黃明梧

在初中數(shù)學(xué)中,有一類(lèi)問(wèn)題是求按滿(mǎn)足某些特定條件連結(jié),使所連結(jié)的線(xiàn)段的長(zhǎng)度之和最小,稱(chēng)之為最短路線(xiàn).我們知道,連結(jié)兩點(diǎn)之間所有的線(xiàn)中,線(xiàn)段最短.本文通過(guò)一些例子,介紹一些求最短路線(xiàn)問(wèn)題的方法.

一、利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)

【例1】 如圖1,要在燃?xì)夤艿纋上修建一個(gè)泵站,分別向兩鎮(zhèn)A,B供氣.泵站修在管道的什么地方,可以使所用的輸氣管線(xiàn)最短?

已知:直線(xiàn)l和l的同側(cè)兩點(diǎn)〢﹑B.求作:直線(xiàn)l上一點(diǎn)C,且使AC+BC最小.

作法:1.作A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′;

2.連結(jié)A′B交直線(xiàn)l于點(diǎn)C.

點(diǎn)C就是所求的點(diǎn).

證明:略.

【例2】 如圖2,A為馬廄,B為帳篷,牧馬人某一天要從馬廄牽出馬,先到草地某一處牧馬,再到河邊飲馬,然后回到帳篷,請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線(xiàn).

已知:如圖2,直線(xiàn)MN、NP及點(diǎn)A、B.

求作:點(diǎn)C在直線(xiàn)MN上,點(diǎn)D在直線(xiàn)NP上,使AC+CD+DB最小.

作法:1.作A關(guān)于直線(xiàn)MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′,B關(guān)于直線(xiàn)NP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′;

2.連結(jié)A′B′交直線(xiàn)MN于點(diǎn)C,交直線(xiàn)NP于點(diǎn)D.點(diǎn)C,D就是所求的點(diǎn);

3.連結(jié)AC,DB.折線(xiàn)ACDB為牧馬人這一天的最短路線(xiàn).

證明:略.

二、利用平移變換的性質(zhì)

【例3】 如圖3,A和B兩地在一條河的兩岸,現(xiàn)要在河上造一座橋CD.橋造在何處才能使從A到B的路徑ACDB最短?(假定河的兩岸是平行的直線(xiàn),橋要與河垂直.)

已知:如圖3,直線(xiàn)a∥b,點(diǎn)A,B分別在直線(xiàn)a,b外側(cè).

求作:點(diǎn)C在直線(xiàn)a上,點(diǎn)D在直線(xiàn)b上,并且CD⊥a,使AC+CD+DB最小.

作法:1.在直線(xiàn)a上任取點(diǎn)C′作C′D′⊥a,交直線(xiàn)b于D′;

2.平移C′D′到AA′;

3.連結(jié)A′B交直線(xiàn)b于點(diǎn)D;

4.過(guò)點(diǎn)D作CD⊥a,垂足為C;

5.連結(jié)AC.

點(diǎn)C,D就是所求的點(diǎn).CD為建橋位置.

證明:略.

三、利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)

【例4】 如圖4,已知:△ABC.求作:點(diǎn)P,使點(diǎn)P在△ABC內(nèi),且點(diǎn)P到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.

作法:1.把AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°到BM,把AC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°到CN;

2.連結(jié)BN,CM交于點(diǎn)P.

點(diǎn)P就是所求的點(diǎn).

證明:設(shè)點(diǎn)Q是△ABC內(nèi)異于點(diǎn)P的任意一點(diǎn),連結(jié)AQ,BQ,CQ,把△ABQ繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°到△MBQ₁,由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)知:Q₁M=QA,Q₁B=QB,∠Q₁BQ=60°

∴△Q₁BQ是等邊三角形.

∴QQ₁=BQ.

∴AQ+BQ+CQ=MQ₁+QQ₁+QC,

連結(jié)AM,AN則

∵AB=MB,∠ABM=60°;AC=AN,∠ACN=60°,

∴△ABM,△CAN均為等邊三角形.

∴AM=AB,∠BAM=60°,AN=AC,∠CAN=60°,

∴△ABN是由△AMC繞A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°而得.

∴∠MPB=60°.

連結(jié)AQ,在PM上截取PP₁=BP,則△PP₁B是等邊三角形.

∴BP=BP₁,∠P₁BP=60°,

∵AB=MB,∠ABM=60°,

∴△MBP₁是由△ABP繞B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°而得.

∴MP₁=AP.

∴PA+PB+PC=MP₁+P₁P+PC=MC.

∵M(jìn)C1