鞏子坤

作為課程改革倡導(dǎo)的學(xué)習(xí)方式,探究學(xué)習(xí)已經(jīng)得到一線教師的認(rèn)同,廣大教師設(shè)計了許多基于探究學(xué)習(xí)的教學(xué)案例。反思和剖析這些案例,對于設(shè)計有效的探究學(xué)習(xí)路徑具有十分重要的意義。下面,筆者從“三角形的三邊關(guān)系”教學(xué)案例出發(fā),就如何設(shè)計探究學(xué)習(xí)的路徑作些思考。

一、例說:探究學(xué)習(xí)路徑

1.在“實驗、猜測、反駁、驗證和推理”的螺旋上升中形成并完善結(jié)論

在探究“三角形的三邊關(guān)系”時,如何引導(dǎo)學(xué)生“用兩邊的和與第三邊進(jìn)行比較”是一個困難的問題。這個問題解決好了,學(xué)生猜測、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的火花就能夠激發(fā)出來。

(1)實驗,提出猜測。一位教師在教學(xué)“三角形的三邊關(guān)系”時,先引導(dǎo)學(xué)生思考“將一根吸管剪成任意三段,把它們首尾相連,會得到什么圖形”。學(xué)生在動手操作探究后形成了這樣的觀點:當(dāng)較短的兩條線段加起來比第三條線段短,或者等于第三條線段時,圍不成三角形;當(dāng)兩條線段的和大于第三條線段時,就能夠圍成一個三角形。這就形成了第一次猜測:兩條線段的和大于第三條線段時,三條線段能夠圍成一個三角形。

(2)反駁,完善猜測,形成結(jié)論。在第一次猜測形成后,教師出示了一個反例:“三條線段的長度分別是4、5、10。因為4+10>5,兩條線段的和大于第三條線段,所以這三條線段可以圍成三角形。你們同意嗎?”這是對第一次猜測的反駁。通過反駁,引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突,啟發(fā)學(xué)生對剛剛獲得的猜測進(jìn)行修正、完善,從而形成進(jìn)一步的猜測。

接著,教師進(jìn)行追問:“在什么情況下才能夠圍成一個三角形呢?”學(xué)生回答了“任意兩條線段的和大于第三條線段,就能夠圍成三角形”和“較短的兩條線段的和大于第三條線段,就能夠圍成三角形”這兩個結(jié)果。教師再問:“你怎樣理解任意?”學(xué)生答:“就是隨便拿兩條線段?！苯處熜〗Y(jié):“這兩個字非常關(guān)鍵,我們把剛才的這句話補充完整——三角形任意兩邊的和大于第三邊?！?/p>

(3)實踐,驗證結(jié)論。猜測成立與否?教師安排學(xué)生做練習(xí)(如圖1),學(xué)生在做練習(xí)的過程中,進(jìn)一步驗證結(jié)論、鞏固結(jié)論。

(4)推理,優(yōu)化結(jié)論。在學(xué)生完成上述練習(xí)后,教師啟發(fā)學(xué)生:“有的同學(xué)為了防止出錯,每道題加了3遍,有點麻煩吧?”學(xué)生回答:“只要較短的兩條線段的和大于第三條就行了?！苯處熡謫?“為什么?”學(xué)生答道:“如果較短的兩條線段的和大于第三條,有較長的那條線段參與的兩條線段的和一定大于第三條,這不就是任意兩條線段的和大于第三條嗎?”教師小結(jié):“三角形較短的兩邊的和大于第三邊。”

學(xué)生的推理太精彩了:從直覺出發(fā),如果較短的兩條線段的和大于第三條,那么,任意兩條線段的和一定大于第三條。通過猜測、反駁、驗證,已經(jīng)得到了一個一般的結(jié)論,利用這個結(jié)論可以判斷三條線段能否構(gòu)成一個三角形。然而,在解決實際問題時,仍然比較繁瑣,能否有一個更簡潔的方法呢?教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究,將結(jié)論進(jìn)一步精致化、實用化,得到一個優(yōu)化的結(jié)論。這是認(rèn)識的又一次深化。

2.在開掘課程資源和表征的轉(zhuǎn)化中加深對結(jié)論的認(rèn)識

(1)開掘豐厚的課程資源。對上述練習(xí),如果學(xué)生順利完成了“在能拼成三角形的各組小棒下面畫鉤”,通常就算解決了問題。教師用“一雙慧眼”窺視到練習(xí)后面的“潛藏意蘊”,用“一雙妙手”開掘出“豐厚的課程資源”。比如,對“長度分別為3、4、5的3根小棒”,教師讓學(xué)生想象該三角形的形狀。進(jìn)一步,讓學(xué)生觀察這3根小棒長度的特點:長度是3個連續(xù)的自然數(shù)。這樣做,一方面培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力,另一方面又啟發(fā)學(xué)生猜測:是否所有以3個連續(xù)的自然數(shù)為長度的小棒都能夠構(gòu)成一個三角形呢?這又是一個讓學(xué)生猜測、驗證的命題,學(xué)生再一次體驗到探究的樂趣。對“長度分別為3、3、5的3根小棒”,教師提出了一個開放性問題:“我對這個等腰三角形很感興趣。它的兩條邊是相等的, 都是3?，F(xiàn)在把5厘米的邊換一下,怎么換才能保證圍成一個三角形呢?”

(2)實現(xiàn)表征的轉(zhuǎn)化。在探究得到結(jié)論、通過練習(xí)加深了對結(jié)論的理解后,教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生:“為了方便, 我們用a、b、c分別表示三角形的三條邊。你能用字母表示三角形三條邊的關(guān)系嗎?”學(xué)生回答:“表示為a+b>c、a+c>b、b+c>a?！?/p>

這就實現(xiàn)了從語言表征到符號表征的轉(zhuǎn)化,學(xué)生的認(rèn)識上升到一個更加抽象的水平。教師又問:“如果只用一個算式a、b來表示,這里a、b代表什么?”學(xué)生答道:“a、b既可以代表任意兩條邊,也可以代表較短的兩條邊?！?/p>

作出這一步表征,意義重大。其一,從數(shù)學(xué)的角度而言,加深了對符號的認(rèn)識。a、b作為符號,代表性非常寬泛。它們既可以代表已知的數(shù),也可以代表未知的數(shù)。字母表示某些東西,不同的字母或表達(dá)式可表示相同的東西。這里的a、b不僅可以代表任意兩條邊,不僅僅是原來的a、b邊,也可以是c邊;還可以代表較短的兩條邊。這就是a、b的本來面目,這就是a、b的應(yīng)有之意。其二,從學(xué)習(xí)心理的角度而言,將原本3個式子壓縮成1個,實現(xiàn)了由符號表征到更為抽象的符號表征的轉(zhuǎn)化。這次抽象以符號為抽象的對象,是對符號的反身抽象,是對符號本身的抽象和壓縮。也就是說,將具體的a、b、c邊壓縮成一個更為抽象的a,用一個式子涵蓋了本節(jié)課所講的主要內(nèi)容。在深刻理解的基礎(chǔ)上,對這些知識進(jìn)行壓縮,在認(rèn)知結(jié)構(gòu)上形成一個節(jié)點,從而節(jié)省了記憶空間,有利于知識的存儲,也有利于知識的提取。

以上過程也就是用數(shù)學(xué)方法把實際材料組織起來的數(shù)學(xué)化的過程。數(shù)學(xué)化是有層次的,一般而言,由低到高,有兩個層次:一是橫向的數(shù)學(xué)化,即把生活世界引向符號世界。比如,用符號來表示三角形三邊之間的關(guān)系。二是縱向的數(shù)學(xué)化,即在符號世界里,符號生成、重塑、被使用。用一個式子來表示三角形三邊之間的關(guān)系,可以看做是縱向的數(shù)學(xué)化。

二、反思:偏離探究目標(biāo),違背數(shù)學(xué)邏輯

1.偏離探究目標(biāo)

以上案例,呈現(xiàn)了一個真實的探究學(xué)習(xí)過程。教師成功地引導(dǎo)學(xué)生“用兩條線段的和與第三條線段進(jìn)行比較”,也成功地引導(dǎo)學(xué)生在“實驗、猜測、驗證、反駁、推理”中展開探究學(xué)習(xí)。從這個意義而言,該案例具有較大的學(xué)習(xí)價值。

然而,仔細(xì)分析不難發(fā)現(xiàn),該案例探究的問題是“滿足什么條件的三條線段,才能夠圍成一個三角形”,探究得到的結(jié)論是“任意兩條線段的和大于第三條線段,能夠圍成三角形”,或“較短的兩條線段的和大于第三條線段,能夠圍成三角形”,或“兩條線段的和等于或者小于第三條線段,不能夠圍成三角形”。這與本節(jié)課要探究的問題“三角形的三條邊須滿足什么樣的關(guān)系”和結(jié)論“三角形任意兩邊的和大于第三邊”并不完全一致。

從分析“反駁,完善猜測,形成結(jié)論”這一片段可以看出,學(xué)生按照教師的要求進(jìn)行探究,得到的結(jié)論是“任意兩條線段的和大于第三條線段,能夠圍成三角形” 。教師所板書的結(jié)論是“三角形任意兩邊的和大于第三邊”,兩者并不完全一致。教師要得到所板書的結(jié)論,尚需扭轉(zhuǎn)學(xué)生思想上的一個彎。

2.違背數(shù)學(xué)邏輯

如果探究的問題是“滿足什么條件的三條線段,才能夠圍成一個三角形”,探究得到的結(jié)論是“任意兩條線段的和大于第三條線段,能夠圍成三角形”,那么該探究案例的設(shè)計就是正確的。

然而,分析該案例可以發(fā)現(xiàn),教師是從“任意兩條線段的和大于第三條線段,能夠圍成一個三角形”推導(dǎo)出“三角形任意兩邊的和大于第三邊”的。從邏輯的角度來分析,這樣推導(dǎo)是有缺陷的。

用A表示“任意兩條線段的和大于第三條線段”,用B表示“圍成一個三角形”。于是,“任意兩條線段的和大于第三條線段,能夠圍成一個三角形”可以表示為“若A,則B”;“三角形任意兩邊的和大于第三邊”可以表示為“若B,則A”。我們知道,命題“若A,則B”成立,其逆命題“若B,則A”不一定成立。也就是說,由學(xué)生探究的結(jié)論,并不能必然地推導(dǎo)出教師想得到的結(jié)論。相反,如果命題“兩條線段的和等于或者小于第三條線段,不能夠圍成三角形”為真,卻可以推導(dǎo)出其逆否命題“三角形任意兩邊的和大于第三邊”一定為真。也就是說,可以從這個命題推導(dǎo)出教師想得到的結(jié)論。

上述分析表明:其一,要想得到教師所板書的結(jié)論,考察教師所作的推理,邏輯上是有缺陷的。彌補這一缺陷的辦法是:強(qiáng)調(diào)“在什么樣的條件下,三條線段不能夠圍成三角形”。其二,即便是這樣,對于四年級的學(xué)生而言,要輕松地轉(zhuǎn)過邏輯上的這個彎,還是有著較大的困難的。(未完待續(xù))(作者單位:杭州師范大學(xué))

作者簡介:教授,教育學(xué)博士,心理學(xué)博士后,主要研究方向是基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程改革的理論和實踐,數(shù)學(xué)教育心理。在《課程教材教法》《人民教育》等刊物發(fā)表文章四十余篇,主持全國教育科學(xué)“十一五”規(guī)劃課題“基于學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平的課程標(biāo)準(zhǔn)的適切性研究”。

□責(zé)任編輯 鄧園生

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