林 曉
“逼近法”在數(shù)學(xué)辭典中被解釋為:“一種求方程(近似)解的方法。它的步驟是,先取解的一個(gè)初始估計(jì)值,然后通過(guò)一系列的步驟逐步縮小估計(jì)值的誤差。它一般通過(guò)迭代來(lái)實(shí)現(xiàn),因此亦稱(chēng)迭代法。利用這種方法解方程,不僅可以在理論上證明解的存在,而且還提供了具體的數(shù)值解法?!比绻麊渭冇蛇@個(gè)解釋?zhuān)覀兒茈y將它同小學(xué)數(shù)學(xué)掛上鉤。然而,筆者在教學(xué)“雞兔同籠”一課的過(guò)程中,卻發(fā)現(xiàn)了這一數(shù)學(xué)思想方法在學(xué)生探究數(shù)學(xué)知識(shí)中的重要性。
一、“逼近法”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用
“雞兔同籠”是一道有趣的古代名題。多年來(lái),人們已經(jīng)想出了許多解題方法,較為公認(rèn)的有以下幾種。下面就以“一個(gè)農(nóng)民有若干只雞和兔子,這些家畜共有50個(gè)頭和140條腿,問(wèn)這個(gè)農(nóng)民有多少只雞和多少只兔子?”為例進(jìn)行說(shuō)明。
(一)試探法
一共有50只家畜,它們不可能全是雞或兔子,若全是雞它僅有100條腿;若全是兔子將有200條腿。但是,它們恰好有140條腿。如果正好一半是雞,另一半是兔子,那么它們就將有……
如果我們把雞的數(shù)目取小一些,那么兔子的數(shù)目就會(huì)相應(yīng)的變大,而這就使得腿數(shù)增大了。反之,如果我們把雞的數(shù)目增加一些……對(duì)了,必須多于25只雞,讓我們?cè)囈辉?0只:通過(guò)試算,我們得到了雞30只,兔20只的答案。
(二)演繹法
假如每一只雞都用一條腿站著,而每一只兔子都用其(兩條)后腿站著。這樣就只用了半數(shù)的腿,即70條腿。在70這個(gè)數(shù)目中,雞的頭只計(jì)算了一次,而兔子的頭則計(jì)算了兩次。用70這個(gè)數(shù)減去所有的頭數(shù)50,就剩下兔子的頭數(shù)了。兔子共有70-50=20(只),那么雞是30只。
(三)用代數(shù)的方法
解這個(gè)二元一次方程,得到x=30,y=20。
(四)推廣
我們嘗試考慮把問(wèn)題中給定的數(shù)字代之以其他數(shù),特別是大數(shù),這種考慮是有益的,而把給定的數(shù)字代之以字母,如以h代替50,以,代替140,即令h表示家畜的頭數(shù),f表示家畜的腿數(shù)。我們所得到的兩個(gè)方程的方程組可改寫(xiě)成下列形式
把這個(gè)公式重新翻譯成日常語(yǔ)言,即免子數(shù)等于腿數(shù)的一半減頭數(shù)。這正是上面那個(gè)富于想象力的解法二的結(jié)果。
通過(guò)對(duì)“雞兔同籠”問(wèn)題的不同解法的比較,我們發(fā)現(xiàn)它們中的每一個(gè)都各有特點(diǎn)。不難看出,第一種解法較為復(fù)雜,因?yàn)榇嬖谥龅酱髷?shù)怎么辦的問(wèn)題;第二種解法屬于演繹推導(dǎo)方法,求解相對(duì)簡(jiǎn)單,理解亦相對(duì)容易;而第三種和第四種解法即列二元一次方程方法求解。因此,一般情況下,人們較為推崇第二、三和第四種解法。那是不是第一種解法就應(yīng)該被否定呢?不!筆者通過(guò)對(duì)各種解題方法進(jìn)行分析,特別是對(duì)第一種解題方法的分析,認(rèn)為第一種方法是在比較中不斷調(diào)整題解,減少錯(cuò)誤,逐步靠近正確答案的方法。它具備了以下特點(diǎn):在明確了目標(biāo)后再沿著目標(biāo)方向,不斷探索,不斷調(diào)整,逼近目標(biāo),直至最后達(dá)到目標(biāo),使問(wèn)題獲得解決。而這種方法就是在科學(xué)理論形成過(guò)程中,構(gòu)建科學(xué)假說(shuō)常用的助發(fā)現(xiàn)的方法——逼近法。
逼近法作為科學(xué)假說(shuō)的助發(fā)現(xiàn)方法,其模式是一種具有信息反饋功能的模式。這種在教學(xué)過(guò)程中不甚被人們推崇的方法,恰恰是探索科學(xué)知識(shí),尋求物質(zhì)世界的真實(shí)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的一種重要方法,它對(duì)于探索科學(xué)定律等是十分重要的。德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)行星運(yùn)行三大定律,就是應(yīng)用逼近法的著名實(shí)例。
二、“逼近法”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透
在日常教學(xué)過(guò)程中,我們可以通過(guò)猜一猜、湊一湊、試一試等方法讓學(xué)生感知“逼近法”的魅力。(一)猜一猜例如一年級(jí)在認(rèn)識(shí)“20以?xún)?nèi)的數(shù)”后,教師可以組織學(xué)生玩猜數(shù)的游戲,讓學(xué)生用“大一些、小一些,大得多、小得多”等語(yǔ)言來(lái)描述數(shù)的大小關(guān)系。等學(xué)生年齡再大一些,就可以讓他去探求怎么猜才能更快地猜到答案,這時(shí)“二分法”就派上用場(chǎng)了。這樣既鍛煉了學(xué)生的數(shù)感,又滲透了“區(qū)間套”逐步逼近的思想。
(二)湊一湊
“年齡問(wèn)題”對(duì)于中低年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)確實(shí)有些困難,用方程吧,他們沒(méi)有相應(yīng)的知識(shí)基礎(chǔ);用算術(shù)解吧,如何理清其間的倍數(shù)關(guān)系也是個(gè)問(wèn)題。這時(shí)老師可以鼓勵(lì)學(xué)生猜一猜;湊一湊,即大膽猜測(cè),仔細(xì)檢驗(yàn),不對(duì)就改,直到成功。如,小明說(shuō):“我比爸爸歲數(shù)的一半少9歲?!卑职终f(shuō):“我比小明歲數(shù)的3倍多3歲?!眴?wèn)小明和爸爸各幾歲?在解題時(shí),可以先猜爸爸40歲,由小明的話(huà)可得小明年齡是(40÷2-9)=11歲;再用爸爸的話(huà)進(jìn)行檢驗(yàn),得爸爸的年齡是(11×3+3)=36歲,不對(duì)?!淮未卧嚥拢淮未螜z驗(yàn),最后猜到爸爸48歲時(shí),由小明的話(huà)得小明年齡是(48÷2-9)=15歲,再用爸爸的話(huà)進(jìn)行檢驗(yàn),得爸爸年齡是15×3+3=48歲。
即使高年級(jí)學(xué)了方程之后,這種試湊法同樣有用。例如“小明玩套圈游戲,套中小雞一次得9分,套中小猴得5分,套中小狗得2分。小明共套了10次,每次都套中了,每個(gè)小玩具都至少被套中一次。小明套10次共得了61分。問(wèn):小雞至多被套中多少次?”我們可以教學(xué)生這樣來(lái)列方程:設(shè)套中小雞x次,套中小猴y次,那么套中小狗(10-x-y)次。因?yàn)榈梅譃?1分,所以9x+5y+2(10-x—y)=61,化簡(jiǎn)后得7x=41-3y。顯然y越小,x越大。將y=1代入得7x=38,無(wú)整數(shù)解。若y=2,7x=35,解得x=5。因此,小明至多套上小雞5次。也就是說(shuō)我們用試湊法解決了這道看似沒(méi)辦法解出的方程,得出了問(wèn)題的答案。
(三)試一試
“逼近法”的精髓就在于猜測(cè)、嘗試、調(diào)整,因此,我們要引導(dǎo)學(xué)生利用技巧去猜,去試。例如在學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式后,教師可以讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐做這樣的探索:將一張A4紙做成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體形狀紙盒,找出相關(guān)數(shù)據(jù)計(jì)算出它的容積并嘗試尋找最大的容積。學(xué)生在不斷的猜測(cè)、嘗試、調(diào)整中既鞏固了長(zhǎng)方體的體積計(jì)算方法,又鍛煉了動(dòng)手能力,最重要的是學(xué)生慢慢感悟到長(zhǎng)方體高的變化引起了容積的變化,并通過(guò)驗(yàn)證,得出最大容積時(shí)高應(yīng)該在4--4.1之間。教師設(shè)計(jì)這樣的實(shí)踐并不在于要得出最終的答案,而是要讓學(xué)生去感知逐步逼近法的思想。
總之,“逼近法”提醒我們,一些看似簡(jiǎn)單的事情當(dāng)中蘊(yùn)涵著深遠(yuǎn)的意義。我們?cè)诮虒W(xué)或科研過(guò)程中,在積極努力獲得成果的同時(shí),更要注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí),注重研究能力的培養(yǎng),不應(yīng)該讓采用“試湊法”的學(xué)生們泄氣。反之,應(yīng)該鼓勵(lì)他們巧妙地應(yīng)用逐次逼近這個(gè)基本方法來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題。
(責(zé)編林劍)