郭曉林，李 軍

（1.西南交通大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，成都 610031；2.成都信息工程學(xué)院 管理學(xué)院，成都 610225）

0 引言

由于有害物品的普遍使用，其運(yùn)輸問題也成為一個(gè)常見的問題。有害物品或稱危險(xiǎn)品包括爆炸物品、氣體、可燃液體和固體、氧化物、有毒或傳染性物質(zhì)、放射性物質(zhì)、腐蝕性物質(zhì)和有害廢料等（郭曉林等，2006）。對(duì)于大多數(shù)工業(yè)社會(huì)的成員來說，沒有有害物品的生活是不可想象的。遺憾的是，大多數(shù)的有害物品不是在生產(chǎn)地使用，它們需要運(yùn)輸相當(dāng)長的距離。據(jù)估計(jì)，在美國每年有害物品的運(yùn)輸量將達(dá)到15到40億噸，公路上行使的車輛中每十五輛就有一輛是運(yùn)輸有害物品的（Erkut和 Verter,1998）。

有害物品運(yùn)輸與其它物品運(yùn)輸?shù)膮^(qū)別在于運(yùn)輸過程中事故發(fā)生的相關(guān)風(fēng)險(xiǎn)。有害物品會(huì)對(duì)環(huán)境和人類健康產(chǎn)生極大的傷害，因?yàn)榻佑|到他們的有毒化學(xué)成分將導(dǎo)致植物、動(dòng)物和人的損傷甚至死亡。這種危險(xiǎn)已被社會(huì)所認(rèn)識(shí)，很多情形下，對(duì)有害物品的流動(dòng)有著嚴(yán)格的規(guī)章制度管理。因而有害物品的承運(yùn)人比其它一般物品的承運(yùn)人在發(fā)生事故方面有著更好的記錄。不過，雖然發(fā)生事故的情況相對(duì)較少，但事故還是時(shí)有發(fā)生。

正因如此，有害物品運(yùn)輸僅以成本最小化為目標(biāo)通常是不合適的。早在上世紀(jì)80年代人們就已經(jīng)意識(shí)到這一點(diǎn)，并明確提出在對(duì)有害物品運(yùn)輸線路進(jìn)行安排時(shí)，必須考慮路徑運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)[2]。事實(shí)上，我們常常將有害物品運(yùn)輸問題歸結(jié)為以運(yùn)輸成本和運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)為目標(biāo)的雙目標(biāo)問題。因此，如何合理度量運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)便成為求解有害物品運(yùn)輸問題的基礎(chǔ)。也正因如此，以Erkut為代表的大批學(xué)者對(duì)如何度量有害物品運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行了大量的研究，并提出了多個(gè)度量模型(Erkut&Ingolfsson,2005），其中應(yīng)用較為廣泛的是所謂的傳統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)模型。在有害物品運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)度量過程中，為了計(jì)算的方便，都不同程度地作過一些假設(shè)或近似處理，但這種假設(shè)或近似處理是否會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果的不可信或無法應(yīng)用卻沒有進(jìn)行專門的討論。本文擬在回顧傳統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)模型的基礎(chǔ)上，分析使用這一模型進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)度量時(shí)可能產(chǎn)生計(jì)算誤差的主要情形，并應(yīng)用數(shù)字例子，就其誤差對(duì)運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)算結(jié)果的影響程度進(jìn)行評(píng)估。最后，還將討論幾種常用的風(fēng)險(xiǎn)度量模型存在的計(jì)算誤差情況。

1 有害物品運(yùn)輸傳統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)模型回顧

有害物品運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)就是所謂路徑運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)，一般而言，一條路徑由若干邊組成，而每一邊又由若干基元路段構(gòu)成。因此，Erkut和Verter（1998）從基元路段風(fēng)險(xiǎn)開始，系統(tǒng)地對(duì)路徑運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行了分析和總結(jié)。

1.1 基元路段風(fēng)險(xiǎn)

所謂的基元路段是指一定長度（如1公里）的路段。根據(jù)傳統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的定義方法，運(yùn)輸有害物品通過基元路段d的風(fēng)險(xiǎn)可以表示為：

其中：pd表示運(yùn)輸有害物品通過基元路段d時(shí)發(fā)生事故的概率；Cd表示基元路段d兩側(cè)一定區(qū)域內(nèi)的人口數(shù)。

1.2 邊的風(fēng)險(xiǎn)

在基元路段運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)基礎(chǔ)上，可以繼續(xù)討論有害物品運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)中一條邊的風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算問題。路網(wǎng)中一條邊是由n條基元路段的組成，且所有基元路段具有相同的事故發(fā)生概率p以及影響人口C。運(yùn)輸工具要么在第一公里內(nèi)發(fā)生事故，要么將安全到達(dá)第二公里。如果到達(dá)第二公里內(nèi)，要么在第二公里內(nèi)發(fā)生事故，要么將安全到達(dá)第三公里，依次類推。假設(shè)一旦發(fā)生事故運(yùn)輸行為便結(jié)束。那么此邊上的運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)可以表示為：

顯然，若給定p,n,C,很容易計(jì)算出（2）式的值，并將其作為邊的屬性值（權(quán)）運(yùn)用于路徑選擇問題。但是，采用以下近似可以大大簡化（2）式的計(jì)算：

這一近似有其合理的依據(jù)，因?yàn)閜幾乎是百萬公里分之一的量級(jí)。作了此近似后，在此邊上運(yùn)行的運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)則變?yōu)椋?/p>

如果記pi=邊i上發(fā)生事故的可能性=（邊i中單一基元路段上發(fā)生事故的可能性）×（邊i含有的基元路段數(shù)）；Ci=沿著邊i的危險(xiǎn)圈中的人口數(shù)。那么邊i上的運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)可以表示為：

1.3 路徑風(fēng)險(xiǎn)

用（1）～（5）式表示了基元路段以及邊上的運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)后，接下來要討論的是，怎么表示從起點(diǎn)到終點(diǎn)的整條路徑的風(fēng)險(xiǎn)。由于路徑可以看作是若干邊組成的集合，車輛在路徑上的行駛則可以看作是做一系列的隨機(jī)試驗(yàn)。那么，與此運(yùn)行相關(guān)的期望后果，也就是路徑運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)，可以表示為：

為了簡化計(jì)算，作類似于（3）（也即 1-pi≈1，對(duì)于任意 i）的假設(shè)。這樣，沿著路徑r運(yùn)輸有害物品的運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)可以表示為（Erkut和 Verter,1998）：

2 路徑運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)度量中的誤差分析

在路徑運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)度量過程中，為了計(jì)算的方便，常常會(huì)采用一些隱含假設(shè)或近似處理。這些做法將給計(jì)算結(jié)果帶來一些誤差是顯而易見的，但是是否會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果失去意義卻需要進(jìn)行詳細(xì)分析后才能判斷。

2.1 影響后果誤差

在應(yīng)用（7）式進(jìn)行路徑風(fēng)險(xiǎn)度量時(shí)，對(duì)事故影響后果的估計(jì)通常是在確定影響區(qū)域面積的基礎(chǔ)上乘上相應(yīng)的人口密度得到。以爆炸物品運(yùn)輸為例，對(duì)事故影響后果的估計(jì)首先需要根據(jù)爆炸物品的運(yùn)載量確定一旦發(fā)生事故時(shí)的影響半徑，然后根據(jù)人口普查數(shù)據(jù)，找出路段所在行政區(qū)的人口密度，最后用影響區(qū)域的面積乘以人口密度便得出事故影響后果。由于人口密度是由人口普查得出的人口總數(shù)除以該行政區(qū)域的面積得出，沒有考慮人口的具體分布狀況。這有可能導(dǎo)致某些路段的影響后果過分高估或低估，比如有可能出現(xiàn)在某些路段的影響半徑范圍內(nèi)根本無人居住，但其影響后果仍按人口密度乘以影響區(qū)域面積來計(jì)算，這顯然大大高估了這一路段的影響后果。另外，這一處理方式也默認(rèn)影響區(qū)域內(nèi)的人口（無論離事故中心遠(yuǎn)還是近）將有相同的受傷害的概率，顯然也不完全符合實(shí)際情況。這也會(huì)導(dǎo)致對(duì)影響后果的高估或低估。對(duì)整個(gè)路網(wǎng)而言，我們無法建立一個(gè)包含每一路段的任何影響半徑內(nèi)所覆蓋的實(shí)際人口數(shù)的數(shù)據(jù)庫，也無法確定每一路段附近的人口分布狀況。因此，這種處理雖然與實(shí)際情況存在一定的誤差 (有時(shí)這一誤差可能很明顯)，但這是使風(fēng)險(xiǎn)度量得以繼續(xù)進(jìn)行的無奈選擇。

導(dǎo)致影響后果估計(jì)誤差的另一情形是：由于上下班等緣故產(chǎn)生相當(dāng)?shù)娜丝诙唐谶w移，使得一定區(qū)域內(nèi)精確人口數(shù)與具體的時(shí)間密切相關(guān)。因此，如果有害物品運(yùn)輸是安排在白天通過某一地區(qū)，那么利用人口普查數(shù)據(jù)估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)圈內(nèi)風(fēng)險(xiǎn)人口也會(huì)出現(xiàn)誤差，這是數(shù)據(jù)的可得性導(dǎo)致的局限。因而，如果白天的人口數(shù)據(jù)可以獲得，或者它們可以被精確估計(jì)，那么，當(dāng)處理白天有害物品運(yùn)輸問題時(shí)，就應(yīng)該用它們來代替人口普查的數(shù)據(jù)。如果有害物品運(yùn)輸可能發(fā)生在白天或者晚上，那么，最好使用白天和晚上人口的加權(quán)綜合或者其最大值。對(duì)于這一情形，還引出了具有事變特性的有害物品運(yùn)輸問題。魏航（2006）等人對(duì)此作了比較詳細(xì)的研究。

2.2 近似計(jì)算誤差

正如Erkut和Verter(1995）指出的那樣，幾乎所有有關(guān)有害物品運(yùn)輸?shù)难芯慷际褂昧伺c（3）式類似的近似處理，但是并不一定對(duì)此進(jìn)行了明確的說明。因?yàn)椴捎么私铺幚砗螅茼樌褂米疃搪匪惴ㄇ蠼怙L(fēng)險(xiǎn)最小化問題，從求解實(shí)現(xiàn)的角度看，近似處理的優(yōu)點(diǎn)是顯而易見的，它能使問題變得易于處理。但是，利用這一近似將給其解帶來的誤差也是事實(shí)。這種近似處理由于忽略風(fēng)險(xiǎn)表達(dá)式中的高階項(xiàng)會(huì)高估事故發(fā)生的概率，并且，行駛路線越長，高估的程度越高（Erkut和Verter,1998）?，F(xiàn)在我們要考慮的是這種高估是不是足以使利用近似得出的結(jié)果無效，或者說誤差是不是在我們可接受的范圍內(nèi)。

我們可以通過一個(gè)數(shù)字例子來觀察一下這個(gè)問題的答案?？紤]一條含有n個(gè)基元路段的邊。假設(shè)每一基元路段上發(fā)生事故的概率均為pi=p（對(duì)于所有i），事故發(fā)生后的影響后果Ci=C（對(duì)于所有i）那么n公里的邊上的運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)為：

如果使用（3）式進(jìn)行近似計(jì)算，那么n公里的邊上的運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)為：

此計(jì)算過程中的絕對(duì)誤差Ea為：

相對(duì)誤差Er為：

表1計(jì)算了基元路段數(shù)分別為 500、1000、1500、2000、2500、3000，事故發(fā)生概率分別為 1/10000（每公里）、1/100000（每公里）、1/1000000（每公里）、1/10000000（每公里）時(shí)，由于近似計(jì)算所導(dǎo)致的邊運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)的相對(duì)誤差。從表1可以看出，基元路段上發(fā)生事故的概率越小，近似計(jì)算導(dǎo)致的（相對(duì)）誤差也越??；邊所含基元路段數(shù)量越多，近似計(jì)算所導(dǎo)致的（相對(duì)）誤差也越大。表1中的第2列數(shù)據(jù)意味著當(dāng)事故發(fā)生概率為1/10000（每公里）時(shí)，邊運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)的實(shí)際值與近似值之間的相對(duì)誤差隨邊所含基元路段數(shù)量的不同在2.454%至13.602%之間變化，這一誤差水平是值得我們注意的。值得慶幸的是，實(shí)際的事故發(fā)生概率比1/10000（每公里）要小得多，如美國伊利諾伊州的這一數(shù)據(jù)為5.91×10-6（每公里）(Harwood etal,1993)。而可能的邊的長度可以從平均運(yùn)距來推斷，出于成本及運(yùn)輸時(shí)間方面的考慮，公路運(yùn)輸通常在中短距離市場有優(yōu)勢。2007年我國公路運(yùn)輸?shù)钠骄\(yùn)距僅為69公里 （漆先望等，2009）；美國的這一數(shù)據(jù)為289英里（張劍飛等，2005）。也就是說，實(shí)際的邊的長度不會(huì)超出表1中的最大邊長度。這樣，當(dāng)基元路段事故發(fā)生概率不超過1/1000000（每公里）時(shí)，邊運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)的實(shí)際值與近似值之間的相對(duì)誤差則在0.002%至0.15%之間變化。這一誤差水平，在大多數(shù)情況下是可以接受的。由于路徑運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)是邊運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)的和，兩者的相對(duì)誤差水平應(yīng)在同一數(shù)量級(jí)水平，因此，當(dāng)邊運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)算誤差在一個(gè)可以容忍的范圍內(nèi)時(shí)，路徑運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)算誤差也將在一個(gè)可以容忍的范圍內(nèi)。

表1 近似計(jì)算邊運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)引起的相對(duì)誤差

2.3 離散化處理誤差

在討論近似計(jì)算誤差時(shí)，我們注意到了近似計(jì)算所產(chǎn)生的誤差并不像我們想象的那么嚴(yán)重。但是，在邊的事故發(fā)生概率計(jì)算中，還存在另外一種誤差：事故過程的離散化處理。有害物品運(yùn)輸活動(dòng)被看作隨機(jī)試驗(yàn)，邊上有多少基元路段，試驗(yàn)就被重復(fù)做多少次。但是，事實(shí)上，有害物品運(yùn)輸是連續(xù)活動(dòng)。當(dāng)基元路段為1公里時(shí)，m公里長的邊含有m條基元路段，該邊上的運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)為：

假設(shè)希望通過使用更短的基元路段使行程更細(xì)化來提高運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算的精確度，把原有的基元路段再分成k段，則每一段上事故發(fā)生的可能性則為p/k，m公里長的邊上的運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)則為：

對(duì)這個(gè)級(jí)數(shù)取極限,則有：

從計(jì)算結(jié)果來看，基元路段為1公里時(shí)m公里的邊上的運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)與基元路段為無窮小時(shí)m公里的邊上運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)有所不同，其相對(duì)誤差可表示為：

表2中計(jì)算出了基元路段為1公里和無窮小時(shí)一定長度邊上運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)算誤差。

表2 基元路段為1公里和無窮小時(shí)一定長度邊上運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)的相對(duì)計(jì)算誤差

從表2可以看出，邊越長，離散化不同處理導(dǎo)致的相對(duì)計(jì)算誤差越小；事故發(fā)生概率越小，相對(duì)計(jì)算誤差也越小。盡管相對(duì)計(jì)算誤差受邊長和事故發(fā)生概率的影響，但其大小主要由事故發(fā)生概率決定，而對(duì)邊長的變化不夠敏感（如當(dāng)每公里事故發(fā)生概率為1/1000000時(shí)，相對(duì)誤差在6位小數(shù)上是相同的）?？傮w看來，表中最大的相對(duì)誤差僅為0.004988%，而當(dāng)每公里事故發(fā)生概率落在1/100000和1/10000000時(shí)，相對(duì)誤差更是小于0.0005%。由此可以看出，對(duì)于邊運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)算問題，不同的離散化處理方式不會(huì)導(dǎo)致明顯的計(jì)算誤差。

3 幾種常用模型的計(jì)算誤差分析

以上分析的是傳統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)模型的計(jì)算誤差問題。事實(shí)上，常用的運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)度量模型除了傳統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)度量模型外，還有以下幾種(Erkut和Ingolfsson,2005）（見表3）。在這些模型中同樣存在不同程度的計(jì)算誤差問題。為了敘述的方便，把由于影響后果度量的不精確而導(dǎo)致的路徑風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算誤差稱為第1類誤差；由于對(duì)事故概率進(jìn)行近似計(jì)算引發(fā)的路徑風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算誤差稱為第2類誤差；而由于離散化處理引發(fā)的路徑風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算誤差稱為第3類誤差。

表3 幾種常用風(fēng)險(xiǎn)度量模型

其中，pi=邊i上發(fā)生事故的可能性；Ci=沿著邊i的危險(xiǎn)圈中的人口數(shù)；Di=沿著邊i的矩形區(qū)域中的人口數(shù)；q、k分別為決策者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度參數(shù)。

由于模型Ⅰ僅考慮到沿路徑r的影響人口，沒有考慮各邊上發(fā)生事故的概率，因此，該模型只可能出現(xiàn)第1類計(jì)算誤差，而不會(huì)出現(xiàn)第2類和第3類計(jì)算誤差。

而模型Ⅱ與模型Ⅰ則剛好相反，由于該模型不含有影響人口這一變量，因此只會(huì)出現(xiàn)第2類和第3類計(jì)算誤差，而不會(huì)出現(xiàn)第1類計(jì)算誤差。對(duì)于此模型中，第2類和第3類計(jì)算誤差的大小可以用類似于前述分析方法來估計(jì)。經(jīng)過分析不難知道，此模型中第2類和第3類計(jì)算誤差的大小與傳統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)度量模型的完全一致。

對(duì)于模型Ⅲ，由于模型中含有風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度參數(shù)q,出于對(duì)大事故規(guī)避的考慮，此參數(shù)往往大于1，這使得各邊對(duì)應(yīng)的影響后果在路徑風(fēng)險(xiǎn)度量中所起的作用更大。從而導(dǎo)致由于影響后果度量的不精確引發(fā)的路徑風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算誤差比采用傳統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)模型時(shí)更大。而對(duì)于第2類和第3類計(jì)算誤差，此模型中一定存在。若視Ci、q為常數(shù)，其大小與傳統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)模型中的計(jì)算誤差也是一致的。

幾種常用風(fēng)險(xiǎn)度量模型計(jì)算誤差情況見表4。

表4 幾種常用風(fēng)險(xiǎn)度量模型計(jì)算誤差情況

表4中，第1類誤差=由于影響后果度量的不精確而導(dǎo)致的路徑風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算誤差；

第2類誤差=由于對(duì)事故概率進(jìn)行近似計(jì)算引發(fā)的路徑風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算誤差；

第3類誤差=由于不同的離散化處理引發(fā)的路徑風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算誤差；

顯著=誤差水平比傳統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)模型中的誤差水平更高；

相當(dāng)=誤差水平與傳統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)模型中的誤差水平相當(dāng)。

4 結(jié)論

在應(yīng)用傳統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)度量模型對(duì)有害物品運(yùn)輸風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行度量時(shí)，有可能在影響后果計(jì)算、近似計(jì)算、離散化處理等方面出現(xiàn)計(jì)算誤差。如果人口數(shù)據(jù)信息足夠充分，那么應(yīng)該用精確的人口數(shù)據(jù)取代人口普查數(shù)據(jù)。對(duì)事故發(fā)生概率采用近似計(jì)算也會(huì)導(dǎo)致一定的計(jì)算誤差，但由于有害物品運(yùn)輸事故發(fā)生概率通常非常小，使得這種誤差的相對(duì)比率往往事實(shí)上會(huì)在一個(gè)可以容忍的比較小范圍內(nèi)。不同的離散化程度處理雖然也會(huì)產(chǎn)生一定的計(jì)算誤差，但是這種誤差比近似計(jì)算產(chǎn)生的相對(duì)誤差還要小得多，因此我們有足夠的理由忽略它?？傊?，對(duì)影響后果、近似計(jì)算以及離散化的不同處理方式，都會(huì)產(chǎn)生一定的計(jì)算誤差。影響后果估計(jì)的誤差有可能比較明顯，且糾正成本較高。而后兩類誤差實(shí)際上很小，不會(huì)影響計(jì)算結(jié)果的應(yīng)用。

對(duì)于其它幾種常見的風(fēng)險(xiǎn)度量模型，其計(jì)算誤差的情形與傳統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)度量模型基本一致。影響后果估計(jì)導(dǎo)致的誤差（如果存在的話）通常比較顯著，而事故概率的近似計(jì)算以及不同的離散化處理導(dǎo)致的誤差則會(huì)在一個(gè)可以容忍的范圍內(nèi)。

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