王忠海

自初中新課程標(biāo)準(zhǔn)實施以來，能力的培養(yǎng)一直是課程標(biāo)準(zhǔn)中的主線，分析近年來浙江省各市實施新課標(biāo)的中考卷，都呈現(xiàn)出考查基礎(chǔ)、注重過程、滲透思想、突出能力、強調(diào)應(yīng)用、鼓勵探究和創(chuàng)新的特點．中考數(shù)學(xué)試卷從試題結(jié)構(gòu)到內(nèi)容設(shè)計，題型活潑，情景新穎，不在計算技巧和知識立意的試題上過分糾纏，而是注重各種題型的結(jié)合和題量的適度，深化能力立意，出現(xiàn)了很多探究性、操作實踐性、閱讀理解和開放性等考查創(chuàng)新能力的好試題．

現(xiàn)把近年來中考中出現(xiàn)的新題型從教學(xué)的角度做一個歸納，希望能對中考復(fù)習(xí)的師生有所幫助．

一、探究性試題

開展探究性學(xué)習(xí)，不僅是為了適應(yīng)當(dāng)前中學(xué)課程改革中產(chǎn)生的研究性課程教學(xué)，

更重要的是為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力，真正實現(xiàn)素質(zhì)教育的需要．

【例1】 如圖1，這些等腰三角形與正三角形的形狀有差異，我們把這與正三角形的接近程度稱為“正度”．在研究“正度”時，應(yīng)保證相似三角形的“正度”相等．

設(shè)等腰三角形的底和腰分別為a，b，底角和頂角分別為α，β．要求“正度”的值是非負(fù)數(shù)．

同學(xué)甲認(rèn)為：可用式子|a-b|來表示“正度”，|a-b|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；

同學(xué)乙認(rèn)為：可用式子|α-β|來表示“正度”，|α-β|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形．

探究：（1）他們的方案哪個較合理，為什么？

（2）對你認(rèn)為不夠合理的方案，請加以改進(jìn)（給出式子即可）；

（3）請再給出一種衡量“正度”的表達(dá)式．

點評：數(shù)學(xué)探究性教學(xué)模式要樹立新的教學(xué)觀和學(xué)生觀——教學(xué)過程的意義不僅在于使學(xué)生獲得知識，更重要的是使每一個學(xué)生都能獲得身心的充分發(fā)展，體味到學(xué)習(xí)樂趣，從而激發(fā)學(xué)生主動學(xué)習(xí)和興趣．

二、開放性試題（問題變式教學(xué)）

開放題是中考題多樣化和時代發(fā)展要求的產(chǎn)物，單一的題型和測試目標(biāo)限制了考生應(yīng)用知識解決實際問題的能力，不利于激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性．開放性試題能為考生提供更大的考慮問題的空間，在解題途徑方面也是多樣的，這樣的試題是十分有利于考生發(fā)揮水平，也有利于考生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)．

1.條件開放與探索

條件開放探索題的明確特征是缺少確定的條件，問題所需補充的條件不是得出結(jié)論的必要條件，所需補充的條件不能由結(jié)論推出．

【例2】 已知：∠MAN＝30°，O為邊AN上一點，以O(shè)為圓心，2為半徑作⊙O，交AN于D，E兩點，設(shè)AD＝x．

（1）如圖2-1，當(dāng)x取何值時，⊙O與AM相切；

（2）如圖2-2，當(dāng)x為何值時，⊙O與AM相交于B，C兩點，且∠BOC＝90°．

點評：解答這類問題往往是把結(jié)論反過來當(dāng)條件用，本例可利用圓的切線性質(zhì)和垂徑定理，構(gòu)造特殊直角三角形，使問題得以求解．

2.結(jié)論開放

【例3】 已知矩形ABCD和點P，當(dāng)點P在邊BC上任一位置（如圖3-1所示）時，易證得結(jié)論：PA²＋PC²＝PB²＋PD²，請你探究：當(dāng)P點分別在圖3-2、圖3-3中的位置時，PA²、PB²、PC²和PD²又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請你寫出對上述兩種情況的探究結(jié)論，并利用圖3-2證明你的結(jié)論．

點評：本題也是一道結(jié)論開放題，通過閱讀題目已知條件及要求，不難探究出正確結(jié)論，但是說明理由時，有一定的難度．正確作出輔助線，創(chuàng)造性地使用勾股定理的條件，是解決問題的關(guān)鍵．

3.綜合開放

【例4】 如圖4，直線AC∥BD，連結(jié)AB，直線AC，BD及線段AB把平面分成①、②、③、④四個部分，規(guī)定：線上各點不屬于任何部分．當(dāng)動點P落在某個部分時，連結(jié)PA，PB，構(gòu)成∠PAC，∠APB，∠PBD三個角．（提示：有公共端點的兩條重合的射線所組成的角是0°角．）

（1）當(dāng)動點P落在第①部分時，求證：∠APB=∠PAC+∠PBD；

（2）當(dāng)動點P落在第②部分時，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？

（3）當(dāng)動點P在第③部分時，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系，并寫出動點P的具體位置和相應(yīng)的結(jié)論．選擇其中一種結(jié)論加以證明．

點評：開放題的特征很多，如條件的不確定性，它是開放題的前提；結(jié)構(gòu)的多樣性，它是開放題的目標(biāo)；思維的多向性，它是開放題的實質(zhì)；解答的層次性，它是開放題的表象；過程的探究性，它是開放題的途徑；知識的綜合性，它是開放題的深化；情景的模擬性，它是開放題的實踐；內(nèi)涵的發(fā)展性，它是開放題的認(rèn)識．過程開放或結(jié)論開放的問題能鼓勵學(xué)生多角度、多側(cè)面、多層次地思考問題，有助于充分調(diào)動學(xué)生的潛在能力．

三、操作性問題

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在描述空間觀念的主要表現(xiàn)時，提到了“能從復(fù)雜的圖形中分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關(guān)系”，學(xué)生是否能達(dá)到這樣一個要求，與其頭腦中的圖形表象有著密切的關(guān)系．事實上，學(xué)生形成圖形概念的過程就是一個圖形的表象不斷積累，并對這些積累的表象不斷加工提煉的過程．如何不斷積累圖形的表象，特別是涉及其大量變式的表象，經(jīng)歷與圖形有關(guān)的各種操作活動是一個非常重要的途徑．在認(rèn)識圖形的過程中，學(xué)生不斷做出所要認(rèn)識的各種圖形，教師也不斷將各種圖形提供給學(xué)生操作，學(xué)生更是通過相互間的交流看到了更多的圖形，這種對首次感知的強化和大量的圖形表象的積累為學(xué)生進(jìn)一步提升對圖形的理性認(rèn)識奠定了基礎(chǔ)．

【例5】 （2007，紹興）學(xué)習(xí)了平行線后，小敏想出了過已知直線外一點畫這條直線的平行線的新方法，她是通過折一張半透明的紙得到的（如圖5-1～5-4）：

從圖中可知，小敏畫平行線的依據(jù)有（）．

①兩直線平行，同位角相等；②兩直線平行，內(nèi)錯角相等；

③同位角相等，兩直線平行；④內(nèi)錯角相等，兩直線平行．

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

【例6】 （2007，浙江）如圖6-1，小明將一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片（如圖6-2），量得他們的斜邊長為10@cm，較小銳角為30°，再將這兩張三角紙片擺成如圖6-3的形狀，但點B、C、F、D在同一條直線上，且點C與點F重合（在圖6-3至圖6-6中統(tǒng)一用F表示）.

小明在對這兩張三角形紙片進(jìn)行如下操作時遇到了[HJ0.85mm]三個問題，請你幫助解決．

（1）將圖6-3中的△ABF沿BD向右平移到圖6-4的位置，使點B與點F重合，請你求出平移的距離；

（2）將圖6-3中的△ABF繞點F順時針方向旋轉(zhuǎn)30°到圖6-5的位置，A1F交DE于點G，請你求出線段FG的長度；

（3）將圖6-3中的△ABF沿直線AF翻折到圖6-6的位置，AB1交DE于點H，請證明：AH=DH.

四、閱讀理解、規(guī)律探索題（合情推理問題）

【例7】 （2007，溫州）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一組數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，…，其中從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和．現(xiàn)以這組數(shù)中的各個數(shù)作為正方形的長度構(gòu)造如下正方形：

再分別依次從左到右取2個、3個、4個、5個，正方形拼成如下矩形并記為①、②、③、④，相應(yīng)矩形的周長如下表所示：

若按此規(guī)律繼續(xù)作矩形，則序號為⑩的矩形周長是________．

【例8】 （2007，紹興）如圖甲，正方形被劃分成16個全等的三角形，將其中若干個三角形涂黑，且滿足下列條件：

（1）涂黑部分的面積是原正方形面積的一半；

（2）涂黑部分成軸對稱圖形．

如圖乙是一種涂法，請在圖7-1～7-3中分別設(shè)計另外三種涂法．（在所設(shè)計的圖案中，若涂黑部分全等，則認(rèn)為是同一種涂法，如圖乙與圖丙）

“創(chuàng)新是一個民族的靈魂，是國家興旺發(fā)達(dá)的不竭源泉”．而實際上不少學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)單一，應(yīng)用意識淡薄，創(chuàng)新能力較弱．為此我們有必要補充創(chuàng)新試題，這也正是解決這一弊端的有力手段．

［責(zé)任編輯：金 鈴］