王寶森，梁 奉

(1.北京物資學院 經濟學院，北京 101149;2.北京物資學院 研究生部，北京 101149)

現(xiàn)代組合投資決策都是依靠數(shù)量化、模型化的方法來確定最優(yōu)投資組合。根據(jù)投資組合優(yōu)化理論，針對投資者的期望收益率和風險等約束條件，通過對數(shù)學模型的求解，給出在風險約束下或者以風險最小化為目標的投資組合有效前沿和資金在各類資產上的投資比例，使投資者可以了解所有的投資機會和各種風險收益狀況，然后再根據(jù)各自的偏好，在權衡每一個組合后，從中選擇滿足自己要求的最優(yōu)投資組合。

關于最優(yōu)投資組合策略問題，具有奠基性的成果是美國經濟學家H.Markowitz提出的經典理論—均值-方差投資組合理論。50多年來，該理論取得了重大進展，如一些學者將風險價值VaR方法引入到投資組合的研究中。Alexander等分析了基于VaR約束的允許賣空情況下的投資組合有效前沿的結構特征。遲國泰等研究了允許賣空情況下基于VaR約束的均值-方差投資組合的有效前沿和最優(yōu)投資比例。在現(xiàn)有投資組合理論模型中，是以方差來度量風險的。然而，方差并不是一個精確計量風險的度量方法，它既包含人們不愿面對的虧損，又包括人們努力追求的超額回報，并且它也不能確切地指出投資組合損失的可能性到底有多大。因此推出了基于VaR的風險計量模型，以VaR值作為度量風險的大小。

但是當今金融市場錯綜復雜，資產收益率分布存在尖峰、肥尾等現(xiàn)象。即便收益率分布給定且滿足風險價值VaR管理，在極端情況下?lián)p失依舊可能很大(即超過VaR的損失值可能是災難性的)，從而給投資者造成無法接受的災難性損失。綜合考慮以上因素，在合理地估計投資組合收益率下，提出以組合的條件風險價值CVaR為最小目標函數(shù)，以組合的VaR為約束條件，通過二次規(guī)劃的方法，建立投資組合優(yōu)化模型。這樣避免了災難性的損失，并可以把損失限制在可接受的范圍內。

1 模型的設計

VaR方法成為金融市場風險測量的主流方法，但是VaR只適合于在市場正常波動的情況下。由于VaR不滿足一致性的要求且在市場在不正常情況下無法估計其損失(特別極端事件下)，而且沒有考慮當VaR值被超過時損失究竟是多少的問題，所以當真實損失超過了VaR的度量時，無法進一步識別風險是可以忍受的還是災難性的。針對VaR的不足，提出了一種VaR的修正方法CVaR，它具有VaR的優(yōu)點，同時也滿足次可加性、凸性等良好的性質。鑒于此，此處試用CVaR來度量風險，僅把VaR作為約束條件。CVaR的簡化模型如下:

其中K*即為置信水平取1-c時的VaR，滿足P(L≤K*)=1-c;CVaR是指損失超過K*的條件均值，它代表了超額損失的平均水平，反映了損失超過K*時可能遭受的平均潛在的損失大小。

假設超過K*的L值服從標準正態(tài)分布L(0，1)，即其密度函數(shù)為:

記P(L＜-u1-c)=1-c;則VaR=-u1-c，其中-u1-c為標準正態(tài)分布關于c的下側分位數(shù)。

優(yōu)化的基本原理就是以投資組合的CVaR最小為目標函數(shù)，以VaR為約束條件，在合理的區(qū)間內選擇目標收益率，求解各股票在投資組合中的比重。

2 基于CVaR風險度量和VaR風險約束的貸款組合優(yōu)化模型

2.1 投資組合確定

假設有n種股票的投資組合，rti為第i只股票在t時的收益率(t=1，2…m;i=1，2…n)。則第i只股票的期望收益為:

假設xi為第i只股票在投資組合中所占的比重。則投資組合的期望收益為:

2.2 目標函數(shù)的確定

2.2.1 投資組合方差的確定

利用現(xiàn)有的收益率和收益率數(shù)據(jù)，可對各項投資組合方差和協(xié)方差進行統(tǒng)計估計。，σij(i=1，2，…，n;j=1，2，…，n)分別代表投資組合收益率的方差和協(xié)方差的無偏估計:

則投資組合的整體風險為:

式中的xi(i=1，2，…，n)為投資組合中第i只股票所占的比重。X=(x1，x2，…，xn)T，U可以用下面式子表示:

2.2.2 CVaR風險度量的確定

對于投資組合，當有正收益時，意味著無損失;當組合收益為負時，意味著有損失。從而可以定義損失L=-μ。則存在:

若 μi(i=1，2，3，…，n)服從正態(tài)分布，則L也服從正態(tài)分布，即L～(-μ(X)，σ(X)2)，經過標準化后得出:

根據(jù)式(3)和相關數(shù)理統(tǒng)計知識可得出:

由于式(13)和式(14)兩式子的左邊相等，從而可得出:

2.2.3 目標函數(shù)的建立

將CVaR最小值為投資組合優(yōu)化目標函數(shù)，這樣可以降低投資組合發(fā)生災難性風險的可能性。目標函數(shù)為:

模型以CVaR最小作為目標函數(shù)的好處是反映了損失超過VaR時可能遭受的平均潛在損失的大小。解決了VaR方法無法進一步識別風險是可以忍受的還是災難的問題，彌補VaR不能反映損失尾部信息的缺失，能防范小概率極端金融風險，降低投資組合發(fā)生災難的可能性。

2.3 基于VaR的組合風險控制

以VaR作為約束條件目的是用組合的VaR收益率最大損失來控制投資組合收益率風險限額，直接反應了風險承受能力。

2.4 模型的建立

目標函數(shù):

2.5 VaR約束的解釋

聯(lián)立方程(17)和(18)，消除共同項，可以得到CVaR和μ(X)的關系式如下:

2.6 投資組合收益率合理區(qū)間的確定

目標收益率μ(X)應該在模型的有效前沿選取，利用拉格朗日乘子法可以得到有效前沿上最小的CVaR點(圖1中的F點)對應的收益率μ(rpm)，其中:

圖1 在CVaR～μ(X)空間的VaR約束

3 實證

3.1 歷史數(shù)據(jù)收集

數(shù)據(jù)分別取來自不同行業(yè)的5只股票，收益率時間段按每天來計算，總共19 d。其收益率的計算為:rti=(PT-PT-1)/pt-1.其中t(t=1，2，…，19;i=1，2，…，5)為天數(shù)。根據(jù)收集的數(shù)據(jù)確定組合的收益和方差，并得出收益向量為:R=(R1，R2，R3，R4，R5)=(0.003 7，-0.000 5，0.001 8，0.004 1，-0.00 1)T。其中Ri為第i只股票的平均收益率。

3.2目標函數(shù)確定

3.3 VaR約束條件的確定

在限制賣空的情況下，各只股票在投資組合中所占的比例應該大于等于零，即xi≥0(i=1，2，…，5)，且

根據(jù)其風險承受能力，選定VaR=5%，置信水平1-c=95%，根據(jù)正態(tài)分布，得出Ф-1(1-c)=1.65，從而有 1.65σ(X)-μ(X)≤0.05。

3.4 投資組合優(yōu)化模型的建立

綜合以上，可得出組合優(yōu)化模型為:

其中σ(X)=

3.5 模型求解及分析

結合Matlab軟件和lingo軟件求解得出各只股票的投資比例，X=(0.52 0.00 0.17 0.31 0.00)T，最優(yōu)值即條件風險價值CVaR=0.022 1。各只股票的收益均值、方差及分配比例如表1:

表1 股票的收益均值、方差及分配比例

從表1中分析可以得出:投資組合主要集中于收益率高，方差較小的股票1、股票3、股票4。其中為了保證收益率，投資沒有把資金分配于股票2和股票5，同時為了能保證投資組合不發(fā)生災難性風險，投資組合也沒有把過多的資金投資于收益率最高但風險較大的股票4，這與經驗認識是相符的。

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