黃 晶

(嵊州市第一中學(xué) 浙江 嵊州 312400)

新課程要求改變課堂教學(xué)過(guò)于強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí)、死記硬背機(jī)械訓(xùn)練的現(xiàn)狀，倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與、樂(lè)于探究、勤于動(dòng)手，培養(yǎng)學(xué)生搜集和處理信息的能力，獲取新知識(shí)的能力，分析和解決問(wèn)題的能力以及交流與合作的能力.筆者在此理念的指導(dǎo)下進(jìn)行了融研究性學(xué)習(xí)于競(jìng)賽教學(xué)之中的實(shí)踐，突出了學(xué)生學(xué)習(xí)方式上的自主性、探究性和合作性，其研究過(guò)程及成果記錄如下.

1 提出問(wèn)題

本次探究的問(wèn)題來(lái)源于全國(guó)第11屆物理競(jìng)賽試題：“頂桿AB可以在豎直滑槽K內(nèi)滑動(dòng)，其下端由凸輪M推動(dòng)，凸輪繞O軸以勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖1所示，在圖示的瞬時(shí)，OA=r，凸輪輪緣與A接觸處法線n與OA之間的夾角為α，試求此瞬時(shí)頂桿AB的速度.”在解決問(wèn)題的過(guò)程中，有學(xué)生開(kāi)始思考此題的原始背景，認(rèn)為是從機(jī)械傳動(dòng)中提煉而得，進(jìn)而提出一個(gè)問(wèn)題：“如果凸輪勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)推動(dòng)頂桿勻速上行，凸輪輪廓應(yīng)是什么曲線？”

圖1

2 猜想假設(shè)

鑒于此問(wèn)題的原創(chuàng)性及自發(fā)性，我們將其作為研究性學(xué)習(xí)的題材分組進(jìn)行了探索研究.首先是定性分析、猜想假設(shè)了曲線的形狀.若凸輪輪廓是圓形，則頂桿將靜止不動(dòng).因此凸輪輪廓應(yīng)當(dāng)是一條漸開(kāi)曲線，猜想可能是橢圓、拋物線、雙曲線等常見(jiàn)曲線.

3 設(shè)置情景

在實(shí)際探究中我們發(fā)現(xiàn)直接解決這種傳動(dòng)裝置問(wèn)題比較陌生，起初束手無(wú)策.直到后來(lái)有小組提出將其轉(zhuǎn)換成熟悉的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，從而出現(xiàn)轉(zhuǎn)機(jī).經(jīng)過(guò)反復(fù)嘗試，設(shè)置物理情景如下.

有一圓輪在做定軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速為ω.盤上有一小蟲(chóng)自輪心沿一根幅向輪邊做勻速爬行，求解這小蟲(chóng)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程.

4 解決問(wèn)題

有很多小組采用了直角坐標(biāo)系，但求解過(guò)程和最終表述都比較復(fù)雜.后來(lái)有小組查閱資料知此類情境用極坐標(biāo)解答比較有優(yōu)勢(shì)，解答如下.

以地面為參考系，小蟲(chóng)的運(yùn)動(dòng)可看成是隨輪的轉(zhuǎn)動(dòng)和沿輪輻的爬行兩種運(yùn)動(dòng)的合成.選用極坐標(biāo)系，取固定的盤心O為極點(diǎn)，極軸水平向右.設(shè)t=0時(shí)，小蟲(chóng)的r=0，φ=0.小蟲(chóng)沿輪輻爬行的速度為v0，則有

vr=v0

以及

vφ=ρ·ω

所以有

v=vri+vφj

從小蟲(chóng)的速度以及初始條件積分，可以求出運(yùn)動(dòng)軌跡.

由

兩邊積分

得

r=v0t

(1)

再由

兩邊積分

得φ=ωt

(2)

聯(lián)立(1)、(2)兩式消去參數(shù)t，得小蟲(chóng)的軌跡方程

5 溯本追源

在小組交流評(píng)價(jià)環(huán)節(jié)中，有學(xué)生對(duì)上述曲線進(jìn)行了溯本追源，發(fā)現(xiàn)它即為阿基米德螺線.

5.1 阿基米德螺線定義

當(dāng)一點(diǎn)P沿動(dòng)射線OP等速率運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，這射線又以等角速度繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的軌跡稱為“阿基米德螺線”，亦稱“等速螺線”.因?yàn)槭状斡砂⒒椎略谥鳌墩撀菥€》中給出了定義而命名，它的極坐標(biāo)方程為

r=aφ

其中a為常數(shù).這種螺線的每條臂的距離永遠(yuǎn)等于2πa.

對(duì)于上述設(shè)置的物理情景，如果小蟲(chóng)相對(duì)于地面參考系以v的速度沿圓的直徑運(yùn)動(dòng)，那么在相對(duì)圓盤靜止的轉(zhuǎn)動(dòng)參考系看來(lái)，小蟲(chóng)的軌跡就是一條阿基米的螺線.

5.2 螺線歷史

阿基米德在埃及時(shí)為了幫助人們解決用尼羅河水灌溉土地的難題，發(fā)明了圓筒狀的螺旋揚(yáng)水器，后人稱它為“阿基米德螺旋”.阿基米德螺旋實(shí)際是一個(gè)裝在木制圓筒里的巨大螺旋狀物，用來(lái)把水從一個(gè)水平面提升到另一個(gè)水平面，對(duì)田地進(jìn)行灌溉.它是現(xiàn)代螺旋泵的前身，直到現(xiàn)在，一些現(xiàn)代工廠仍然使用這種阿基米德螺旋泵來(lái)移動(dòng)流質(zhì)和粉物.盡管阿基米德螺線是一條古老的曲線，但由于它具有良好的數(shù)學(xué)、幾何、力學(xué)和美學(xué)性質(zhì)，所以在凸輪設(shè)計(jì)、車床卡盤設(shè)計(jì)、渦旋彈簧、螺紋、蝸桿設(shè)計(jì)中得到了廣泛的應(yīng)用.

6 實(shí)際應(yīng)用

如圖2所示，凸輪繞軸O勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，使桿AB上升.欲使桿AB勻速上升，凸輪上的CD段輪廓線應(yīng)是什么曲線？

圖2

解析：取相對(duì)凸輪靜止的轉(zhuǎn)動(dòng)參考系，建立以凸輪中心O為原點(diǎn)，固定在凸輪上的極坐標(biāo)來(lái)研究桿上點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng).

根據(jù)題意有

(3)

(4)

將式(3)、(4)對(duì)時(shí)間積分，并設(shè)點(diǎn)C為動(dòng)點(diǎn)A在t=0時(shí)的初始位置，于是得以極坐標(biāo)表示的點(diǎn)A相對(duì)于凸輪的運(yùn)動(dòng)方程為

θ=ωt

和

r=R+vt

消去時(shí)間t，得點(diǎn)在凸輪上的軌跡方程為

從中可以看出凸輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)桿AB將勻速上升，則輪廓曲線是阿基米德螺線.

7 提出新問(wèn)題

在交流評(píng)價(jià)中有小組還提出新的問(wèn)題：如果凸輪勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)推動(dòng)頂桿勻加速上行或簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，凸輪輪廓將分別是什么曲線？

8 教學(xué)相長(zhǎng)

社會(huì)建構(gòu)主義認(rèn)為：學(xué)習(xí)不只是強(qiáng)調(diào)個(gè)體心智活動(dòng)的主動(dòng)性，更應(yīng)兼及社群與集體之間的互動(dòng)、磋商、討論，直至形成共識(shí).這種鮮活的基于合作學(xué)習(xí)的教學(xué)對(duì)話既有同能力的伙伴間的水平互動(dòng)，又有和教師的垂直互動(dòng)，是平時(shí)教學(xué)實(shí)踐中值得我們追尋的.本次合作學(xué)習(xí)研究采用的是課內(nèi)討論和課后研討相結(jié)合的形式，成功之道可以總結(jié)為以下三點(diǎn).

8.1 反思構(gòu)建了合作學(xué)習(xí)框架

通過(guò)學(xué)生自主探究和親身感受，促使學(xué)生在學(xué)習(xí)中經(jīng)歷了科學(xué)探究過(guò)程，培養(yǎng)了學(xué)生的合作意識(shí)、團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神和實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度.在認(rèn)知過(guò)程中激發(fā)了學(xué)生心靈深處強(qiáng)烈的探索欲望，從而掌握起如下研究物理問(wèn)題的思路和方法，讓探究循序進(jìn)行(圖3).

圖3

8.2 正確定位了以合作為核心的師生關(guān)系

合作學(xué)習(xí)要求教師充當(dāng)“指導(dǎo)者”、“合作者”和“促進(jìn)者”等多種角色，旨在促進(jìn)整個(gè)教學(xué)過(guò)程的發(fā)展，使學(xué)生和新知識(shí)間的矛盾得到解決.教師不再把自己視作工作者，而是合作者.因?yàn)槿绻處煱炎约嚎醋魇枪ぷ髡叩脑?，那么他就?huì)把學(xué)生看作是工作的對(duì)象，予以機(jī)械刺激.在合作學(xué)習(xí)中，教師與學(xué)生之間原有的“權(quán)威─服從”關(guān)系逐漸變成了“指導(dǎo)─參與”的關(guān)系.師生關(guān)系如圖6所示，其核心是合作.

圖3

8.3 成功創(chuàng)設(shè)了民主活動(dòng)氛圍和多元評(píng)價(jià)機(jī)制

合作學(xué)習(xí)需要在課堂上營(yíng)造出平等民主的學(xué)習(xí)氛圍，這使學(xué)生感到心理自由和心理安全，唯有如此創(chuàng)造潛能才能得到極大的挖掘，同時(shí)學(xué)生在認(rèn)識(shí)形成過(guò)程中通過(guò)同他人交換見(jiàn)解，發(fā)現(xiàn)存在著持有不同于自己的見(jiàn)解者，可以從另類觀點(diǎn)來(lái)思考問(wèn)題.這樣，就使得自己的認(rèn)識(shí)得以相對(duì)化.在本次實(shí)踐中將自評(píng)、互評(píng)、他評(píng)相結(jié)合的多元主體評(píng)價(jià)模式起到了推動(dòng)探究得以向縱深發(fā)展的作用.如本例在研究初期，嘗試直接解決問(wèn)題時(shí)普遍感到困難，正是在自評(píng)中有小組提出將其情景轉(zhuǎn)化.在直角坐標(biāo)系求解復(fù)雜時(shí)，在小組互評(píng)中提出優(yōu)化方案，即采用極坐標(biāo).最后寫出了完整的學(xué)習(xí)報(bào)告.我們將其成果在校報(bào)上刊登加以鼓勵(lì).