王京華，張嘉鐘，于開(kāi)平，魏英杰，黃文虎，呂 瑞

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱150001，wangjh1920@163.com)

因?yàn)槌张菰谒聹p阻的應(yīng)用前景，已經(jīng)有大量的數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)來(lái)研究超空泡形成、發(fā)展和穩(wěn)定的機(jī)理和規(guī)律［1-2］，目前已經(jīng)取得一定進(jìn)展.在對(duì)空泡機(jī)理有了一定了解的基礎(chǔ)上，開(kāi)展了超空泡航行體動(dòng)力學(xué)建模與控制方面的研究［3-7］，文獻(xiàn)［3］在空化器瞬時(shí)速度方向決定空泡外形的基礎(chǔ)上分析了超空泡航行體的流體動(dòng)力，建立了二維非線性動(dòng)力學(xué)模型，使用了精確線性化方法設(shè)計(jì)控制器;文獻(xiàn)［4］在航行體尾部滑行力計(jì)算過(guò)程中考慮了空泡的記憶效應(yīng)，使用預(yù)測(cè)控制實(shí)現(xiàn)避障跟蹤;文獻(xiàn)［5］建立的模型和文獻(xiàn)［3］相似，研究了超空泡航行體的非線性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題;文獻(xiàn)［6］在建模的過(guò)程中在某個(gè)平衡點(diǎn)附近采用小擾動(dòng)線性化方法建模，之后使用線性魯棒控制方法;文獻(xiàn)［7］用滑?？刂坪蚅PV研究了超空泡航行體的控制.

本文為了對(duì)超空泡航行體進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，基于空泡膨脹獨(dú)立性原理研究了空泡的記憶效應(yīng)及其對(duì)空泡形態(tài)的影響，又考慮了空化器定向效應(yīng)和空泡尾部上飄變形，在分析空泡形態(tài)的基礎(chǔ)上計(jì)算了空化器和尾翼流體動(dòng)力以及尾部滑行力，還得到了尾翼效率變化規(guī)律計(jì)算公式.設(shè)計(jì)了極點(diǎn)配置和預(yù)測(cè)控制方法來(lái)進(jìn)行深度跟蹤，提出了一種避免滑行力出現(xiàn)的策略，避免滑行力可以有效減少摩擦阻力，減少航行體與空泡壁碰撞產(chǎn)生的沖擊，增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性，對(duì)于超空泡航行體在未來(lái)的實(shí)際應(yīng)用具有重要意義.

1 超空泡航行體動(dòng)力學(xué)建模

1.1 空泡形狀計(jì)算

準(zhǔn)確地獲得超空泡的形狀是計(jì)算航行體各部分水動(dòng)力的基礎(chǔ).根據(jù)Logvinovich創(chuàng)立的空泡膨脹獨(dú)立性原理［7］，超空泡的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程可以看成是空泡的各個(gè)橫截面按照一定規(guī)律的獨(dú)立膨脹過(guò)程，各個(gè)截面的膨脹情況只與空化器經(jīng)過(guò)該截面的時(shí)刻的空化數(shù)、速度等狀態(tài)有關(guān)，而與航行體在其它時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān).空泡的這種特點(diǎn)就像是對(duì)過(guò)去有記憶功能一樣，稱為空泡記憶效應(yīng).假設(shè)t時(shí)刻空化器中心的深度為z(t)，t-τ時(shí)刻空化器中心的深度為z(t-τ)，用空泡中心線的上漂尺寸h1和空化器定向效應(yīng)引起的變形h2進(jìn)行修正，那么在t時(shí)刻的空泡中心線上在t-τ時(shí)刻空化器經(jīng)過(guò)點(diǎn)的截面處的深度為z(t-τ)+h1+h2.

Logvinovich［8］在勢(shì)流理論分析和試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，給出了超空泡形狀的半理論半經(jīng)驗(yàn)公式，后人的大量實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬都驗(yàn)證了該公式的正確性［9］，該文獻(xiàn)中的空泡半徑計(jì)算公式和空泡半徑收縮速度公式具體計(jì)算見(jiàn)文獻(xiàn)［8］.

在重力場(chǎng)中由于受到浮力作用空泡會(huì)逐漸上漂［8］，空泡中心軸線的上漂和空泡的上漂幅值是近似相等的，越到空泡后部上漂越顯著，在小空化數(shù)下，與空化器距離為x處的空泡上漂尺寸為

其中:ζ=x/Lk，Lk為空泡半長(zhǎng)，文獻(xiàn)［8］中給出了Lk的計(jì)算公式.

空化器攻角引起的空泡變形稱為空化器的定向效應(yīng)［8］，小空化數(shù)下與空化器距離為x處的空泡偏移尺寸為

其中:Fy等于空化器升力大小Fcav，F(xiàn)cav的計(jì)算將在1.2節(jié)給出，計(jì)算時(shí)也應(yīng)考慮記憶效應(yīng)，將結(jié)果代入式(1)得

其中τ為空化器運(yùn)動(dòng)距離x所需的時(shí)間.

1.2 流體動(dòng)力計(jì)算

根據(jù)文獻(xiàn)［3］建立的體坐標(biāo)系，原點(diǎn)位于航行體頭部的圓盤(pán)形空化器頂端面的圓心，x軸與航行體對(duì)稱軸重合指向前，z軸垂直于x軸指向下.z軸方向的速度是w，V代表縱平面內(nèi)航行體頭部空化器的合速度，θ是航行體俯仰角，q是體坐標(biāo)系下的俯仰角速度，航行體深度為z.在w較小時(shí)有dθ/dt=q，dz/dt=w-Vθ.

空化器的作用除了用來(lái)產(chǎn)生和維持超空泡外，還作為一個(gè)控制面控制航行體頭部的流體動(dòng)力，空化器在縱平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)形成的攻角變化可以提供不同的升力，作用于空化器上流體動(dòng)力的升力分量為［8］

其中:cx是圓盤(pán)形空化器與來(lái)流垂直時(shí)的阻力系數(shù)，cx=cx0(1+σ)，cx0=0.82，αc=w/V+δc，δc是空化器偏轉(zhuǎn)角度;ρ為水的密度.尾翼也需要提供一定的流體動(dòng)力來(lái)產(chǎn)生控制力矩，在一定空化數(shù)下，通過(guò)設(shè)計(jì)使空泡中心線與航行體中心點(diǎn)重合時(shí)尾翼浸入水中的長(zhǎng)度是全長(zhǎng)的一半，參考文獻(xiàn)［3］的方法，尾翼流體動(dòng)力為

其中:

式中:δf是尾翼偏轉(zhuǎn)角，n是尾翼效率.

尾翼只有浸入水中的部分與水直接接觸才能發(fā)揮控制面的作用，這里將尾翼浸入水中的長(zhǎng)度與全長(zhǎng)的比值稱為尾翼的效率.在實(shí)際航行過(guò)程中，由于航行體與空泡位置關(guān)系的相對(duì)變化，尾翼的效率也是不斷改變的.航行體尾部垂直截面處空泡中心線的深度為z(t-τ)+h1+h2，航行體尾部截面中心的深度為z+Lθ，這兩個(gè)深度的距離為

通過(guò)幾何關(guān)系可以計(jì)算出尾翼效率為

當(dāng)航行體中心和空泡中心偏離程度過(guò)大，尾翼可能全部浸入水中時(shí)，翼效率為1，這時(shí)滿足條件

尾部滑行力對(duì)于超空泡航行體的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析是很重要的，當(dāng)滑行力產(chǎn)生時(shí)，航行體尾部和空泡內(nèi)壁的相互作用過(guò)程可以當(dāng)作細(xì)長(zhǎng)體浸入液體考慮［10］，當(dāng)航行體尾部的一部分浸入到水中時(shí)，設(shè)h為浸入深度，α是浸入角度，這種情況下使用浸入曲線邊界液體的圓弧物體問(wèn)題的解，計(jì)算公式如下:

其中:R'=(Rc-R)/Rc，h'=h/R，根據(jù)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中航行體與空泡的位置關(guān)系可以算出h和α.

1.3 非線性動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)文獻(xiàn)［3-5］中的假設(shè)，航行過(guò)程中推力和阻力保持平衡.假設(shè)巡航速度V的大小保持不變，根據(jù)動(dòng)量、動(dòng)量距定理和上文流體動(dòng)力的計(jì)算結(jié)果可以得到非線性動(dòng)力學(xué)方程為

其中:

2 極點(diǎn)配置控制設(shè)計(jì)

超空泡航行體的模型式(4)可表示為非線性仿射形式

取輸出為

對(duì)于此非線性MIMO系統(tǒng)采用輸入/輸出間的精確線性化方法［11］，通過(guò)計(jì)算知模型具有相對(duì)階向量(r1，r2)=(2，2)，并且系統(tǒng)的相對(duì)階向量有定義，總相對(duì)階為4，這時(shí)不必考慮內(nèi)動(dòng)態(tài)的穩(wěn)定性，輸出變量與輸入的關(guān)系為

通過(guò)反饋

實(shí)現(xiàn)了輸入/輸出間的精確線性化，而且還實(shí)現(xiàn)了輸入/輸出的解耦.得到輸入/輸出的動(dòng)態(tài)方程為

這時(shí)采用魯棒極點(diǎn)配置方法來(lái)設(shè)計(jì)控制器.

航行體結(jié)構(gòu)參數(shù)等按照文獻(xiàn)［3］選取，零初始狀態(tài)下跟蹤5 m的深度，得到仿真結(jié)果如圖1所示，航行體深度z較快地達(dá)到跟蹤深度，跟蹤效果較好，出現(xiàn)了一段時(shí)間的滑行力，但是在控制作用下逐漸過(guò)渡到無(wú)滑行力狀態(tài)，這時(shí)空化器和尾翼共同作用來(lái)平衡航行體的重力.前0.5 s內(nèi)幾乎一直存在的滑行力，會(huì)增加航行體的阻力，航行體與空泡壁接觸也會(huì)造成沖擊.不足之處是控制輸入δf過(guò)大.

圖1 極點(diǎn)配置控制

3 預(yù)測(cè)控制設(shè)計(jì)

航行體尾部與空泡壁接觸時(shí)會(huì)產(chǎn)生滑行力，滑行力的出現(xiàn)會(huì)增加航行體的摩擦阻力，并且高速航行過(guò)程中突然出現(xiàn)的滑行力會(huì)給航行體造成振動(dòng)與沖擊，因此，如果能有效避免滑行，可以減少能量消耗，并減少航行體與空泡壁碰撞產(chǎn)生的沖擊，增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性.控制滑行力的可行辦法是把與滑行力相關(guān)的量作為一個(gè)輸出變量，并約束該變量的取值范圍.另外，控制輸入空化器和尾翼的偏轉(zhuǎn)角要滿足一定的約束條件.若輸出變量和輸入變量都滿足一定的物理約束，，則預(yù)測(cè)控制最顯其優(yōu)勢(shì)［12］，下面推導(dǎo)預(yù)測(cè)模型.由于能避免滑行力是非常有益的，假設(shè)通過(guò)適當(dāng)?shù)目刂瓶梢圆划a(chǎn)生滑行力，那么超空泡航行體的動(dòng)力學(xué)模型式(4)可表示為

通過(guò)反饋線性化將重力影響產(chǎn)生的C項(xiàng)消去后得到

離散化得

取采樣周期T為0.008 s，根據(jù)文獻(xiàn)［3］的參數(shù)，在空化器處形成的超空泡到航行體尾部會(huì)有0.024 s的延遲時(shí)間，借鑒文獻(xiàn)［4］的方法取新的狀態(tài)變量為

新的狀態(tài)方程為

由式(2)可知滑行力的出現(xiàn)與空泡中心線和航行體中心的距離有關(guān)，輸出的第8個(gè)變量用來(lái)表示這個(gè)距離，輸出方程為

其中:C'=［1 0 L0 0 0 -1］.預(yù)測(cè)控制問(wèn)題描述為［12］

對(duì)于有約束控制可以轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行求解.

如果要避免滑行力的產(chǎn)生，就要控制航行體尾部橫截面處航行體中心和空泡中心的距離，使航行體無(wú)法接觸到空泡壁，在文獻(xiàn)［3］的航行體結(jié)構(gòu)和空化數(shù)等條件下航行體尾部邊緣和空泡壁間隙為3.94 cm，為了保證空泡出現(xiàn)擾動(dòng)情況下設(shè)計(jì)方法仍然有效，約束航行體尾部橫截面處航行體中心和空泡中心距離不超過(guò)3 cm.約束控制輸入空化器和尾翼偏轉(zhuǎn)角大小分別在0.2 rad和0.5 rad以內(nèi);限制縱向速度 w大小不超過(guò)10 m/s;為了滿足小角度假設(shè)，俯仰角大小不超過(guò)0.08 rad;為了使航行體在空泡內(nèi)擺動(dòng)的速度不過(guò)大，因此限制俯仰角速度大小在1 rad/s以內(nèi).

零初始狀態(tài)下跟蹤5 m的深度，仿真結(jié)果如圖2所示，有效地避免了滑行力的出現(xiàn)，這點(diǎn)也可以從航行體中心線和空泡中心線之間的距離看出來(lái)，與有滑行力狀態(tài)相比，可以減少摩擦阻力;控制輸入飽和問(wèn)題也得到了解決，控制面偏轉(zhuǎn)角被限制在要求的范圍內(nèi).

圖2 預(yù)測(cè)控制

4 結(jié)論

文中根據(jù)文獻(xiàn)［8］提出的空泡膨脹獨(dú)立性原理，考慮了空泡的記憶效應(yīng)等對(duì)空泡外形和流體動(dòng)力的影響，詳細(xì)計(jì)算了超空泡航行體各部分所受的流體動(dòng)力，研究了航行過(guò)程中尾翼效率變化計(jì)算方法，建立了超空泡航行體非線性動(dòng)力學(xué)模型.基于輸入輸出精確線性化的極點(diǎn)配置控制器深度跟蹤效果較好，但是容易出現(xiàn)調(diào)節(jié)器飽和，滑行力較大;為了解決極點(diǎn)配置的不足，設(shè)計(jì)了預(yù)測(cè)控制方法，提出了航行過(guò)程中避免滑行力出現(xiàn)的策略來(lái)減少摩擦阻力和增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性，仿真結(jié)果表明設(shè)計(jì)的預(yù)測(cè)控制方法可以成功地在航行過(guò)程中避免滑行力.

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