周棟梁

(灌南高級中學(xué) 江蘇 灌南 222500)

1 問題的提出

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的圓周運(yùn)動問題一直是高考中的熱點(diǎn)和難點(diǎn)；解決此類問題的關(guān)鍵是確定運(yùn)動軌跡的圓心.為此，本文首先找出確定圓心的三種基本方法，然后以此為基礎(chǔ)提出新的分類標(biāo)準(zhǔn)，突出分類方法對研究方向的導(dǎo)向作用，進(jìn)而形成有效的求解策略．

2 確定圓心的三種基本方法

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做圓周運(yùn)動時，有多種確定圓心的方法，但是下面三種方法是最基本的．

2.1 中垂線法

已知入射點(diǎn)、入射方向及出射點(diǎn)，但其軌道半徑未知，可用“中垂線法”確定圓心位置．

如圖1(a)所示，一帶負(fù)電離子，以速度v垂直于界面s經(jīng)過小孔O射入圖示的勻強(qiáng)磁場中，并能通過磁場中的P點(diǎn)．對于此類情況，其確定圓心的方法如下:

(1)過O點(diǎn)作入射方向的垂線;

(2)作OP連線的中垂線，兩線交點(diǎn)O′即為其圓心，如圖1(b)．

圖1

如果已知入射點(diǎn)、出射點(diǎn)及出射方向，其確定圓心的方法與此相同．

2.2 角平分線法

已知入射點(diǎn)及運(yùn)動方向、出射方向，且它們的交點(diǎn)位置也是確定的，但其軌道半徑未知，可用“角平分線法”確定圓心位置．

如圖2(a)所示，一帶正電的粒子從M點(diǎn)沿圖示方向垂直射入勻強(qiáng)磁場中，并沿圖示方向射出勻強(qiáng)磁場．對于此類情況，其確定圓心的方法如下:

(1)過M點(diǎn)作入射方向的垂線;

(2)反向延長出射方向所在的直線，與入射方向交于點(diǎn)O;

(3)作角α的角平分線，則兩線的交點(diǎn)O′即為其圓心，如圖2(b)．

如果已知出射點(diǎn)、出射方向及入射點(diǎn)，確定圓心的方法與此相同．需要說明的是，如果入射方向與出射方向的交點(diǎn)未知，則無法確定圓心的位置．

圖2

2.3 量取法

如果軌道半徑r已知，且入射點(diǎn)、入射方向也是已知的，則可用“量取法”確定圓心位置．具體方法是：過入射點(diǎn)作入射方向的垂線，在粒子所受洛倫茲力方向上量取距長為r的線段，對應(yīng)的點(diǎn)即為帶電粒子做圓周運(yùn)動的圓心．如果已知出射點(diǎn)和出射方向，方法同上．

以上三種方法是確定圓心的最基本的方法，對于其他情況，可用這三種基本方法的組合來確定．

3 題型分類方法及其求解策略

3.1 題型分類方法

圓心的位置是由入射點(diǎn)、入射方向、出射點(diǎn)、出射方向及軌道半徑五個因素中的某幾個決定.但如以這五個因素的組合作為分類標(biāo)準(zhǔn)，所得的類別太多，不便于對求解策略進(jìn)行研究．為此，本文以入射點(diǎn)、入射方向、出射點(diǎn)、出射方向四個因素的組合為分類標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)有C44+C43+C42+C41=15種，再在此基礎(chǔ)上，結(jié)合圓心確定方法的異同，進(jìn)一步進(jìn)行歸類，計(jì)有表1中9類題型．

表1

3.2 分類研究

在以上9類題型中，第1、2類問題較為簡單，限于篇幅不再分析．另外，在各類題型中，僅以表中的第一種情況加以研究，另外一種情況與其相同，故也不再分析．

(1)第3類 已知入射點(diǎn)、入射方向和出射方向

對于此類問題，分兩種情況進(jìn)行研究．

1)已知帶電粒子的軌道半徑，用“量取法”確定圓心．

2)如果帶電粒子的軌道半徑未知，則

a.根據(jù)運(yùn)動軌跡與邊界的交點(diǎn)關(guān)系，確定出射點(diǎn)的位置，由“中垂線法”確定出圓心的位置；

b.根據(jù)運(yùn)動軌跡與邊界的交點(diǎn)關(guān)系，確定入射方向與出射方向的交點(diǎn)位置，由“角平分線法”確定出圓心的位置．

【例1】(根據(jù)2004年寧夏等地高考題改編) 一勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于xOy平面．在xOy平面上，磁場分布在以O(shè)為中心的一個圓形區(qū)域內(nèi)．一個質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子，由原點(diǎn)O開始運(yùn)動，初速為v，方向沿x正方向．后來，粒子經(jīng)過y軸上的P，此時速度方向與y軸的夾角為30°，P到O的距離為L，如圖3所示．不計(jì)重力的影響．求：

(1)磁感強(qiáng)度B的大??；

(2)xOy平面上圓形磁場區(qū)域的最小半徑R．

圖3 圖4

分析：本題是一種典型的運(yùn)用“角平分線法”確定圓心的問題．反向延長出射方向所在的直線，交入射方向于M點(diǎn)，作∠OMP的角平分線交于y軸上的O′，則O′為帶電粒子做圓周運(yùn)動的圓心．

過O′作PM的垂線，其交點(diǎn)P′即為帶電粒子射出磁場區(qū)域的位置(圖4)，OP′即為磁場區(qū)域的最小直徑，至此容易求出磁感強(qiáng)度B的大小和圓形磁場區(qū)域的最小半徑．

(2)第4類 已知入射點(diǎn)及入射方向

對于此類問題，分兩種情況研究.

1)已知帶電粒子的軌道半徑，用“量取法”確定圓心.

2)如果帶電粒子的軌道半徑未知，則

a.根據(jù)運(yùn)動軌跡與邊界的交點(diǎn)關(guān)系，確定出射點(diǎn)的位置，由“中垂線法”確定出圓心的位置．

b.根據(jù)運(yùn)動軌跡與邊界的交點(diǎn)關(guān)系，確定入射方向與出射方向的交點(diǎn)位置，由“角平分線法”確定出圓心的位置．

【例2】(根據(jù)2007年全國高考理綜Ⅰ題改編)如圖5所示，在 ，y>0,00,x>a，的區(qū)域有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，兩區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B．一束質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子沿x軸從O點(diǎn)射入磁場，其速度可取從零到某一最大值之間的各種數(shù)值．已知速度最大的粒子在0<

圖5

分析：帶電粒子要打在x軸上，一定是先經(jīng)右側(cè)磁場偏轉(zhuǎn)后再進(jìn)入左側(cè)磁場偏轉(zhuǎn)．為找出一般規(guī)律，不妨設(shè)帶電粒子從圖6中的M點(diǎn)進(jìn)入右側(cè)磁場區(qū)域，則其在左側(cè)磁場中的運(yùn)動就變?yōu)橐阎肷潼c(diǎn)、入射方向及出射點(diǎn)類型，用“中垂線”法可確定其圓心在O1點(diǎn)，線段O1M的長度即為其軌道半徑．過M點(diǎn)作O1M的垂線，即可知道它進(jìn)入右側(cè)磁場的運(yùn)動方向，由于左右兩側(cè)的磁感應(yīng)強(qiáng)度相等，故其在右側(cè)磁場中運(yùn)動的軌道半徑也等于線段O1M的長度，于是帶電粒子在右側(cè)磁場中運(yùn)動的圓心可歸結(jié)為已知入射點(diǎn)、入射方向且其半徑也是已知的類型，則由“量取法”可知它的圓心位置在x=2a的直線上(圖6)．

由圖可知，α角越大，它打在x軸上的位置就越近，因此，打在x軸上的最近位置對應(yīng)于帶電粒子的圓心在(a,a)點(diǎn)，打在x軸上的最近位置是x=2a．至于滿足條件的最遠(yuǎn)點(diǎn)位置，由題中的時間關(guān)系，計(jì)算出α=30°、β=90°，即其圓心在(2a,0)點(diǎn)．至此，本題不難求解．

圖6

(3) 第5類 已知入射點(diǎn)及出射方向

對于此類問題，分兩種情況研究.

1)如果已知帶電粒子的軌道半徑，由運(yùn)動軌跡與邊界的交點(diǎn)關(guān)系，確定入射方向或出射點(diǎn)的位置，可由“量取法”確定圓心位置．

2)如果帶電粒子的軌道半徑未知，則

a.由運(yùn)動軌跡與邊界的交點(diǎn)關(guān)系，確定出射點(diǎn)的位置，由“中垂線法”確定出圓心的位置；

b.由運(yùn)動軌跡與邊界的交點(diǎn)關(guān)系，確定入射方向、出射方向的交點(diǎn)位置，由“角平分線法”確定出圓心的位置.

圖7

(1)粒子在A點(diǎn)進(jìn)入磁場時，其速度方向與x軸方向之間的夾角及打到擋板MN上的位置到x軸的距離；

(2)粒子到達(dá)擋板上時的速度大小．

分析：本題為復(fù)合場問題，但其關(guān)鍵還是帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動．通過對其在電場中的運(yùn)動分析，可確定帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動屬于已知入射點(diǎn)及出射方向，并能求出帶電粒子的軌道半徑，由“量取法”可確定出圓心的兩個可能的位置，見圖8，至此問題就很容易得到解決．

圖8

另外，要注意到在此類問題中，由于題給信息中已知點(diǎn)與運(yùn)動方向不是聯(lián)系在一起的，因而在命題時，常以粒子束的形式出現(xiàn)，此時需要關(guān)注一些特殊位置處的粒子的運(yùn)動情況．比如2009年海南高考試題中的磁場類問題就屬于此類問題，限于篇幅，不再贅述．

(4)第6類 已知入射點(diǎn)和出射點(diǎn)位置

對于此類問題，分兩種情況研究.

1)已知帶電粒子的軌道半徑，由“中垂線法”可知，圓心在入射點(diǎn)、出射點(diǎn)連線的中垂線上，再用“量取法”可定出圓心的兩個可能位置．

2)如果帶電粒子的軌道半徑未知.

由運(yùn)動軌跡與邊界的交點(diǎn)關(guān)系，確定入射或出射方向，由“中垂線法”確定圓心的位置．

圖9

【例4】(1999年全國高考題) 圖9中MN是一垂直紙面的平面與紙面的交線，在平面右側(cè)的半空間存在著一磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，方向垂直紙面向外．O是MN上的一點(diǎn)，從O點(diǎn)可以向磁場區(qū)域發(fā)射電荷量為+q、質(zhì)量為m、速率為v的粒子，粒子射入磁場時的速度可在紙面內(nèi)各個方向．已知先后射人的兩個粒子恰好在磁場中給定的P相遇，P到O的距離為L．不計(jì)重力及粒子間的相互作用．

( 1 )求所考察的粒子在磁場中的軌道半徑；

( 2 )求這兩個粒子從O點(diǎn)射入磁場的時間間隔．

圖10

分析：在本題中，已知入射點(diǎn)、出射點(diǎn)，并能求出軌道半徑 ，因此可以把“中垂線法”和“量取法”結(jié)合起來，確定出圓心兩個可能的位置O1、O2．

以O(shè)1、O2為圓心，r為半徑作圓Ⅰ、Ⅱ，連接O、P、O1、O2(圖10)，設(shè)∠OO2O1=α，則由幾何關(guān)系可求得

至此，容易求得對應(yīng)的時間差．

(5)第7類 已知入射方向、出射方向

對于此類問題，分兩種情況研究.

1)已知帶電粒子的軌道半徑，則

a.根據(jù)運(yùn)動軌跡與邊界的交點(diǎn)關(guān)系，確定入射點(diǎn)或出射點(diǎn)的位置，由“量取法”確定圓心的位置．

b.根據(jù)入射方向與出射方向的交點(diǎn)位置，則結(jié)合“量取法”和“角平分線法”可確定圓心的位置．

2)如果帶電粒子的軌道半徑未知，則根據(jù)運(yùn)動軌跡與邊界的交點(diǎn)關(guān)系，確定入射點(diǎn)或出射點(diǎn)的位置以及入射方向與出射方向的交點(diǎn)位置，由“角平分線法”確定圓心的位置．

【例5】如圖11所示，P點(diǎn)與R點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，距離為2a．有一簇質(zhì)量為m、電荷量為q的離子，在xOy平面內(nèi)，從P點(diǎn)以同一速率υ，沿與x軸成θ(0°<θ<90°)的方向射向同一個垂直于xOy平面的有界勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，這些離子的運(yùn)動軌跡對稱于y軸，聚焦到R點(diǎn)．

圖11

(1)求離子在磁場中運(yùn)動的軌道半徑r；

(2)若離子在磁場中運(yùn)動的軌道半徑為a時，求與x軸成30°角射出的離子從P點(diǎn)到達(dá)R點(diǎn)的時間t；

(3)試推出在x=0的區(qū)域中磁場的邊界點(diǎn)坐標(biāo)x與y之間滿足的關(guān)系式．

分析：對于第(2)、(3)兩問題，屬于已知入射方向、出射方向且軌道半徑也是已知的，因此可用“角平分線法”、“量取法”根據(jù)題設(shè)條件能求出軌道半徑，具體方法如下:

1)如圖12所示，過P、R作與x軸成30°的直線，其延長線交y軸于Q點(diǎn)．

2)由于軌跡關(guān)于y軸對稱，故其圓心在y軸上，且y軸為∠PQR的角平分線，∠PQO′=60°．

至此對(2)、(3)兩問的求解也就水到渠成了．

圖12

(6)第8類 已知入射方向

對于此類問題，分兩種情況研究.

1)已知帶電粒子的軌道半徑，則根據(jù)運(yùn)動軌跡與邊界的交點(diǎn)關(guān)系，確定出入射點(diǎn)的位置，由“量取法”確定圓心的位置．

2)如果帶電粒子的軌道半徑未知，要確定圓心的位置，則

a.根據(jù)運(yùn)動軌跡與邊界的交點(diǎn)關(guān)系，確定入射點(diǎn)和出射點(diǎn)的位置，由“中垂線法”確定圓心的位置．

b.根據(jù)運(yùn)動軌跡與邊界的交點(diǎn)關(guān)系，確定出射方向及入射方向和出射方向的交點(diǎn)位置，則“角平分線法”可確定圓心的位置．

c.如果在題給條件中，以粒子束的方式呈現(xiàn)有關(guān)信息，此時需要關(guān)注其中的隱含條件、臨界條件．

【例7】(根據(jù)2009年浙江高考題改編)如圖13所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上．在半徑為R的圓內(nèi)有與xOy平面垂直向外的勻強(qiáng)磁場．在圓的左邊放置一帶電微粒發(fā)射裝置，它沿x軸正方向發(fā)射出一束具有相同質(zhì)量m、電荷量q(q>0)和初速度v的帶電粒子．發(fā)射時，這束帶電粒子分布在0

圖13

分析：本題僅知道粒子束的入射方向和磁場邊界的形狀，運(yùn)用三種基本方法都無法確定其圓心，此時需要根據(jù)粒子束的運(yùn)動特點(diǎn)，選取特殊位置的粒子為研究對象，確定軌道半徑大小和出射點(diǎn)的位置．具體方法如下.

選擇非常接近于O處的帶電粒子為研究對象，則其經(jīng)過磁場的偏轉(zhuǎn)后，其射出磁場的位置應(yīng)在其下方，由此可以推知，射出磁場的點(diǎn)就是O點(diǎn)；以非常接近于頂端粒子或從C射入的粒子為研究對象，它要經(jīng)過O點(diǎn)，其軌道半徑應(yīng)等于磁場區(qū)域的半徑R．在運(yùn)用上面的極端分析方法后，需要用作圖方法進(jìn)行檢驗(yàn)，至此，可以確定出出射點(diǎn)的位置，并求出磁感應(yīng)強(qiáng)度．

(7) 第9類 已知入射點(diǎn)的位置

對于此類問題，分兩種情況討論.

1)已知帶電粒子的軌道半徑，則

a.根據(jù)運(yùn)動軌跡與邊界的交點(diǎn)關(guān)系，確定出射點(diǎn)的位置，由確定圓心兩個可能的位置.

b.根據(jù)運(yùn)動軌跡與邊界的交點(diǎn)關(guān)系，確定入射方向，由“量取法”可確定圓心的位置．

2)如果帶電粒子的軌道半徑未知，要確定圓心的位置，則

a.根據(jù)運(yùn)動軌跡與邊界的交點(diǎn)關(guān)系，確定入射方向和出射點(diǎn)的位置，由“中垂線法”確定圓心的位置.

b.根據(jù)運(yùn)動軌跡與邊界的交點(diǎn)關(guān)系，確定入射方向、出射方向及兩方向的交點(diǎn)位置，則“角平分線法”可確定圓心的位置．

【例8】如圖14所示，在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O處有一放射源，向四周均勻發(fā)射速度大小相等、方向都平行于紙面的帶電粒子．在放射源右邊有一很薄的擋板，擋板與xOy平面交線的兩端M、N與原點(diǎn)O正好構(gòu)成等腰直角三角形．已知帶電粒子的質(zhì)量為m，帶電量為q，速度為v，MN的長度為L．若在整個空間加一方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，要使板右側(cè)的 連線上都有粒子打到，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度不能超過多少(用m、v、q、L表示)?若滿足此條件，放射源O向外發(fā)射出的所有帶電粒子中有幾分之幾能打在板的左邊?

圖14

分析：本題僅知道入射點(diǎn)的位置，故用三種基本方法無法確定其圓心位置，但題給條件中還有部分粒子出射點(diǎn)位置的集合，因此本題在確定臨界狀態(tài)的圓心位置時，首先考慮運(yùn)用“中垂線法”方法確定圓心位置，具體方法如下．

由于對稱性，不妨假設(shè)帶電粒子帶正電，磁場的方向垂直紙面向外．對于本題而言，要計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值，不妨猜測帶電粒子恰好能打在MN右側(cè)的臨界條件是：帶電粒子從O射出經(jīng)M點(diǎn)后又恰好經(jīng)過N點(diǎn)，即M、N都在同一圓上，則由“中垂線法”可知，此時帶電粒子的圓心既在OM的中垂線上，又在ON的中垂線，故其圓心就是O′點(diǎn)．當(dāng)然，這種猜測是否正確，需用作圖方法加以檢驗(yàn)，具體方法如下.

圖15

至此運(yùn)用“猜測—檢驗(yàn)”模式，使問題得到解決．這樣容易得出磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值為