吳 江，劉 春，孟世才

（1.重慶郵電大學(xué) 數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)教學(xué)部，重慶 400065；2.重慶合川行知職業(yè)中學(xué)，重慶401520；3.重慶教育學(xué)院 經(jīng)濟(jì)貿(mào)易系，重慶400067）

淡化形式注重實質(zhì)
——工科數(shù)學(xué)教學(xué)漫談之一

吳 江1，劉 春2，孟世才3

（1.重慶郵電大學(xué) 數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)教學(xué)部，重慶 400065；2.重慶合川行知職業(yè)中學(xué)，重慶401520；3.重慶教育學(xué)院 經(jīng)濟(jì)貿(mào)易系，重慶400067）

在工科數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)淡化知識、概念的形式化描述，注重實質(zhì)掌握；應(yīng)淡化知識的量的積累，注重學(xué)力形成；注重數(shù)學(xué)的人文價值。

工科數(shù)學(xué)；實質(zhì)掌握；學(xué)力形成；人文價值

工科數(shù)學(xué)教育是高等工程教育的重要基礎(chǔ)課之一，它不但為后繼課程提供知識上的準(zhǔn)備和思維上的儲備，而且在學(xué)生的創(chuàng)新個性，如好奇心、想象力、直覺、敢于追問、探索精神等品質(zhì)的形成過程中起著舉足輕重的作用。但在傳統(tǒng)的工科數(shù)學(xué)教學(xué)中，過分追求邏輯結(jié)構(gòu)的自封以及形式計算的技巧，過分地強調(diào)解題技巧的訓(xùn)練和運算能力的培養(yǎng)，反而會沖淡工科數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)，不利于學(xué)生創(chuàng)新素質(zhì)的培養(yǎng)，為此，需“淡化形式，注重實質(zhì)”。

1 淡化知識、概念的形式化描述，注重實質(zhì)掌握

數(shù)學(xué)的一個重要特點就是形式化，如形式化的純文字?jǐn)⑹?、形式化的表示、形式化的推理、形式化的演算，達(dá)到極致便是希爾伯特的形式主義了。但是形式化是有限度的，希爾伯特的形式主義已被證明不可能，而且特別是一切創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)思維活動往往是直覺的、非形式化的、非邏輯的。

至于在工科數(shù)學(xué)教育中，數(shù)學(xué)不應(yīng)僅是作為科學(xué)的數(shù)學(xué)，而更應(yīng)是作為學(xué)科的數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)更應(yīng)關(guān)注的是數(shù)學(xué)的教育形態(tài)，而不僅是數(shù)學(xué)的科學(xué)形態(tài)，因此，在進(jìn)行由數(shù)學(xué)的科學(xué)形態(tài)向數(shù)學(xué)的教育形態(tài)轉(zhuǎn)變過程中，對知識、概念的非形式化處理已成為必不可少的手段，問題是如何掌握以使之適當(dāng)。例如，“函數(shù)的極限”定義是整個高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論，其極抽象的“ε-N，ε-δ”定義方式也使許多初學(xué)者望而卻步，許多學(xué)生學(xué)完整個高等數(shù)學(xué)后，雖學(xué)會了不少求極限運算的技巧，但仍對極限的定義和實質(zhì)云里霧里。講授它時，先讓學(xué)生觀察一些實例，可直觀得出這樣一個現(xiàn)象“當(dāng)自變量 x（或 n）有某種趨近過程時，因變量 f（x）（或 xn）無限趨近于常數(shù)A”，再鼓勵學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)語言來嚴(yán)格刻畫該現(xiàn)象，其中最主要是刻畫“無限趨近”，從而得到極限定義，即“l(fā)imf（x）＝A?對于?ε＞0，都時刻，使得此時刻以后恒有｜f（x）-A｜＜ε”，因在“自變量的趨近（運動）過程”中，“時刻”與“位置”、“距離”（選一固定點為參照點）一一對應(yīng)，這樣再來理解“自變量的七種趨近過程”中的“時刻”、“時刻以后”的具體表達(dá)形式就容易了，這樣從直觀到抽象，從現(xiàn)象到本質(zhì)符合學(xué)生的思維順序，七種極限的統(tǒng)一定義有助于學(xué)生掌握極限的定義及本質(zhì)。

所以，“淡化形式，注重實質(zhì)”就是允許非形式化，不要把知識、概念的形式化語言描述看得過分神圣，不要過分注重概念形式上的系統(tǒng)性、準(zhǔn)確性、完整性，教學(xué)的重點和實質(zhì)在于對他們的理解和領(lǐng)悟，用建構(gòu)主義的觀點說，就是要深層理解。其深刻程度可以用幾項指標(biāo)刻畫：能否用自己的語言解釋、表述和與他人交流所學(xué)的知識；能否基于這一知識作出推論和預(yù)測，從而解釋相關(guān)的現(xiàn)象；能否用這一知識解決變式問題和綜合性問題；能否將所學(xué)知識遷移到新問題中去。

2 淡化知識的量的積累，注重學(xué)力形成

其實，我們還可以進(jìn)一步深層次探討，“淡化形式，注重實質(zhì)”所關(guān)注的不單是注重對知識、概念的實質(zhì)掌握以及知識的量的積累，而更是注重在這個掌握過程中學(xué)生所獲得的“學(xué)力形成”，即（1）學(xué)習(xí)欲望、學(xué)習(xí)意念；（2）學(xué)習(xí)方法，也就是說首先要學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題，為探究問題而產(chǎn)生學(xué)習(xí)欲望和學(xué)習(xí)意念，然后思考如何學(xué)習(xí)從而自己產(chǎn)生學(xué)習(xí)方法。

杜威說，我們生活在一個向前發(fā)展中的世界，在這個世界上，我們的主要任務(wù)是展望未來，而回顧過去——一切知識和思想不同，它是回顧過去的——的價值在于使我們可靠地、安全地和有成效地應(yīng)付未來。布魯姆等也這樣認(rèn)為，學(xué)習(xí)不僅應(yīng)學(xué)到應(yīng)學(xué)的東西，而且應(yīng)該使?fàn)柡蟮膶W(xué)習(xí)更容易；學(xué)習(xí)不僅是為了現(xiàn)在，而且是為了將來；在不斷變化的將來社會中，此時的解決方法可能不適合彼時的問題，而且遇到的問題也不會一樣的，在傳授知識和發(fā)展能力之比較中，教會學(xué)生解決問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生把知識應(yīng)用于新情況的能力就顯得更為重要，這也符合學(xué)習(xí)化社會和終身教育的要求。因此，學(xué)校里的教學(xué)要把發(fā)展放在首位，“要幫助每個學(xué)生獲得最好的智力發(fā)展”，“促使所有的學(xué)生充分利用他們的智力”，具體學(xué)科知識的學(xué)習(xí)的主要目的及功能更在于引導(dǎo)學(xué)生從“學(xué)會”到“會學(xué)”，即“學(xué)會學(xué)習(xí)”，從而獲得可持續(xù)發(fā)展的思想意識和思維基礎(chǔ)。

再者，知識并不是對現(xiàn)實的準(zhǔn)確表征，而只是一種解釋和假設(shè)，學(xué)習(xí)者根據(jù)自己的經(jīng)驗背景，以自己的方式建構(gòu)對知識的理解，不同的人看到的是事物的不同方面，因此對于世界的理解和賦予意義由每個人自己決定，而不存在惟一標(biāo)準(zhǔn)的理解。所以，從個人角度考慮，課本知識只是作為一種假設(shè)二解釋世界的“模板”，在解決問題時并非拿來即用，一用就靈，卻是要根據(jù)具體情況進(jìn)行再創(chuàng)造。因而，學(xué)習(xí)過程不僅是學(xué)習(xí)知識的過程，而更是學(xué)會學(xué)習(xí)和創(chuàng)造的過程；學(xué)習(xí)目標(biāo)不僅在于獲得正確的認(rèn)識成果，而更應(yīng)在于認(rèn)知活動方式和認(rèn)識能力的形成。

日本數(shù)學(xué)教育學(xué)家米山國藏先生曾深刻地指出“不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，惟有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)的思維方法，研究方法，推導(dǎo)方法和著眼點等，都隨時地發(fā)生作用，使他們受益終生?！币虼耍鳛楦叩裙た圃盒５墓不A(chǔ)課之一的工科數(shù)學(xué)教育的核心不僅僅是通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)科知識為以后專業(yè)課的學(xué)習(xí)作知識上的積累，更是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)科知識過程中學(xué)會數(shù)學(xué)化，初步形成“數(shù)學(xué)頭腦”，能用基本的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)手段和數(shù)學(xué)方法分析和解決數(shù)學(xué)具體問題以及其他一些現(xiàn)實問題，為以后專業(yè)課的學(xué)習(xí)作學(xué)習(xí)能力和思維能力上的儲備。用弗賴登塔爾的話說就是“與其說讓學(xué)生學(xué)習(xí)公理體系，不如說讓學(xué)生學(xué)習(xí)公理化；與其說讓學(xué)生學(xué)習(xí)形式體系，不如說讓學(xué)生學(xué)習(xí)形式化；與其說讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不如說讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化”。

3 注重數(shù)學(xué)的人文精神

再往進(jìn)一步深追問，就涉及工科數(shù)學(xué)教育的終極追求究竟是什么？難道就僅僅是其工具性和應(yīng)用性嗎？我們先來看看教育的本質(zhì)是什么，教育是人類組成社會的產(chǎn)物，其為社會的功能，終為人的自身生長之必須，所以教育的終極追求是提高人的精神境界，以達(dá)人格之健全。

再來看看數(shù)學(xué)的價值是什么，數(shù)學(xué)曾經(jīng)被認(rèn)為是精確論證的頂峰、探索宇宙秘密的工具和真理的化身、是關(guān)于宇宙設(shè)計的真理?，F(xiàn)在盡管數(shù)學(xué)賦予人類的理性力量和嚴(yán)密推演動搖了數(shù)學(xué)是真理的化身的信念，但數(shù)學(xué)中的探索與反思、證明與反駁、理性精神成就了數(shù)學(xué)的人文價值，也使得數(shù)學(xué)成果對人類社會精神方面的影響已超過對數(shù)學(xué)自身的影響，它對認(rèn)識觀、時空觀、倫理觀乃至人生觀都產(chǎn)生了巨大的作用。美國數(shù)學(xué)教育家克萊因曾說，音樂能激發(fā)或撫慰情懷；繪畫使人賞心悅目；詩歌能動人心弦；哲學(xué)使人獲得智慧；科技可以改善物質(zhì)生活；數(shù)學(xué)卻能提供以上一切。這既能演繹出數(shù)學(xué)的科技價值，又能演繹出數(shù)學(xué)的人文價值。

由此，在工科數(shù)學(xué)教育中，在傳授知識、培養(yǎng)能力的同時，也應(yīng)注重數(shù)學(xué)人文精神的滲透，比如，在講“微積分”時補充“三次數(shù)學(xué)危機”、講“無窮級數(shù)”時補充“潛無限與實無限之爭”等。而且我們的數(shù)學(xué)教學(xué)也應(yīng)著力于問題探究式教學(xué)，以培養(yǎng)學(xué)生勇敢探索與勤奮進(jìn)取的精神；著力于反思追問性教學(xué)，以培養(yǎng)學(xué)生探究、質(zhì)疑與理性的精神。

［1］涂榮豹、喻平.建構(gòu)主義觀下的數(shù)學(xué)教學(xué)論［J］.南京師范大學(xué)學(xué)報（社會科學(xué)版）.2001（2）.

［2］趙祥麟、王承緒編譯.杜威教育論著選［M］.上海：華東師大出版社.1981.

［3］毛中正等譯.［日］米山國藏.數(shù)學(xué)的精神、思想和方法［M］.成都：四川教育出版社.1986.

［4］唐瑞芬、陳昌平譯.弗萊登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)［M］.上海：上海教育出版社.1995.

［5］北京大學(xué)譯.克萊因.古今數(shù)學(xué)思想［M］.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社.1980.

［責(zé)任編輯 王南山］

Diluting form and focusing on substance——on engineering mathematical teaching

WU Jiang1， LIU Chun2， MENG Shi-cai3，
（1.Department of Higher Mathematics Teaching， College of Mathematics， Chongqing University of Posts and Telecommunications，Chongqing 400065， China；2.Xingzhi Vocational Middle School， Hechuan 401520， Chongqing， China；3.Department of Economics and Trade， Chongqing Education College， Chongqing 400067， China）

In the teaching of engineering mathematics， we should weaken the formalized description of knowledge and concepts and stress the actual mastery， play down the quantitative accumulation of knowledge and focus on the formation of learning； and pay great attention to the humanistic value of mathematics.

engineering mathematics； actual mastery； learning formation； humanistic value

G642

A

1008-6390（2010）06-0039-02

2010-06-10

吳江（1975-），男，四川巴中人，碩士，講師，主要從事大學(xué)數(shù)學(xué)教育研究；劉春（1982-），女，四川人，主要從事中職教育；孟世才（1963-），男，重慶人，副教授，主要從事數(shù)學(xué)教育研究。