指導(dǎo)者的作用。教師如何在課堂教學(xué)中精心設(shè)計(jì)一系列好的問題就顯得非常重要，也值得去研究。這里，筆者結(jié)合自身多年的教學(xué)實(shí)踐，就這一問題的一個(gè)方面即問題設(shè)計(jì)的有效性策略來談?wù)勛约旱囊恍┱J(rèn)識。

1 現(xiàn)實(shí)性及應(yīng)用性策略

問題的創(chuàng)設(shè)要注重其現(xiàn)實(shí)性，使所學(xué)的知識與相應(yīng)的生活和生產(chǎn)實(shí)際相結(jié)合，使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價(jià)值，這樣可激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用的意識和能力。

2 典型性及針對性策略

典型性即指抓住理解和應(yīng)用知識的關(guān)鍵設(shè)置問題。如處理問題的典型思路和方法，知識間的內(nèi)在聯(lián)系及易錯(cuò)、易混之處，使問題擊中要害，學(xué)生能舉一反三，觸類旁通。如初中幾何計(jì)算通常采用分步計(jì)算和列方程（組）的方法，常用工具是相似三角形的比例式、勾股定理、面積變換等，教學(xué)時(shí)舉出相關(guān)例題讓學(xué)生從中掌握方法。

針對性即指根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)對各知識點(diǎn)的要求程度（如了解、理解、掌握、運(yùn)用等）設(shè)置問題，使問題難易得當(dāng)，有的放矢。

3 程序性及階梯性策略

所創(chuàng)設(shè)的問題應(yīng)按所學(xué)知識的發(fā)展過程組成一個(gè)循序漸進(jìn)、具有內(nèi)在聯(lián)系的問題體系，涉及的知識要從學(xué)生已有知識出發(fā)，逐步接近最近發(fā)展區(qū)，同時(shí)要針對學(xué)生知識出現(xiàn)的斷層和新舊知識的銜接點(diǎn)、學(xué)生的思維特點(diǎn)及認(rèn)知規(guī)律設(shè)計(jì)問題的角度和梯度，層層推進(jìn)，以達(dá)到讓學(xué)生“跳一跳，夠得著”的境界。這里應(yīng)避免兩種傾向，一是問題程序過細(xì)，關(guān)節(jié)過于顯露，不利于思維的開展；二是程序過粗，隱含條件太多，學(xué)生思路不明確，不易抓住要點(diǎn)進(jìn)行有目的的分析，容易導(dǎo)致學(xué)習(xí)方向的偏離。下面是方差一課的教學(xué)過程片段。

【情境設(shè)計(jì)：顯示打靶場面】

問題1：為了從甲、乙、丙3名射手中選拔一人參加射擊比賽，請你設(shè)計(jì)一種簡單易行的選拔方案。

學(xué)生回答：可分別計(jì)算甲、乙、丙3名射手射擊成績的平均數(shù)，誰的平均水平高，就選誰。

【新課】

教師提供甲、乙、丙3名射手的射擊成績：甲，10、7、7、7、7、7、4、7、7、7；乙，9、6、5、9、8、5、5、9、5、9；丙，8、6、6、7、6、4、7、5、5、6。

學(xué)生：1）分小組計(jì)算甲、乙、丙的射擊成績；2）發(fā)現(xiàn)除丙外，其他二人成績均為＝7；3）思維第一次受阻。

教師：激活思維。

問題2：平均數(shù)相等，射擊水平就完全一樣嗎？觀察數(shù)據(jù)特點(diǎn)，可從數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性上考慮。

學(xué)生小組討論，得出甲、乙數(shù)據(jù)特點(diǎn)：甲波動(dòng)幅度大，但波動(dòng)的數(shù)據(jù)少；乙波動(dòng)幅度小，但波動(dòng)的數(shù)據(jù)多。不能斷定哪個(gè)穩(wěn)定性好，思維第二次受阻。教師：單看個(gè)別數(shù)據(jù)的波動(dòng)幅度不能衡量一組數(shù)據(jù)的整體波動(dòng)大小。

問題3：怎樣才能衡量整個(gè)一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小呢？

提供一種方案，供學(xué)生參考：將甲、乙兩數(shù)據(jù)以點(diǎn)的形式標(biāo)注在平面直角坐標(biāo)系里（坐標(biāo)系略），然后用折線連接，確定7為中心線，從而觀察波動(dòng)情況。1）能比較明顯地看到有多少數(shù)據(jù)在振動(dòng)；2）數(shù)據(jù)偏離中心線的幅度有多少？結(jié)論：1）必須確定波動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)（一般取數(shù)據(jù)的平均數(shù)）；2）每個(gè)數(shù)據(jù)對整個(gè)波動(dòng)情況都起作用；3）這種繪制圖像的方法仍然是定性的綜合印象。

問題4：怎樣定量地計(jì)算整個(gè)波動(dòng)大小呢？

問題5：如何累計(jì)偏差？

學(xué)生：計(jì)算偏差的代數(shù)和，都為0。（無法比較，否定此法）

問題6：如何使正負(fù)偏差不互相抵消？

學(xué)生討論后得出兩種方法：1）給每個(gè)偏差加上絕對值后再相加；2）給每個(gè)偏差平方后再相加。

教師：通常采用方法2；小結(jié)計(jì)算偏差和的步驟。學(xué)生討論后得出步驟：1）計(jì)算數(shù)據(jù)平均數(shù)x；2）計(jì)算偏差，即每個(gè)數(shù)據(jù)與標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)（）的差；3）計(jì)算偏差的平方和。

分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的偏差的平方和：92.5、90、87.5；89、92、88、91、88。

教師：第一組的結(jié)果為12.5；第二組的結(jié)果為18，從計(jì)算可得出第一組比第二組穩(wěn)定，但觀察數(shù)據(jù)顯然是第二組穩(wěn)定。

問題7：觀察和計(jì)算為什么矛盾？學(xué)生：因?yàn)閮山M數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)不一樣。

問題8：在數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)不一樣的情況下如何合理計(jì)算偏差？

學(xué)生：計(jì)算偏差平方的平均數(shù)。

教師：請同學(xué)們分別計(jì)算上述兩組數(shù)據(jù)偏差平方的平均數(shù)。

學(xué)生：算出第一組為4.17，第二組為3。

教師：現(xiàn)在觀察和計(jì)算還矛盾嗎？學(xué)生：……

教師：1）我們把一組數(shù)據(jù)偏差平方的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的“方差”（板書課題“方差”）；2）請同學(xué)們總結(jié)計(jì)算方差的步驟。學(xué)生小組討論后給出步驟：1）計(jì)算數(shù)據(jù)的平均數(shù)；2）計(jì)算偏差，即每個(gè)數(shù)據(jù)與標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)（）的差；3）計(jì)算偏差的平方和；4）除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。

問題9：對一般性的數(shù)據(jù)x1、 x2、 …xn，設(shè)其平均數(shù)為，你能寫出方差計(jì)算公式嗎？

問題10：通過以上學(xué)習(xí)，你能講講方差的作用嗎？學(xué)生：用來估計(jì)一組數(shù)據(jù)波動(dòng)的大小，方差越大，波動(dòng)越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，波動(dòng)越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定。

教師：1）標(biāo)準(zhǔn)差是用來恒量數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的另一個(gè)數(shù)學(xué)量；2）方差的單位是原數(shù)據(jù)單位的平方，而標(biāo)準(zhǔn)差的單位與原數(shù)據(jù)單位一致。

通過以上層層遞進(jìn)、環(huán)環(huán)相扣的主問題，引發(fā)學(xué)生積極的思考和探索，不僅使學(xué)生掌握了抽象的方差公式，還讓他們知道了公式應(yīng)用的環(huán)境和方法。

4 探究性及開放性策略

所編擬的問題要盡量創(chuàng)設(shè)懸念，體現(xiàn)思維沖突，使學(xué)生在知識上產(chǎn)生困惑，造成一種適度的心理焦慮。這樣可使學(xué)生產(chǎn)生質(zhì)疑問題、探索求解的動(dòng)機(jī)，促使他們積極主動(dòng)地去探索知識，尋找規(guī)律，以達(dá)到激發(fā)思維，提高分析解決問題的能力的目的。同時(shí)，在創(chuàng)設(shè)問題時(shí)，要以基本知識為中心，通過各種變式手段營造開放性問題情境，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度去發(fā)散思維，開拓思路，增強(qiáng)自身的創(chuàng)新意識。

5 反思性及引申性策略

學(xué)生在解決問題時(shí)，一般情況下只會(huì)就題論題，其思想往往不夠嚴(yán)謹(jǐn)，帶有一定的直覺性，不大可能及時(shí)對自己的思維過程和解題方法進(jìn)行整理、提升。因此，教師在解決原有問題的基礎(chǔ)上再設(shè)計(jì)一些迫使學(xué)生去反思的問題就很有必要。學(xué)生在教師的追問下進(jìn)行反思，可深化對知識的理解，溝通新舊知識的聯(lián)系，優(yōu)化解題方法，完善思維活動(dòng)過程。此外，對所設(shè)計(jì)的一類問題及時(shí)進(jìn)行歸納拓展，可促進(jìn)學(xué)生對知識的同化和遷移，增強(qiáng)聯(lián)想類比能力，進(jìn)一步提高思維活動(dòng)效率。

總之，一個(gè)好的問題，能揭示事物的矛盾，喚起學(xué)生積極的思維，促使他們進(jìn)入解決問題的角色，從而達(dá)到掌握知識、訓(xùn)練能力、培養(yǎng)創(chuàng)新的目的。而要設(shè)計(jì)出一系列好的問題，需要教師課前精心設(shè)計(jì)，也需要掌握一些設(shè)計(jì)問題的策略和方法。