徐元根

中國(guó)古代算法思想非常接近于現(xiàn)代算法思想，因此具有一般算法思想的各種教育價(jià)值.除此之外，基于中國(guó)古代算法思想的特征，其對(duì)本民族的數(shù)學(xué)教育而言，還有著特別的教育價(jià)值，即體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的民族性、培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)、促進(jìn)學(xué)生對(duì)現(xiàn)代算法思想的理解等.

一、體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的民族性

英國(guó)課程論專家豪森(G?Howson)指出：“一個(gè)民族的歷史和文化，會(huì)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)對(duì)本民族的重要性以及數(shù)學(xué)課程變革的必要性等問(wèn)題上形成一種傳統(tǒng)觀念，從而影響學(xué)校數(shù)學(xué)課程的發(fā)展.^[1]”

民族文化的保存與傳遞能夠激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)主義熱情、提高民族的自尊心與自信心.因此，數(shù)學(xué)課程必須結(jié)合自己的文化傳統(tǒng)實(shí)施，數(shù)學(xué)課程應(yīng)該具有本民族文化傳統(tǒng)的特點(diǎn).

我國(guó)數(shù)學(xué)課程一貫重視宣傳我國(guó)的數(shù)學(xué)成就和中國(guó)古今數(shù)學(xué)家的偉大貢獻(xiàn).但是這些內(nèi)容往往被當(dāng)作具有愛(ài)國(guó)主義教育意義的歷史知識(shí)，而與現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)的交融并不深入.中國(guó)古代的算法思想既是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的精髓，同時(shí)又具有現(xiàn)代算法思想的所有特征，如果能選擇一些典型的中國(guó)古代算法內(nèi)容作為中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，必將能使民族文化傳統(tǒng)與現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)具有更好的交融性，因而能更深入地體現(xiàn)我國(guó)數(shù)學(xué)課程的民族性.

比如，“中國(guó)剩余定理”便是一個(gè)很好的素材.

中國(guó)古代算書《孫子算經(jīng)》中有一著名的問(wèn)題“物不知數(shù)”，原題為：今有物，不知其數(shù)，三、三數(shù)之，剩二；五、五數(shù)之，剩三；七、七數(shù)之，剩二.問(wèn)物幾何?

這實(shí)際上是求解一次同余式的問(wèn)題.后來(lái)，南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中，給出了這類問(wèn)題的一般性解法，即“大衍總數(shù)術(shù)”(也稱孫子定理).該方法傳到西方后，被西方數(shù)學(xué)家稱為“中國(guó)剩余定理”.該定理用現(xiàn)代符號(hào)形式敘述就是

N≡r1(玬od玴1)≡r2(玬od玴2)≡…≡r璶(玬od玴璶)，其中p1，p2，…，p璶兩兩互質(zhì)，M=p1p2…p璶，M璱=Mp璱,M璱′M璱=1(玬od玴璱),則N=M′1M1r1+M′2M2r2+…+M′璶M璶r璶(玬od玀).

其中最關(guān)鍵的一步是求M′璱，使M′璱M璱=1(玬od玴璱)，秦九韶先求出M璱′ 除以p璱的余數(shù)G璱(稱為奇數(shù))，則上面的問(wèn)題等價(jià)于求M璱′，使G璱M璱′≡1(玬od 玴璱)，但此處G璱

列出算陣1G璱

0p璱，然后交替進(jìn)行如下一、二兩步的操作.(1)右下角除以右上角，余數(shù)留在右下角，商與左上角相乘加入左下角；(2)右上角除以右下角，余數(shù)留在右上角，商與左下角相乘加入左上角.這樣重復(fù)操作，直至右上角為1時(shí)，左上角之?dāng)?shù)即為所求的M′璱值之一.(若右下角先出現(xiàn)1，則右上角除以右下角時(shí)，規(guī)定余數(shù)為1，商為被除數(shù)減1.)

例 求最小的正整數(shù)N，使N≡2(玬od5)≡3(玬od7)≡5(玬od9).

解：M=315,p1=5,p2=7,p3=9,r1=2,r2=3,r3=5,M1=63,M2=45,M3=35,G1=3,G2=3,G3=8.13

5→13

12→21

12，所以M′1=2;13

7→13

21→51

21，所以，M′2=5；同理求得M′3=8.

N≡2×63×2+5×45×3+8×35×5(玬od315)≡2327(玬od315).

最小的正整數(shù)N=2327-315×7=122.

上述“大衍求一術(shù)”的實(shí)質(zhì)與西方的“輾轉(zhuǎn)相除法”相同，但該方法具有更強(qiáng)的程序性，只要用一個(gè)簡(jiǎn)單的循環(huán)語(yǔ)句，就很容易在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行這種計(jì)算.程序性和構(gòu)造性正是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的顯著特征之一，而且解一次同余式組的一般方法“大衍總數(shù)術(shù)”為秦九韶所首創(chuàng).將這樣的內(nèi)容引入中學(xué)數(shù)學(xué)，能使愛(ài)國(guó)主義、民族精神的培養(yǎng)與數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)更好地融合.

二、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)

強(qiáng)調(diào)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的重要特點(diǎn).應(yīng)用是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的特征之一，中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的算法也明顯地來(lái)自于現(xiàn)實(shí)、用之于現(xiàn)實(shí).所以中國(guó)古算素材也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的極好素材.

比如中國(guó)古代最早的算書《周髀算經(jīng)》實(shí)際上是一本天文著作，系統(tǒng)地記載了周秦以來(lái)為適應(yīng)天文計(jì)算的需要而逐步積累起來(lái)的算法技術(shù).該書最早敘述的勾股定理，便是以解決實(shí)際問(wèn)題的方式提出的.書中寫道，陳子曰：“若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾、股各自乘，并而開(kāi)方除之， 得邪至日.”在這里，勾股定理的一般形式實(shí)際上是以天文計(jì)算中的一種算法出現(xiàn)的.

《九章算術(shù)》則更是以應(yīng)用問(wèn)題集的形式編排.全書共分9章，敘述了246道應(yīng)用問(wèn)題及它們的解法.內(nèi)容涉及土地面積計(jì)算、比例分配、工程計(jì)算等許多應(yīng)用領(lǐng)域.例如，該書“方程”章，第1題便是有關(guān)糧食收成的計(jì)算問(wèn)題：

今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉,實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉,實(shí)二十六斗.問(wèn)上、中、下禾實(shí)一秉各幾何?

題中“禾”為帶桿的黍米，“秉”指捆，“實(shí)”是打下來(lái)的糧食.設(shè)一秉上、中、下等的禾分別能打下糧食x、y、z斗，則問(wèn)題就相當(dāng)于解一個(gè)三元一次方程組3x+2y+z=39,

2x+3y+z=34,

z+2y+3z=26.

“方程術(shù)”的關(guān)鍵算法是“遍乘直除”.即先將三個(gè)方程的系數(shù)排列成三行(當(dāng)時(shí)的行相當(dāng)于現(xiàn)在的列)，得圖1.

左 中 右

上禾 12 3003

中禾 23 2452

下禾 31 1811

實(shí) 26 34 39 39 ?24? 39

圖1圖2

解法步驟為：以右行上禾秉數(shù)，即3，遍乘中行各元素，然后逐次減去右行對(duì)應(yīng)各元素，直到中行第一個(gè)元素出現(xiàn)0為止，對(duì)左行作同樣的變換，得圖2；以中行第一個(gè)不等于0的元素，即5，遍乘左行后，逐次減去中行對(duì)應(yīng)的元素直至左行第二個(gè)元素為0，并對(duì)左行約分，得圖3；然后繼續(xù)變換直至圖4.

003?004

052?040

411?400

11? 24 ?3911 ?17 ?37

圖3圖4

于是得上禾一秉實(shí)數(shù)x=374斗，中禾一秉實(shí)數(shù)y=174斗，下禾一秉實(shí)數(shù)z=114斗.該方法正是西方國(guó)家一千多年后才出現(xiàn)的“高斯消去法”.《九章算術(shù)》中如此先進(jìn)的方法依然來(lái)自于實(shí)際問(wèn)題解決的需要.

三、促進(jìn)學(xué)生對(duì)現(xiàn)代算法思想的理解

中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的“術(shù)”符合現(xiàn)代算法的一些最主要的特征，包含著一般算法的操作過(guò)程以及順序、選擇、循環(huán)等各種控制結(jié)構(gòu).因此，讓學(xué)生適當(dāng)?shù)亟佑|并分析一些中國(guó)古代的算法，能很好地促進(jìn)學(xué)生對(duì)現(xiàn)代算法思想的理解.

一般認(rèn)為算法含有兩大要素：一是操作，包括算術(shù)運(yùn)算、邏輯運(yùn)算、關(guān)系運(yùn)算、函數(shù)運(yùn)算等；二是控制結(jié)構(gòu)，其作用是控制算法各操作的執(zhí)行順序.算法通常所具備的三種控制結(jié)構(gòu)是順序結(jié)構(gòu)、選擇結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu).^[2].

算法的特征則可歸納為“五性”，即可行性、確定性、有窮性、有效性和普遍性.^[3］

中國(guó)古代數(shù)學(xué)的核心就是各種各樣的“術(shù)”.這里的“術(shù)”就是一種算法，類似于現(xiàn)在所講的數(shù)學(xué)“公式”，但又與公式不完全相同.比如，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式x=-b±b2-4ac2a，給出的是當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)可以將a、b、c的值代入以求得方程的解.這樣的公式只是靜態(tài)地給出了結(jié)果，而對(duì)于計(jì)算過(guò)程的每一步具體如何操作，卻并未加以說(shuō)明.相反，中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的“術(shù)”則明確地指出了每一步計(jì)算的具體操作方式，是一種動(dòng)態(tài)的算法描述.我們以《九章算術(shù)》中的“約分術(shù)”為例來(lái)分析其特征.

約分術(shù)曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之.

比如約分98182.先求分子分母的最大公約數(shù).按約分術(shù)，“可半者半之”是指如果分子分母都能被2整除，就先取半得4991.“不可半者，副置分母子之?dāng)?shù)，以少減多”是指如果兩個(gè)數(shù)中有一個(gè)不能被2整除，則將兩數(shù)分列，大數(shù)減小數(shù)(用較少的數(shù)從較多的數(shù)中減去)得91-49=42.“更相減損，求其等也”是指對(duì)減數(shù)和所得的差再大數(shù)減小數(shù)，不停地減直至減數(shù)和所得的差相等，即49-42=7、42-7=35、35-7=28、28-7=21、21-7=14、14-7=7得等數(shù)為7，該等數(shù)便是分子分母的最大公約數(shù).然后“以等數(shù) 約之”便得結(jié)果49÷791÷7=713.

從以上過(guò)程可以明顯看出“術(shù)”的操作性特點(diǎn)，且易發(fā)現(xiàn)“術(shù)”體現(xiàn)了一般算法的“可行性、確定性、有窮性、有效性和普遍性”等特征.而且“可半”“不可半”的選擇明顯是算法中的“選擇結(jié)構(gòu)”，“更相減損”則是算法中的“循環(huán)結(jié)構(gòu)”，至于“順序結(jié)構(gòu)”則是不言自明的.

所以中國(guó)古代數(shù)學(xué)的“術(shù)”是一種真正意義上的算法，符合現(xiàn)代算法思想的一般特征.讓學(xué)生分析這樣的“術(shù)”能較好地促進(jìn)對(duì)現(xiàn)代算法思想的理解.

算法的學(xué)習(xí)需要學(xué)生“通過(guò)模仿、操作、探索，經(jīng)歷通過(guò)設(shè)計(jì)程序框圖表達(dá)解決問(wèn)題的過(guò)程.在具體問(wèn)題的解決過(guò)程中，理解程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序、條件分支、循環(huán).”^[4]中國(guó)古代數(shù)學(xué)中大量的應(yīng)用問(wèn)題，為算法的學(xué)習(xí)提供了豐富的案例.這些案例及計(jì)算過(guò)程，深刻地揭示了現(xiàn)代算法思想，是學(xué)生模仿、操作、探索的極佳素材.同時(shí)這些問(wèn)題及算法的背景，能夠較好地激發(fā)學(xué)生的民族情緒，這一點(diǎn)對(duì)學(xué)生理解現(xiàn)代算法思想也是有著很好的促進(jìn)作用的.

參考文獻(xiàn)

［1］G?豪森.數(shù)學(xué)課程發(fā)展［M］.周克希，趙斌譯 .上海：上海教育出版社，1998.

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［4］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))［S］.北京：人民教育出版社，2003.

［5］李建華.算法及其教育價(jià)值［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2004，(3).

［6］李文林.數(shù)學(xué)史教程［M］.北京：高等教育出版社，2000.

［7］姚佩英.數(shù)學(xué)教育中的算法研究.碩士學(xué)位論文，2004.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/p>