胡運富，趙 杰，朱延河，臧希喆

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)器人研究所，哈爾濱150001，huyunfu134@yahoo.com.cn)

相對于傳統(tǒng)機(jī)器人而言，被動步行機(jī)器人以其結(jié)構(gòu)和控制簡單，步態(tài)自然，節(jié)能和在非結(jié)構(gòu)化環(huán)境中具有更好的移動能力等特點引起廣大學(xué)者的極大關(guān)注［1］.加拿大學(xué)者M(jìn)cGeer發(fā)現(xiàn)［2－3］:完全不用驅(qū)動和控制的機(jī)器人也能實現(xiàn)穩(wěn)定的下坡運動，并提出“被動動力步行”概念.Garcia［4］，Collins［5］等對機(jī)器人行走的參數(shù)匹配問題進(jìn)行了研究.Grizzle從理論上證明了被動雙足機(jī)器人前向運動存在復(fù)雜零動態(tài)子系統(tǒng)，給出穩(wěn)定極限環(huán)存在的條件［6］，并通過Rabbit實現(xiàn)了穩(wěn)定動態(tài)步行［7］.當(dāng)前，穩(wěn)定性問題嚴(yán)重制約了被動機(jī)器人的發(fā)展，影響被動機(jī)器人模型穩(wěn)定行走的因素很多，同時被動機(jī)器人本體的設(shè)計必須要建立在其能穩(wěn)定行走的基礎(chǔ)上.

本文分析了機(jī)械參數(shù)和斜面坡度對被動行走模型局部穩(wěn)定性的影響，為后續(xù)被動機(jī)器人全局穩(wěn)定性分析以及機(jī)器人本體機(jī)械參數(shù)設(shè)計提供指導(dǎo)和理論依據(jù).

1 被動行走模型

所討論的被動行走機(jī)器人模型是兩剛性勻質(zhì)的直腿圓弧足模型，如圖1所示.兩腿通過髖關(guān)節(jié)相連，髖關(guān)節(jié)為無質(zhì)量、無摩擦、無阻尼的被動鉸鏈.這種模型明顯優(yōu)化于傳統(tǒng)的點足模型，更接近于真實的機(jī)器人樣機(jī).每條腿質(zhì)量為m，其相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為J，腿長均為l，質(zhì)心距離髖關(guān)節(jié)的距離為c，圓弧足的足半徑為r，斜面坡度為β.

圖1 被動行走模型

當(dāng)給定初始條件，在重力和自身的慣性作用下，該被動動力模型可沿小坡度的剛性平坦斜面穩(wěn)定地向下行走.其每一步的運動過程可分為如下兩部分.

1)當(dāng)擺動腿離開地面時，支撐腿繞支撐足做倒立擺運動(支撐足與地面是純滾動)，而擺動腿則繞髖關(guān)節(jié)做單擺運動.此過程為連續(xù)運動階段.該過程中只有重力做功，故其總的機(jī)械能是守恒的.

為使所建立的動力學(xué)方程適用性更廣，將方程無量綱化，令KJ=J/ml2，Kr=r/l，KC=c/l，且將時間無量綱化為由拉格朗日方程推導(dǎo)該階段的動力學(xué)方程，可得

其中:

2)當(dāng)擺動腿與地面碰撞后，擺動腿和支撐腿角色互換，假設(shè)碰撞是瞬時的，完全非彈性(擺動足與地面無滑動)，故在碰撞前后，兩腿角速度發(fā)生突變，而兩腿角度不變，系統(tǒng)滿足角動量守恒.描述碰撞過程:設(shè)碰撞瞬間前后分別用上角標(biāo)“－”和“+”表示，系統(tǒng)角動量用L表示.

對于碰撞點B和髖關(guān)節(jié)H角動量守恒:

由前述分析知:

該無膝被動模型的擺動方程和碰撞方程構(gòu)成了一個完整步態(tài)周期的動力學(xué)模型，是后續(xù)的仿真和穩(wěn)定性分析的基礎(chǔ).

2 穩(wěn)定不動點的求解

如圖1所示，被動機(jī)器人的運動過程可由狀態(tài)變量φ(t)=(θ1，θ2，˙θ1，˙θ2)來描述，每個狀態(tài)變量對應(yīng)空間中的一個點，由這些點構(gòu)成的空間稱為“相空間”.令機(jī)器人雙足著地的狀態(tài)是某步的起始狀態(tài)或終點狀態(tài)，通過研究雙足著地的狀態(tài)，可判斷機(jī)器人運動的周期穩(wěn)定性.雙足同時著地時由圖1知θ1=－θ2，故其狀態(tài)可由狀態(tài)變量φ(t)=(θ1，˙θ1，˙θ2)來表示.

設(shè)不動點為被動機(jī)器人穩(wěn)定周期運動時，腿1剛與地面相碰后，轉(zhuǎn)為支撐腿的瞬間(此時雙腿同時著地)所對應(yīng)的狀態(tài)在相空間中的點用φfP(t)=(θ1，˙θ1，˙θ2)表示.不動點的存在是被動機(jī)器人能穩(wěn)定行走的必要條件.由于為非線性系統(tǒng)，機(jī)器人每走一步即為一次龐加萊映射S(S是包括碰撞在內(nèi)的一次完整的動態(tài)步行的表達(dá)式，它反映相鄰兩步之間的關(guān)系)，即φn+1=S(φn)，顯然對于穩(wěn)定的周期運動有φfP=S(φfP).當(dāng)所給的初始條件非常接近于不動點時，則模型可收斂到穩(wěn)定的運動.影響不動點存在的因素為該被動模型的機(jī)械結(jié)構(gòu)參數(shù)和斜面的坡度.

首先考慮如何求被動模型穩(wěn)定不動點，所有的初始條件可以寫為不動點和偏差的和:

對于偏離不動點的小的偏差Δφn，可用線性化的方法來估計相空間:

方程簡化為Δφn+1=JΔφn，J為雅克比矩陣，其特征值的模是進(jìn)行局部穩(wěn)定性分析的關(guān)鍵.如果其模小于1，則說明結(jié)果將收斂于穩(wěn)定不動點.當(dāng)所給的初值接近于不動點的一定范圍內(nèi)，通過牛頓－拉普森迭代函數(shù)可快速求得不動點.過程如下:

重復(fù)直到|Δφ|＜ε.

3 局部穩(wěn)定性分析

對模型局部穩(wěn)定性的分析就是對模型不動點的存在與否，機(jī)器人在所給的初始條件下收斂到不動點的快慢程度以及各參數(shù)對不動點狀態(tài)分量變化的影響進(jìn)行分析.機(jī)器人運動的不動點是否存在與所給初始條件無關(guān)，只和該模型的機(jī)械參數(shù)和斜面的坡度有關(guān).現(xiàn)舉例分析，如表1.

表1 每條腿的參數(shù)

在此基礎(chǔ)上逐一分析各參數(shù)對機(jī)器人局部穩(wěn)定性的影響:方法是在保證其他參數(shù)不變的情況下，只改變某一個參數(shù)的值，判斷雅克比矩陣的特征值的模的變化，若模大于或等于1，則模型無穩(wěn)定的不動點;若模小于1則有穩(wěn)定的不動點，模越小則收斂到不動點的速度就越快(即模型在所給初始條件下收斂到穩(wěn)定運動狀態(tài)的速度就越快).

如圖2為模型在Matlab仿真下的運動動畫，所有分析都是基于模型可以行走的條件下進(jìn)行，這樣獲得的結(jié)果更為可靠，對被動機(jī)器人的設(shè)計具有很好的指導(dǎo)意義.

圖2 仿真模型運動動畫

從圖3(a)中可看出當(dāng)腿質(zhì)量過小時(約小于0.3 kg)，會出現(xiàn)特征值的模大于1，被動模型會出現(xiàn)無穩(wěn)定的不動點，即不具有穩(wěn)定周期運動的必要條件;此后在m∈［0.3 kg，30 kg］之間時，特征值的模小于1，說明該模型具有穩(wěn)定的不動點，但隨著腿質(zhì)量的增大，特征值的模也隨之增大，這意味著被動模型收斂到穩(wěn)定周期運動狀態(tài)的速度逐漸變慢，同時可看出m∈［0.3 kg，5 kg］之間時特征值的模對質(zhì)量的變化非常敏感(這為設(shè)計機(jī)器人提供依據(jù):盡量取較小質(zhì)量的腿，以便于通過微調(diào)腿的質(zhì)量來改善機(jī)器人的局部穩(wěn)定性);由特征值的模隨質(zhì)量增加而增大的趨勢可看出，當(dāng)質(zhì)量過大時會出現(xiàn)特征值的模大于1，即穩(wěn)定不動點會消失.

圖3(b)中可看出:穩(wěn)定不動點在相空間的位置隨著腿質(zhì)量的增大，沿曲線按箭頭所指方向運動.

圖3(c)為不動點的狀態(tài)隨質(zhì)量的變化曲線.隨著腿質(zhì)量的增加，θ1單調(diào)減小，而˙θ1，˙θ2的絕對值呈單調(diào)增加趨勢，在m∈［0.3 kg，5 kg］時，這種變化比較明顯.可見，當(dāng)被動機(jī)器人具有穩(wěn)定不動點時，腿質(zhì)量對其模型最終的穩(wěn)定運動狀態(tài)也有很大影響.

圖3 腿質(zhì)量對局部穩(wěn)定性的影響

從圖4(a)中可看出，當(dāng)Kc過小(約小于0.03)即質(zhì)心位置過高時，特征值的模大于1，機(jī)器人不具有穩(wěn)定狀態(tài);當(dāng)Kc∈［0.030 4，0.624 0］時，特征值的模小于1，機(jī)器人有穩(wěn)定的不動點，但隨著Kc的增大，特征值的模也在增大，被動機(jī)器人收斂到穩(wěn)定運動狀態(tài)的速度越慢，且在Kc∈［0.030 4，0.200 0］和Kc＞0.600 0時特征值的模對質(zhì)心位置的變化非常敏感(這為設(shè)計機(jī)器人提供依據(jù):盡量取Kc∈［0.030 4，0.200 0］腿，既有較快的收斂速度也便于通過微調(diào)腿的質(zhì)心位置來改善機(jī)器人的局部穩(wěn)定性);當(dāng)Kc＞0.624 0后機(jī)器人不具有穩(wěn)定的運動狀態(tài);可見質(zhì)心位置過低(Kc＜0.03)和過高(Kc＞0.6240)都不利于被動機(jī)器人的穩(wěn)定運動.

圖4(b)中可看出:穩(wěn)定不動點在相空間位置隨Kc的增大，沿曲線按箭頭所指方向移動.

圖4(c)為不動點的狀態(tài)隨質(zhì)心位置的變化曲線.隨著Kc的增加，θ1單調(diào)減小，而 ˙θ1，˙θ2的絕對值呈單調(diào)增加趨勢，可見當(dāng)被動機(jī)器人具有穩(wěn)定不動點時，質(zhì)心位置對其最終的穩(wěn)定運動狀態(tài)也有很大影響.

圖4 質(zhì)心位置對局部穩(wěn)定性的影響

從圖5(a)可看出，雅克比特征值的模并不隨足半徑的增大而單調(diào)變化，但當(dāng)Kr＜0.84時，特征值的模都小于1，即模型存在穩(wěn)定的不動點;當(dāng)Kr∈［0，0.16］之間時特征值的模單調(diào)減小;當(dāng)Kr∈［0.16，0.84］之間時特征值的模單調(diào)增大，即模型收斂到穩(wěn)定狀態(tài)的速度減慢.當(dāng)足半徑在Kr=0.16附近時，特征值變化敏感(這為設(shè)計機(jī)器人提供依據(jù):盡量取Kr=0.16附近的足半徑，既有較快的收斂速度也便于通過微調(diào)足半徑來改善機(jī)器人的局部穩(wěn)定性).

圖5(b)中可看出穩(wěn)定不動點在相空間位置，隨著Kr的增大，沿曲線按箭頭所指方向移動.

圖5(c)為不動點的狀態(tài)隨質(zhì)心位置的變化曲線.隨著Kr的增加，θ1呈增大趨勢，˙θ1，˙θ2的絕對值也呈增大趨勢，可見當(dāng)被動機(jī)器人具有穩(wěn)定不動點時，足半徑對其最終的穩(wěn)定運動狀態(tài)也有很大影響.

圖5 足半徑對局部穩(wěn)定性的影響

從圖6(a)中可看出，特征值的模并不隨轉(zhuǎn)動慣量的增大而單調(diào)變化，當(dāng)KJ∈［0，0.154］時，特征值的模小于1，被動模型具有穩(wěn)定的不動點，特征值的模在KJ=0.128時，特征值的模具有最小值，即模型具有最快的收斂速度(這為設(shè)計機(jī)器人提供依據(jù):盡量取KJ=0.128附近的轉(zhuǎn)動慣量，既有較快的收斂速度也便于通過微調(diào)轉(zhuǎn)動慣量來改善機(jī)器人的局部穩(wěn)定性);當(dāng)KJ＞0.154時，特征值的模大于1，可見此時系統(tǒng)不具有穩(wěn)定行走的必要條件.

圖6(b)可看出:不動點在相空間位置隨著KJ的增大，沿曲線按箭頭所指方向移動.

圖6(c)為不動點的狀態(tài)隨腿的轉(zhuǎn)動慣量的變化曲線.隨著轉(zhuǎn)動慣量的增加，θ1，˙θ1，˙θ2都呈單調(diào)變化趨勢:θ1增大，而˙θ1，˙θ2的絕對值減小.可見當(dāng)被動機(jī)器人具有穩(wěn)定不動點時，轉(zhuǎn)動慣量對其最終的穩(wěn)定運動狀態(tài)也有很大影響.

圖6 轉(zhuǎn)動慣量對局部穩(wěn)定性的影響

從圖7(a)中可看出，特征值的模并不隨坡度的增大而單調(diào)變化，而是先減小(β∈［0，0.021 rad］)，后增大(β∈［0.021 rad，0.038 rad］)，再減小(β∈［0.038 rad，0.1 rad］)，最后再增大(β＞0.1 rad).

圖7(b)可看出:不動點在相空間位置隨著β的增大，沿曲線按箭頭所指方向移動.

圖7(c)為不動點的狀態(tài)隨坡度變化的曲線.隨著坡度的增加，θ1增大，而˙θ1的絕對值減小，˙θ2的方向由負(fù)變?yōu)檎?可見當(dāng)被動機(jī)器人具有穩(wěn)定不動點時，坡度對其最終的穩(wěn)定運動狀態(tài)也有很大影響.

圖7 斜面坡度對局部穩(wěn)定性的影響

4 結(jié)論

1)給出了如何求被動機(jī)器人穩(wěn)定不動點的方法，同時詳細(xì)分析了模型的各機(jī)械參數(shù)和斜面坡度對機(jī)器人局部穩(wěn)定性的影響.

2)較小的腿質(zhì)量(m∈［0.3 kg，30 kg］，考慮到收斂的快速性和被動機(jī)器人的剛度和強(qiáng)度，可取 m=1 kg)，較高的質(zhì)心位置 (Kc∈［0.0304 0，0.624 0］，同時考慮到被動機(jī)器人穩(wěn)定行走魯棒性，取 Kc=0.2)，合適的足半徑(Kr=0.16)，較大的轉(zhuǎn)動慣量(KJ=0.128)以及合適的斜面坡度(β∈［0.02 rad，0.10 rad］，同時考慮到被動機(jī)器人穩(wěn)定行走魯棒性可取β= 0.02 rad)有利于提高被動機(jī)器人的局部穩(wěn)定性.

3)被動機(jī)器人的局部穩(wěn)定性分析和后續(xù)全局穩(wěn)定性分析將為被動機(jī)器人本體樣機(jī)的設(shè)計提供指導(dǎo)和理論依據(jù).

［1］HUANG Q，YOKOI K，KAJITA S，et al.Planning walking pattems for a biped robot［J］.IEEE Transactions on Robotics and Automation，2001，17(3):280－289.

［2］MCGEER T.Passive dynamic walking［J］.International Journal of Robotics Research，1990，9(2):62－82.

［3］MCGEER T.Passive dynamic biped catalogue［C］//In Chatila R and Hirzinger，editors，Proc，Experiment Robotics II:The 2nd International Symposium.Berlin: Springer-Verlag，1992:465－490.

［4］GARCIA M，CHATTERJEE A，RUINA A，et al.The Simplest Walking Model:Stability，Compiexity，and Scaling［J］.ASME Journal of Biomechanic Engineering，1998，120(2):281－288.

［5］COLLINS S H，WISSE M，RUINA A.A 3-d passive dynamic walking robot with two legs and knees［J］.International Journal of Robotics Research，2001，20 (7):607－615.

［6］GRIZZLE J W，GABRIEL A，PLESTAN F.Asymptotically Stable Walking for Biped Robots:Analysis via Systems with Impulse Effects［J］.IEEE Transactions on Automatic Control(S0018-9286)，2001，46(1):51－64.

［7］CHEVALLEREAU C，ABBA G，AOUSTIN Y，et al.RABBIT:A Test bed for Advanced Control Theory［J］.IEEE Control Systems Magazine CSM-02-038 Revision(S0272－1708)，2003，08(6):57－79.