李冬松 金鴻章

1哈爾濱工程大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱150001

2哈爾濱工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)系，黑龍江 哈爾濱150001

仿生減搖鰭升力模型的數(shù)值模擬及分析

李冬松1，2金鴻章1

1哈爾濱工程大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱150001

2哈爾濱工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)系，黑龍江 哈爾濱150001

船舶在系泊或低航速狀態(tài)下，發(fā)動(dòng)機(jī)主機(jī)停止工作，船舶失去自控方向能力，船體隨波浪左右搖晃，比航行時(shí)搖擺更為劇烈。因此，研究零航速減搖鰭非常重要。文章研究零航速時(shí)仿生減搖鰭產(chǎn)生升力的模型，其基礎(chǔ)為Weis－Fogh機(jī)構(gòu)理論。首先討論如何旋轉(zhuǎn)才能產(chǎn)生給定的升力。依據(jù)呂卡提方程理論，給出模型周期解的存在性和穩(wěn)定性條件；采用單步Runge－Kutta方法求出模型的數(shù)值解，給出保證數(shù)值解穩(wěn)定的條件。

減搖鰭；零航速；呂卡提方程；周期解；穩(wěn)定性；仿生學(xué)

1 引言

常規(guī)減搖鰭是目前最常用且應(yīng)用最成功的船舶主動(dòng)式減搖裝置，減搖效果可達(dá)90%以上。然而，只有船舶的航速較高時(shí)，減搖鰭才可以有效地減搖，船舶在低航速或零航速情況下，減搖鰭幾乎不能進(jìn)行減搖。這是由其減搖機(jī)理決定的，即減搖鰭升力的產(chǎn)生需要高速水流流過(guò)鰭表面。當(dāng)速度很小時(shí)，鰭上的升力也變得很小，在零航速時(shí)升力也同時(shí)消失了。對(duì)于在低航速或系泊狀態(tài)下仍需要減搖的船舶來(lái)說(shuō)，傳統(tǒng)的減搖鰭就不再適用了。而減搖水艙減搖效果有限，有時(shí)甚至出現(xiàn)增搖現(xiàn)象，這就要求發(fā)展零航速減搖鰭技術(shù)，此技術(shù)在減搖領(lǐng)域一直是個(gè)空白。本文依據(jù)Weis－Fogh機(jī)構(gòu)理論設(shè)計(jì)零航速減搖鰭。Weis－Fogh機(jī)構(gòu)是英國(guó)的生物學(xué)家發(fā)明的一種仿生機(jī)構(gòu)，這種機(jī)構(gòu)能在無(wú)來(lái)流速度的流體中產(chǎn)生升力，這一特性在零航速減搖鰭中得到了應(yīng)用［1－7］。圖1為Weis－Fogh機(jī)構(gòu)的簡(jiǎn)化模型，它由兩個(gè)平板翼組成，當(dāng)Weis－Fogh機(jī)構(gòu)張開(kāi)時(shí)，兩個(gè)平板翼的翼根點(diǎn)緊緊靠在一起，前緣點(diǎn)B分開(kāi)，兩翼繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)張開(kāi)，張開(kāi)角為2απ，角速度為Ω，兩翼間形成空隙，迫使周圍流體充填該空隙。由于流體不可壓縮，當(dāng)張開(kāi)角很小時(shí)，流體充填空隙的速度非常高，造成兩翼上下表面很大的壓力差。當(dāng)Weis－Fogh機(jī)構(gòu)閉合時(shí)，兩翼對(duì)空隙間的流體產(chǎn)生壓力，迫使流體流出空隙。與張開(kāi)時(shí)類似，當(dāng)張開(kāi)角很小時(shí)，流體流出空隙的速度非常高，造成兩翼上下表面很大的壓力差。當(dāng)Weis－Fogh機(jī)構(gòu)張開(kāi)或閉合時(shí)，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)是對(duì)稱的，這種對(duì)稱性可以在一定程度上簡(jiǎn)化理論分析。

圖1 Weis－Fogh機(jī)構(gòu)物理模型

采用Weis－Fogh機(jī)構(gòu)來(lái)設(shè)計(jì)零航速減搖鰭，首先要對(duì)它的升力特性進(jìn)行分析。由于Weis－Fogh機(jī)構(gòu)的對(duì)稱性，只需對(duì)單翼進(jìn)行升力分析，由對(duì)稱性即可得到兩翼共同作用的升力特性。由伯努利方程求出物面壓強(qiáng)p的表達(dá)式，將壓強(qiáng)沿物面積分，經(jīng)復(fù)雜的推導(dǎo)得出流體對(duì)翼的作用力。由文獻(xiàn)［8］得，作用于機(jī)翼上的力可以表示為角加速度和來(lái)流加速度的一次函數(shù)的線性組合；角速度和來(lái)流速度的二次函數(shù)的線性組合，即升力：

式中，u為來(lái)流速度；u′為來(lái)流加速度；Ω為翼的旋轉(zhuǎn)角速度；Ω′為翼的旋轉(zhuǎn)角加速度。

當(dāng)討論零航速時(shí)，來(lái)流速度u＝0，來(lái)流加速度u′＝0。如令T＝f1（t），Ω＝y(tǒng)（t），Ω′＝y(tǒng)′（t），從而式（1）可以簡(jiǎn)化成：

本文研究翼如何旋轉(zhuǎn)才能產(chǎn)生船舶減搖所需要的指定升力f1（t），此時(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解下面微分方程：

由文獻(xiàn)［7］，m1＜a（t）＜M1＜0。本文僅考慮升力控制，由于翼回?cái)[時(shí)產(chǎn)生的反向力涉及到翼的變形，我們將再另文研究。在此簡(jiǎn)化條件下，模型中a（t）成為周期函數(shù)，周期為2π。

2 模型數(shù)值解的分析及在減搖鰭控制中的應(yīng)用

首先介紹模型精確解的性質(zhì)，當(dāng)所需升力f（t）是周期為2π的連續(xù)函數(shù)時(shí)，模型為呂卡提方程，呂卡提方程近年來(lái)得到廣泛的研究［9－10］。

模型的示性代數(shù)方程為

由文獻(xiàn)［8］，a（t）＜0，升力f（t）＞0，故a（t）f（t）＜0。當(dāng)a（t），f（t）為周期為2π的連續(xù)函數(shù)時(shí)，依據(jù)呂卡提方程性質(zhì)，已知方程（3）存在兩個(gè)周期為2π的連續(xù)解y1（t），y2（t），且y＝y(tǒng)1（t）為穩(wěn)定的周期解，y＝y(tǒng)2（t）為不穩(wěn)定的周期解。

由于常微分方程的精確解難以求出，故需要采用數(shù)值方法求方程的近似解，本文采用單步Runge－Kutta方法，它具有精度高，穩(wěn)定性好的特點(diǎn)。對(duì)升力模型：

采用Runge－Kutta方法離散得：

式中，f∈C∞，f（t+2π）=f（t），y0是已知數(shù)，A= aij）s×s，b=（b1， …，bs），c=（c1， …，cs） 由具體Runge－Kutta方法確定。

下面首先進(jìn)行幾個(gè)數(shù)值試驗(yàn)，探討離散模型的性質(zhì)。

試驗(yàn)1 y＝－2y2＋（2－sin（t）），y（0）＝5。

使用Heun’s公式得：圖2。

圖2 試驗(yàn)1中數(shù)值解在t=5時(shí)呈現(xiàn)周期性

圖3 試驗(yàn)2中數(shù)值解在t=2時(shí)呈現(xiàn)周期性

試驗(yàn)2 y′=-2y2+（2-sin t），y（0）＝0.1。仍使用Heun’s公式，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖3。

試驗(yàn)3 y′=-10y2+（2-cos（2t）），y（0）＝0.1，h＝0.1。

當(dāng)方程為y′＝f（t，y）時(shí)，Euler公式為yn+1=yn+f（tn，yn），應(yīng)用于模型得：

計(jì)算結(jié)果如圖4。

試驗(yàn)4 y=-10y2+2-cos（2t），y（0）＝1，仍使用Euler公式，結(jié)果如圖5。

圖4 試驗(yàn)3中數(shù)值解在t=1時(shí)呈現(xiàn)周期性

圖5 試驗(yàn)4中數(shù)值解在t=0.4時(shí)呈現(xiàn)周期性

從數(shù)值試驗(yàn)中可觀察出以下結(jié)論，當(dāng)步長(zhǎng)較小時(shí)，數(shù)值解保持精確解的漸近周期性。但在研究方程y′=-10y2+2-cos（2t）時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)初值y（0）較大，如y（0）＝2，h＝0.1，數(shù)值解不穩(wěn)定，發(fā)散速度極快。這說(shuō)明離散控制時(shí)，還應(yīng)考慮步長(zhǎng)h，下面討論步長(zhǎng)的選取問(wèn)題。

3 離散模型的穩(wěn)定性分析

下面研究Runge－Kutta方法求解方程 （5）的漸近周期性，將R－K法應(yīng)用于方程（5）可得離散模型：

此處，h＝2π／N，N是正整數(shù)。

引理1 設(shè)a（t）＜0，f（t）＞0，a（t），f（t）∈C，且a（t）＝a（t＋2π），f（t）＝f（t＋2π），t＞0，令K＝max｝和h0如果0＜h＜h0，則存在正數(shù)M，m和N，使得m＜yn＜M，m＜Y＜M，i＝1，2，3，4，n＞N。

證明：設(shè)初始值y0＞mF＋MF，則（Y）2+ h 2 f（t0）<0，由式（9）得，Y＜y0。 因?yàn)閔＜h0＜，我們有

同樣道理，

設(shè)y0>y1>…>yN-1>yN，yN

式（12）與yN-1＞yN矛盾。使用歸納法即可得，若干步后數(shù)值解將在mf和K之間振動(dòng)。定理證畢。

用類似的方法還可證明

定理1 設(shè)a（t）＜0，f（t）＞0，a（t），f（t）∈C，a（t）＝a（t＋2π），f（t）＝f（t＋2π），t＞0，

由以上研究可得在計(jì)算升力時(shí)，必須注意步長(zhǎng)的選取，否則將失去穩(wěn)定性。

4結(jié)論

船舶零航速仿生減搖鰭仍處于研究階段，有大量的理論和實(shí)際問(wèn)題需要解決。本文討論Weis－Fogh機(jī)構(gòu)如何旋轉(zhuǎn)才能產(chǎn)生船舶減搖所需要的指定升力及穩(wěn)定性問(wèn)題，首先論證了升力模型穩(wěn)定性，然后給出保證數(shù)值解穩(wěn)定的步長(zhǎng)選取條件，為仿生減搖鰭的控制打下理論基礎(chǔ)。實(shí)際上關(guān)于Weis－Fogh機(jī)構(gòu)的理論還有很多工作要做，如可變翼的升力模型的計(jì)算，及回?cái)[時(shí)力的計(jì)算，這些工作將在以后研究。

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The Analysis and Numerical Simulation for the Lift Model of Fin Stabilizer

Li Dong－song1，2Jin Hong－zhang1
1 College of Automation，Harbin Engineering Univ.，Harbin 150001，China 2 Dept.of Mathematics，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China

The engine of ships is laid off at anchor.Ships drift with wave and loss the capacity of controlling navigating direction for self，so the roll is increased and severer than shipping state.It is important to study stabilizer when a ship is at zero speed.In this paper we study the lift model of fin stabilizer that based on potential theory of the Weis－Fogh mechanism when a ship is at zero speed.Firstly，we discussed that Weis－Fogh mechanism how to rotate to generate the lift that has been given.According to the theory of Riccati differential equation，conditions that assure the existence and stability of period solution are given.Then，using Runge－Kutta methods，the numerical solution of the model is obtained.Finally we give the conditions that assure the numerical solution is stable.The results are closely matched with numerical experiments.

antirolling fin；zero speed；Riccati differential equation；periodic solution；stability；bionics

TP212

：A

：1673－3185（2009）01－29－04

2008-10-1 2

國(guó)家自然科學(xué)基金（50575048）；黑龍江省博士后資助項(xiàng)目（LBH-205052）

李冬松（1963-），男，副教授，博士。研究方向：延遲微分方程精確解和數(shù)值解的定性性質(zhì)。

E-mail：lds_ch@yahoo.com.cn

金鴻章（1946-），男，教授，博士生導(dǎo)師。研究方向：控制理論和控制系統(tǒng)、智能控制、船舶控制系統(tǒng)與減搖裝置