段星德，周偉峰

(楚雄師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，云南 楚雄 675000)

股票市場指數(shù)收益率波動性的研究是近幾年來金融領(lǐng)域的一個重要課題，其研究結(jié)論既可作為資產(chǎn)定價(jià)、風(fēng)險(xiǎn)度量等的基礎(chǔ)，又可給管理者和投資者提供有用的信息。深證指數(shù)以所有掛牌的上市公司為樣本，其代表性非常廣泛，且它與深圳股市的行情同步發(fā)布，它是股民和證券從業(yè)人員研判深圳股市股票價(jià)格變化趨勢必不可少的參考依據(jù)，深圳證券交易所并存著兩個具有代表性的股票指數(shù):一個是深證綜指，一個是深證成指。但從運(yùn)行態(tài)勢來看，兩個指數(shù)間的區(qū)別越來越明顯。深證成指隨著每年強(qiáng)勢優(yōu)質(zhì)股的反復(fù)調(diào)入，波動率的起點(diǎn)不斷前移，逐漸和上證綜指趨于同步，深證綜指由于不作為，其代表對外首先播報(bào)，逐漸被邊緣化，但深證綜指最近這些年來較少受新股因素的影響，也缺少機(jī)構(gòu)投資者人為炒作的因素，所以較少失真，且眾多股市數(shù)學(xué)模型始終將深證綜指作為研究的重要基礎(chǔ)。此處的主要目的就是為深證綜指和深證成指日收益率的波動性建立合理可靠的模型。

1 模型概述

Bollerslev(1986)把ARCH模型發(fā)展為廣義自回歸條件異方差模型即GARCH模型［1］。GARCH模型的定義如下:如果

α0＞0，αi≥0，ut=，vt獨(dú)立同分布;則稱序列{ut}服從廣義的 ARCH過程，即 GARCH(p，q)過程，記作ut～ GARCH(p，q)(其中ut為誤差項(xiàng)，為ut在時刻t的條件方差，此處假定vt服從t分布)。如果滿足＜1，則稱ut～GARCH(p，q)是穩(wěn)定過程。

GARCH模型的優(yōu)點(diǎn)在于解決了ARCH(p)模型中階數(shù)p較大問題，減少了估計(jì)量，比ARCH模型具有更高的效益。為了能夠刻畫“高風(fēng)險(xiǎn)高收益”的經(jīng)濟(jì)金融現(xiàn)象，Engle等又提出“GARCH-M模型”。模型定義如下［2］:

但經(jīng)典GARCH模型也依然有缺點(diǎn)，比如GARCH模型不能很好的刻畫金融市場普遍存在的所謂“杠桿效應(yīng)”。為了彌補(bǔ)這一缺陷，Zakoian和Nelson又分別提出TGARCH模型和EGARCH模型。

(1)TGARCH模型［3］。TGARCH(Threshold GARCH)模型在經(jīng)典 GARCH模型的基礎(chǔ)上最先由 zakojan(1990)提出，將條件方差定義為:

在這個模型中，由于引入dt，股票上漲信息(ut＞0)和下跌信息(ut＜0)對條件方差的作用效果不同。上漲時 =0，其影響可用系數(shù)代表，下跌時為+φ。若φ≠0，則說明信息作用是非對稱的;如果φ＞0，則表明存在杠桿效應(yīng)。

(2)EGARCH模型［3］。EGARCH模型，即指數(shù)(Exponential)GARCH模型，由 Nelson在1991年提出，模型的條件方差定義為:

模型中條件方差采用了自然對數(shù)形式，意味著σ2t非負(fù)且杠桿效應(yīng)是指數(shù)型的。式中φi表示杠桿效應(yīng)系數(shù)，若φ≠0，說明信息作用非對稱;當(dāng)φ＜0時，杠桿效應(yīng)顯著。EGARCH模型的優(yōu)點(diǎn)在于克服了ht非負(fù)限制的障礙。

2 實(shí)證分析與預(yù)測

(1)數(shù)據(jù)及其統(tǒng)計(jì)分析。此處選取的數(shù)據(jù)是深證綜指和深證成指的歷史日收盤價(jià)格，時間段為2000年1月4日至2007年12月28日，共1 925個。數(shù)據(jù)均來自大智慧。

在對時間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行處理時，先對數(shù)據(jù)取自然對數(shù)變換，即Zt=logPt(其中Pt表示日收盤價(jià))，再進(jìn)行一階差分后得Rt=logPt-logPt-1，Rt即為這兩個股指的日收益率。表1給出了這兩個日收益率序列的基本統(tǒng)計(jì)。

表1 日收益率的基本統(tǒng)計(jì)

(2)ARCH效應(yīng)的檢驗(yàn)。序列是否存在ARCH效應(yīng)，最常用的檢驗(yàn)方法是殘差平方相關(guān)圖檢驗(yàn)和拉格朗日乘數(shù)法(LM)檢驗(yàn)。此處采用LM方法首先對深證綜指日收益率進(jìn)行檢驗(yàn)。作出深證綜指日收益率的折線圖。

圖1 深證綜指日收益率折線圖

由圖1可知該日收益率序列是平穩(wěn)的，于是對其作普通最小二乘法(OLS)回歸，在5%的顯著性水平下，根據(jù)回歸系數(shù)的相伴概率及AIC準(zhǔn)則和SC準(zhǔn)則，得到回歸方程:

括號里的系數(shù)是t-統(tǒng)計(jì)量的值。這里得到了殘差序列，記其為resid01。對resid01進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)和ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)序列resid01不存在自相關(guān)性，但存在高階ARCH(q)效應(yīng)。故可考慮直接用GARCH類模型進(jìn)行建模。同理可用R2，t=α0作為均值模型對深證成指進(jìn)行建模。

(3)建模。通過Eviews6.0軟件，可得GARCH(1，1)模型的估計(jì)結(jié)果。

深證綜指日收益率R的均值方程:R1，t=0.048 484R1，t-1+^;Z統(tǒng)計(jì)量=(2.082 885)。條件方差方程:

Z統(tǒng)計(jì)量 =(3.153 231)(5.995 398)(52.739 59);對數(shù)似然L=5 490.281，AIC=-5.7049 20，SC=-5.690 460。

為了進(jìn)行比較分析，對日收益率R估計(jì)GARCH-M模型，通過軟件計(jì)算可得估計(jì)結(jié)果。

深證綜指日收益率R的均值方程:R1，t=-0.002 919+0.266 748+;Z統(tǒng)計(jì)量=(-2.923 258)(3.522 191)。條件方差方程:

Z統(tǒng)計(jì)量 =(3.172 648)(5.928 855)(51.24 570);對數(shù)似然L=5 498.896，AIC=-5.7098 71，SC=-5.692 526。

以上兩類模型的參數(shù)估計(jì)，均假定模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)服從t-分布。由于深證綜指日收益率表現(xiàn)出“尖峰后尾”特征，即比正態(tài)分布假設(shè)具有更厚的“尾巴”，使用t-分布能夠比正態(tài)分布假設(shè)較好地描述日收益率序列的這種厚尾特征，實(shí)證表明，這一結(jié)論是合理的。運(yùn)用AIC和SC越小越好的準(zhǔn)則，可得出模型(10)比模型(9)更合理。在模型(10)中，日收益率方程包括σt的原因是為了在日收益率的生成過程中融入風(fēng)險(xiǎn)測量，這是許多資產(chǎn)定價(jià)理論模型的基礎(chǔ)——“均值方程假設(shè)”的含義。在這個假設(shè)下，ρ應(yīng)該是正數(shù)，結(jié)果也正是如此，因此預(yù)期較大值的條件標(biāo)準(zhǔn)差與高日收益率相聯(lián)系，模型(10)中均值方程中的的系數(shù)為0.27，表明當(dāng)市場中的預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)增加一個百分點(diǎn)時，就會導(dǎo)致日收益率也相應(yīng)的增加0.27個百分點(diǎn)。估計(jì)出的方程的所有系數(shù)都很顯著，并且系數(shù)之和=0.986 148＜1，滿足平穩(wěn)條件，故日收益率的條件方差將收斂到無條件方差=0.000 3321。再對模型(10)估計(jì)的殘差進(jìn)行ARCH LM檢驗(yàn)，當(dāng)q=10時，Obs*R-squared的值為5.811 243，相伴概率P值為0.830 9，因此在5%的顯著性水平下，可以接受“殘差不存在ARCH效應(yīng)”。

通過相同的建模思想和方法，可對深證成指日收益率R2，t建立如下模型:

深證成指日收益率R的均值方程:R2，t=-0.003 957+0.311 633;Z統(tǒng)計(jì)量=(-3.493 889)(3.803 540)。條件方差方程:

Z統(tǒng)計(jì)量=(3.339 842)(5.917 820)(52.46 982);對數(shù)似然L=5 442.891，AIC=-5.651 654，SC=-5.634 308。

進(jìn)一步考慮到日收益率波動非對稱的情況，引入TGARCH和EGARCH模型，通過實(shí)證表明，深證綜指日收益率的波動存在“杠桿效應(yīng)”，而深證成指日收益率的波動的“杠桿效應(yīng)”不顯著，故只對前者進(jìn)行建模。通過軟件，可得兩類模型TGARCH(1，1)和EGARCH(1，1)的參數(shù)估計(jì)結(jié)果。從結(jié)果中發(fā)現(xiàn):兩類模型均能說明股指價(jià)格的波動具有“杠桿”效應(yīng)，但運(yùn)用相關(guān)的準(zhǔn)則，認(rèn)為EGARCH(1，1)模型更合理。如下是模型的參數(shù)估計(jì):

深證綜指日收益率R的均值方程:R1，t=0.046 469R1，t-1+0.051 089;Z統(tǒng)計(jì)量=(2.002 099)(2.427 891)。條件方差方程:

Z統(tǒng)計(jì)量 =(-4.806 448)(7.109 642)(-2.082 807)(133.701 7);對數(shù)似然L=5 503.483，AIC=-5.716 571，SC=-5.696 325。

在EGARCH模型中，α的估計(jì)值為0.203 049，非對稱項(xiàng)φ的估計(jì)值為-0.029 883。當(dāng)ut-1＞0時，該信息沖擊對條件方差的對數(shù)有一個0.173 166倍的沖擊;當(dāng)ut-1＜0，則它給條件方差的對數(shù)沖擊大小為0.232 932倍。

根據(jù)估計(jì)出的EGARCH模型的結(jié)果，可以繪制出相應(yīng)的信息曲線。

圖2 好消息和壞消息的非對稱信息曲線

這里z表示標(biāo)準(zhǔn)化殘差或稱之為信息，f(z)表示波動性。從圖2可以看出，這條曲線在信息沖擊小于0時(即z＜0)，比較陡峭，而在正沖擊時(z＞0)時比較平緩，從而說明負(fù)的沖擊比正的沖擊對波動性的影響更大，進(jìn)一步從圖形說明存在“杠桿效應(yīng)”［4］。

(4)基于GARCH類模型的預(yù)測。預(yù)測時段為2008年1月2日至2008年12月31日，共245個數(shù)據(jù)。用GARCH-M，TGARCH(1，1)，EGARCH(1，1)模型分別對深證綜指日收益率的波動率(方差)進(jìn)行預(yù)測;用GARCH-M模型深證成指日收益率的波動率(方差)進(jìn)行預(yù)測。預(yù)測結(jié)果如表2。表2給出的是預(yù)測值的前5個數(shù)據(jù)。

表2 日收益率的波動率預(yù)測

從表2可看出，用3類模型分別對深證綜指日收益率的波動率進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果均為呈穩(wěn)定上升趨勢，且趨于無條件方差0.000 3321，顯然用EGARCH(1，1)模型進(jìn)行預(yù)測效果更佳。而用GARCH-M模型預(yù)測深證成指日收益率的波動率，結(jié)果表明呈下降趨勢，即波動率越來越小。

3 結(jié)論

實(shí)證研究表明，對于我國股票市場，深市的股指日收益率序列確實(shí)存在高峰厚尾性、波動集群性，并用t-分布來描述中國股市日收益率的大漲大跌，符合實(shí)際情況?；趖-分布的GARCH-M(1，1)模型能很好的刻畫深市股指日收益率的“風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)”現(xiàn)象，模型中風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)ρ值均為正，表明投資者是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的，且ρ值均為0.3左右，表明投資者期望風(fēng)險(xiǎn)求償約為風(fēng)險(xiǎn)的0.3倍左右。

基于t-分布的TGARCH-M(1，1)和EGARCH-M(1，1)模型的非對稱檢驗(yàn)表明這個時期深證綜指存在顯著的“杠桿效應(yīng)”，而這個時期深證成指的“杠桿效應(yīng)”不顯著，說明深市中這兩個不同股指是有差別的，表現(xiàn)出不同的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象。所以有人把深證綜指和深證成指視為一體，覺得沒必要研究深證綜指，這一說法是錯誤的。

［1］BOLLERLEV T.Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity［J］.Journal of Econometrics，1986，31:307-327

［2］ENGLE R F，Lilien D M，Robins R P.Estimating time varying risk premia in the term structure:the ARCH-M model［J］.Econometrica，1987，55:391-407

［3］易丹輝.數(shù)據(jù)分析與Eviews應(yīng)用［M］.北京:中國人民大學(xué)出版社，2008

［4］高鐵梅.計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析方法與建?！狤Views應(yīng)用及案例［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2005