邵漢民

“隨機(jī)”“可能”“不一定”等詞匯，正隨著新課程悄然進(jìn)入小學(xué)校園，這標(biāo)志著我們的學(xué)生從小學(xué)就將進(jìn)入“隨機(jī)”世界。在原有的學(xué)校數(shù)學(xué)體系中，概率要到高二年級(jí)才進(jìn)行教學(xué)。在中學(xué)，概率是作為排列組合的實(shí)際應(yīng)用來(lái)進(jìn)行編排的，重點(diǎn)是學(xué)習(xí)概率的基本定義與計(jì)算公式，靈活地判定隨機(jī)事件的關(guān)系(互斥事件、相互獨(dú)立事件)，并利用相應(yīng)的公式計(jì)算概率。由于其應(yīng)用性強(qiáng)，密切聯(lián)系生活，因此在高考中所占比重正逐步增加，概率在高考中的分?jǐn)?shù)比是概率在教學(xué)中的課時(shí)比的2.4倍。

當(dāng)然，小學(xué)階段的概率與中學(xué)的概率相比，無(wú)論是內(nèi)容體系、學(xué)習(xí)方式，還是教學(xué)目標(biāo)等均有著質(zhì)的區(qū)別。因此，必須重新審視概率在學(xué)校教學(xué)中的地位與作用，并提出切合小學(xué)實(shí)際的教學(xué)策略。

筆者選擇了三個(gè)角度進(jìn)行思索：一是小學(xué)數(shù)學(xué)中的“概率”與概率論中的“概率”之間的關(guān)系，以期找到小學(xué)概率知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展；二是澄清概率知識(shí)與概率誤解的關(guān)系，以期探索小學(xué)概率教學(xué)的課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)：三是概率教材與學(xué)生回答的關(guān)系，以期批判地利用課本，更好地促進(jìn)學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)。

在對(duì)概率教材進(jìn)行理性思索的基礎(chǔ)上，提出三個(gè)方面的策略：一是巧設(shè)情境，巧妙引導(dǎo)，在豐富的體驗(yàn)中形成概率概念：二是精心設(shè)問(wèn)，適時(shí)質(zhì)疑，讓動(dòng)手實(shí)驗(yàn)成為學(xué)生的真需要；三是結(jié)合經(jīng)驗(yàn)，重視過(guò)程，構(gòu)建以“問(wèn)題解決”為核心的概率教學(xué)流程。

一、思索

凡是值得思考的事情，沒(méi)有不是被人思考過(guò)的，我們必須做的只是試圖重新加以思考而已。

——歌德

小學(xué)的“概率教學(xué)”有其獨(dú)特的教育價(jià)值，對(duì)于學(xué)生全面合理地認(rèn)識(shí)生活中的隨機(jī)性事件有著重要的作用。“概率”進(jìn)入小學(xué)課堂的時(shí)間雖然不長(zhǎng)，但人們已從課堂教學(xué)實(shí)踐、學(xué)生的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)等方面進(jìn)行了研究。筆者嘗試從它的“母體”——“概率論”入手展開思索，試圖構(gòu)筑小學(xué)“概率”教學(xué)目標(biāo)與“概率論知識(shí)體系”之間的橋梁。

(一)概率論與小學(xué)數(shù)學(xué)中的概率

概率論是數(shù)學(xué)體系中研究隨機(jī)事件數(shù)量關(guān)系的一個(gè)分支，在其發(fā)展的過(guò)程中，形成了四個(gè)基本的概率概型，產(chǎn)生了四種研究問(wèn)題的思維方法。(表一)

其中前兩種概型可以統(tǒng)稱為等可能性概型。以上四種概率各有優(yōu)缺點(diǎn)，但不論哪一種概率，一般經(jīng)歷以下流程(圖1)：

與概率論的基本內(nèi)容及思維流程相比較，小學(xué)的概率可從“概率論”的基本思想中找到其數(shù)學(xué)化的概率涵義與形成軌跡，兩者的關(guān)系可從下表中得到反映(表二見右上)。

從表二與圖1中可以發(fā)現(xiàn)，中小學(xué)的概率體系是根據(jù)概率的古典概型、幾何概型與統(tǒng)計(jì)概型的學(xué)習(xí)歷程來(lái)構(gòu)建的。第一學(xué)段是對(duì)圖1虛框中內(nèi)容的學(xué)習(xí)，重點(diǎn)是感受生活中的隨機(jī)現(xiàn)象并進(jìn)行分析；第二學(xué)段是對(duì)等可能事件的定量分析；第三學(xué)段結(jié)合具體情境了解古典概型、幾何概型與統(tǒng)計(jì)概型的意義。通過(guò)以上三個(gè)學(xué)段，用具體情境和更適合于中小學(xué)生理解的詞匯，建立起初步的概率觀念與思維方法，在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中體會(huì)到概率知識(shí)的內(nèi)在魅力與實(shí)際價(jià)值。而大數(shù)定律作為解決復(fù)雜的隨機(jī)事件的一種方法，在小學(xué)中只是結(jié)合具體實(shí)例進(jìn)行直觀感受。綜上分析，我們認(rèn)為，中小學(xué)的“概率”是“概率論”基本思想的“生活化”體現(xiàn)。從上述分析比較中，對(duì)我們理解小學(xué)的概率教學(xué)有以下幾點(diǎn)啟示：

1、小學(xué)的概率教學(xué)要以學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，但又不能只停留于表層的活動(dòng)與感受，要通過(guò)課堂教學(xué)活動(dòng)使學(xué)生體驗(yàn)到概率的實(shí)質(zhì)：從復(fù)雜的變化中預(yù)測(cè)結(jié)果。

2、小學(xué)的概率教學(xué)重在觀念的形成，而不是對(duì)概率下具體的定義與計(jì)算，為后續(xù)的學(xué)校數(shù)學(xué)概率學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的感性基礎(chǔ)。

3、在(中)小學(xué)的概率教學(xué)進(jìn)程中，要化零為整，構(gòu)筑起為小學(xué)生能理解的概率概念體系與思維方法，能解釋和解決生活中的隨機(jī)現(xiàn)象。

(二)概率概念與錯(cuò)誤直覺(jué)

在學(xué)習(xí)有關(guān)文章時(shí)，我們經(jīng)常能看到對(duì)錯(cuò)誤的概率直覺(jué)問(wèn)題的論述，并提出要對(duì)此盡早“干預(yù)”，這是完全正確并有必要的。對(duì)照《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，小學(xué)生在學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容時(shí)，會(huì)有哪些錯(cuò)誤直覺(jué)呢?我們通過(guò)查閱文獻(xiàn)與調(diào)查，找到一些小學(xué)生在學(xué)習(xí)中或在生活經(jīng)驗(yàn)中業(yè)已存在的錯(cuò)誤直覺(jué)，現(xiàn)列舉其中幾則(表三)。

以上錯(cuò)誤直覺(jué)，不可能隨著概率概念的形成而消除，必須用實(shí)驗(yàn)和數(shù)據(jù)分析來(lái)糾正。

(三)概率教材和學(xué)生回答

在具體的情境中學(xué)習(xí)概率，這符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。因此，關(guān)于概率知識(shí)的教材，配了許多插圖。但由于插圖只是對(duì)現(xiàn)實(shí)情境某一個(gè)鏡頭的攝寫，學(xué)生在回答時(shí)有時(shí)并不能理解編者的意圖。這是我在2003年12月進(jìn)行“自然狀態(tài)下的學(xué)生”調(diào)查時(shí)的一個(gè)意外發(fā)現(xiàn)。調(diào)查的題目共有8題，其中6題均用了書本中的圖文。調(diào)查的對(duì)象是本校各年級(jí)一班的全體學(xué)生。

調(diào)查題3(北師大版三年級(jí)概率教材中的情境圖)：

從表格中發(fā)現(xiàn)學(xué)生隨著年齡的增長(zhǎng)，對(duì)可能性的表述日趨合理。同時(shí)發(fā)現(xiàn)六(1)班填白球的學(xué)生遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)填黃球。為什么會(huì)這樣?我訪談了其中的10位學(xué)生，有6位的回答是：我從圖中看出來(lái)的，白球在下面，手伸下去拿到的也應(yīng)該是下面的球。這則事例給我們啟示，從學(xué)生的視角看問(wèn)題，有時(shí)錯(cuò)的不在學(xué)生。對(duì)于學(xué)生的回答，要多問(wèn)問(wèn)為什么。同時(shí)也提醒我們，書本中的情境圖不能完全代表生活情境，實(shí)際教學(xué)時(shí)，教師要對(duì)圖意進(jìn)行必要的說(shuō)明。

有時(shí)教材中的文字表述也可能使學(xué)生產(chǎn)生疑義。如下圖(調(diào)查題5)：

一般均如上圖所示，但也有部分學(xué)生填成：“摸到的球可能是白球、白球，摸到白球的可能性大”。訪談后發(fā)現(xiàn)，讀題后，他(她)們誤以為是連續(xù)摸兩次，因?yàn)榘浊蚨?，兩次摸出的球可能都是白球。因此，?duì)可能性的敘述要語(yǔ)義明確，上題加一個(gè)“或”字——“摸到的球可能是一球或一球，摸到一球的可能性大”更有利于學(xué)生理解。

學(xué)貴在疑而精于思。在思索中，我們從宏觀的角度對(duì)小學(xué)的概率有了更深刻的認(rèn)識(shí)，并通過(guò)調(diào)查反思，從細(xì)微處發(fā)現(xiàn)了概率教材中的一些問(wèn)題。這些，為我們的小學(xué)概率教學(xué)提供了有力的理論支持與實(shí)踐思路。

二、實(shí)踐

我不能。別的任何人也不能替代你走過(guò)的路，你必須自己去走。

——[美]惠特曼《自己之歌》

“思索”加深了對(duì)小學(xué)概率的理性認(rèn)識(shí)，在此基礎(chǔ)上筆者先后在各年級(jí)進(jìn)行了概率教學(xué)實(shí)踐，積累了幾則比較滿意的課例，并以建構(gòu)主義為理論依據(jù)，總結(jié)出小學(xué)概率教學(xué)的基本思路。

(一)巧設(shè)情境，巧妙引導(dǎo)，在豐富的體驗(yàn)中形成概率概念

“小學(xué)概率教學(xué)重在觀念教育”。觀念的形成必須建立在豐富的經(jīng)驗(yàn)感受的基礎(chǔ)之上。教師要對(duì)概率概念有全面的認(rèn)識(shí)，了解學(xué)生的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)，針對(duì)學(xué)生可能出現(xiàn)的經(jīng)驗(yàn)錯(cuò)誤，為學(xué)生提供充分的感受空間，讓學(xué)生充分調(diào)動(dòng)多種感官，用眼觀察、動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、對(duì)話交流，充分體現(xiàn)出學(xué)生的主體地位，尊重學(xué)生的原始直覺(jué)，用事實(shí)說(shuō)話，建構(gòu)正確的概率概念。

如在建立1／6概率的意義時(shí)，讓每一位學(xué)生說(shuō)說(shuō)投擲過(guò)程中的心情，并進(jìn)行合理反思，體驗(yàn)不確定事件發(fā)

生的不確定性與可能性。

(二)精心設(shè)問(wèn)，適時(shí)質(zhì)疑，讓動(dòng)手實(shí)驗(yàn)成為學(xué)生的真正需要

“在教學(xué)之前和教學(xué)期間，學(xué)生在概率問(wèn)題上應(yīng)如何思考才能易于師生間的交流?”我們的結(jié)論是用事實(shí)說(shuō)話：讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，以檢查他們的猜測(cè)與判斷是否得到實(shí)際證據(jù)的支持。

“(小學(xué)的)概率是建立在經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的弱科學(xué)”。動(dòng)手實(shí)驗(yàn)是學(xué)生建立正確概率意義的保證。當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)觀點(diǎn)不能統(tǒng)一時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生自己想辦法，體會(huì)到動(dòng)手實(shí)驗(yàn)的必要性，然后再進(jìn)行擲一擲、摸一摸等實(shí)踐活動(dòng)，并用所得到的現(xiàn)象與數(shù)據(jù)來(lái)驗(yàn)證猜測(cè)，形成概念。

如，為讓學(xué)生正確建立概率中的比率概念，我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)讓學(xué)生經(jīng)歷“操作——思辨——驗(yàn)證”的學(xué)習(xí)歷程，在矛盾沖突與思維碰撞中揭示比率概念的本質(zhì)：

放：往袋子里放入一些球，要求任意摸出一個(gè)球，摸到黃球的可能性為1/3。

想：有多種放法，你認(rèn)為從哪個(gè)袋子里摸一個(gè)球，摸到黃球的可能性會(huì)大些?

摸：四人小組摸球，每一組又分成兩小組，兩個(gè)小組分別從(1黃2白)和(4黃8白)的袋子里摸球，每人摸10次，并做好記錄。

統(tǒng)計(jì)：組內(nèi)統(tǒng)計(jì)——全班統(tǒng)計(jì)——其他班級(jí)累計(jì)。

分析：兩種情況下摸到黃球的次數(shù)越來(lái)越接近。

結(jié)論：從黃球多或黃球少的袋子里摸球，摸到黃球的可能性是一樣的。

(三)結(jié)合經(jīng)驗(yàn)，重視過(guò)程，構(gòu)建以“問(wèn)題解決”為核心的概率教學(xué)流程

概率教學(xué)有兩個(gè)重要的切入口，一是激活正確的生活經(jīng)驗(yàn)，建立起正確的概率概念，二是剖析錯(cuò)誤經(jīng)驗(yàn)，形成正確的概率概念。對(duì)于后者更能激發(fā)起學(xué)生對(duì)概率概念的探究。我們總結(jié)了概率教學(xué)的基本樣式，即：

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個(gè)積極主動(dòng)的建構(gòu)過(guò)程。在建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程中必須與他人磋商并達(dá)成一致，因此在概率概念的學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師讓學(xué)生充分發(fā)表自己的想法、猜測(cè)，如產(chǎn)生異議，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)(個(gè)體的、小組的、班級(jí)的等多種形式)，并對(duì)實(shí)驗(yàn)所得的結(jié)果或數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，從而形成正確的概率概念，由第一直覺(jué)轉(zhuǎn)變?yōu)榈诙庇X(jué)。

回顧這幾年來(lái)對(duì)小學(xué)“概率教學(xué)”的思索與實(shí)踐，筆者認(rèn)為，雖然小學(xué)的概率教學(xué)內(nèi)容與“概率論”思想相比顯得淺顯，但是通過(guò)教學(xué)，對(duì)于促進(jìn)學(xué)生的邏輯思維能力和問(wèn)題解決能力均有顯著的作用。同時(shí)，概率與其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域乃至其他學(xué)科領(lǐng)域均有著緊密的聯(lián)系，它為學(xué)生提供了將各個(gè)領(lǐng)域的內(nèi)容聯(lián)系起來(lái)的機(jī)會(huì)。